Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

101.§. A foton sajátenergiás függvénye

101.§. A foton sajátenergiás függvénye

A fotonpropagátor analitikus tulajdonságainak további vizsgálatához célszerű bevezetnünk a polarizációs operátor mellett a Πμν(k) segédfüggvényt is, amelyet a foton sajátenergiás függvényének neveznek. Definíciószerűen iΠμν∕4π az összes (nemcsak kompakt) sajátenergiás betétrész összege. Ezt az összeget a diagramban négyzettel jelölve, a pontos propagátort a

azaz a

11.35. egyenlet - (101,1)

𝒟μν=Dμν+DμλΠλϱ4πDϱν


összeggel adhatjuk meg. Ebből Πμν-t kifejezve,

(1/4π)Πμν=Dμλ–1λϱDϱν–1–Dμν–1,

és ebbe behelyettesítve előbb (100,16)…(100,18a)-at, majd (100,20)-at, azt kapjuk hogy

11.36. egyenlet - (101,2)

Πμν=Π(k2)gμνkμkνk2,Π=𝒫1𝒫k2.


Látjuk, hogy Πμν (csakúgy, mint μν) mértékinvariáns tenzor.

A Πμν tenzor hasznos voltát koordinátareprezentációbeli kifejezéséből láthatjuk. Ezt könnyen megadhatjuk, észrevéve, hogy az

(1/4π)Πμν(k)=Dμλ–1Dϱν–1{λϱ(k)–Dλϱ(k)}

egyenlőséget a λϱ–Dλϱ tenzor (100,18)-ból következő transzverzalitásának figyelembevételével koordinátatérben a következő alakban írhatjuk:

Πμν(x–x′)=(1/4π)(∂μ∂λ–gμλ∂σ∂σ)(∂ν′∂ϱ′–gνϱ∂σ′∂′σ){λϱ(x–x′)–Dλϱ(x–x′)}.

A differenciálás elvégzésére ebbe az egyenlőségbe helyettesítsük be a

11.37. egyenlet - (101,3)

𝒟λϱ(xx)Dλϱ(xx)=i0|TAλ(x)Aϱ(x)TAintλ(x)Aintϱ(x)|0


kifejezést. A 76. §-ban láttuk, hogy a T-szorzat differenciálása általában elővigyázatosságot igényel annak szakadásos jellege miatt. Azonban a (101,3)átlagbólés annak első deriváltjából is kiesnek az ugrások, minthogy az Aλ(x)és Aintλ(x) operátorok komponenseinek felcserélési szabályai (azonos időben véve) azonosak, és így a különbség és annak első deriváltja folytonos lesz mindenütt (l. 76. §). Így a (101,3) különbség differenciálását aT operátorral felcserélhetjük. (99,6)és (99,6a) szerint végeredményként a

11.38. egyenlet - (101,4)

Πμν(xx)=4πie20|Tjμ(x)jν(x)|0


kifejezést kapjuk. Ez explicit módon mutatja, hogy Πμν mértékinvariáns, minthogy az áramoperátorok is azok.

A (101,4) egyenletből e függvény fontos integrál-előállítását kaphatjuk.

(101,2)-t figyelembe véve, elegendő a Π=(1/3)Πμμ skalárfüggvénnyel foglalkoznunk. Koordinátareprezentációban

11.39. egyenlet - (101,5)

Π(xx)=4π3ie20|Tjμ(x)jμ(x)|0==4π3ie2n0|jμ(x)|nn|jμ(x)|0,hat>t,n0|jμ(x)|nn|jμ(x)|0,hat<t,(101,5)


ahol az n szimbólum a rendszer (elektromágneses + elektron-pozitron tér) állapotait indexeli.[381]. Mivel a j(x) operátor xμ=(t,r)-től függ, így ezt a függést mátrixelemei is mutatják. Ezt a függést expliciten leválaszthatjuk, ha |n⟩állapotokként a teljes négyesimpulzus sajátállapotait választjuk.

Az áram mátrixelemeinek időfüggését, mint minden Heisenberg-operátor esetében, az

⟨n|jμ(t,r)|m⟩=⟨n|jμ(r)|m⟩e–i(Em–En)t

kifejezés adja, ahol En,Em az |n⟩és |m⟩állapotok energiái, j(r) pedig Schrödinger-képbeli operátor.

A mátrixelemek koordiátafüggésének megállapítására a j(r) operátort mint a j(0) operátorból a koordináta-rendszer kezdőpontjának az r vektorral való eltolásával keletkező mennyiséget tekintjük. Ennek az eltolásnak az operátora exp(irP), ahol P a rendszer impulzusoperátora [l. III. (15,15)]. Figyelembe véve a mátrixelemek transzformációjának általános szabályait [l. III. (12,7)], a fentiekből

⟨n|jμ(r)|m⟩=⟨n|e–irPjμ(0)eirP|m⟩=⟨n|jμ(0)|m⟩ei(Pm–Pn)r

adódik. Az előző képlettel együtt a következő végeredményt kapjuk:

11.40. egyenlet - (101,6)

n|jμ(t,r)|m=n|jμ(0)|mei(PmPn)x.


Megjegyezzük, hogy az ⟨n|jμ(0)|m⟩ mátrix hermitikus [a mátrixszal együtt ajμ(t,r) operátor is az], és a (99,7) kontinuitási egyenlet következtében kielégíti a következő transzverzalitási feltételt:

11.41. egyenlet - (101,7)

(PmPn)μn|jμ(0)|m=0.


Térjünk vissza Π(x–x′) kiszámításához. (101,6)-ot (101,5)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

11.42. egyenlet - (101,8)

Π(ξ)=4πie23n0|jμ(0)|nn|jμ(0)|0eiPnξ,haτ0,


ahol x–x′=ξ=(τ,ξ). Vezessük be a

11.43. egyenlet - (101,9)

ϱ(k2)=4πe23(2π)3n0|jμ(0)|n0|jμ(0)|nδ(4)(kPn)


jelölést. Az összegezés az összes valódi elektronpár + foton rendszerre vonatkozik, amelyeket egy k=(ω,k) négyesimpulzusú virtuális foton létrehozhat.[382]. Az összegezés következtében a ϱ függvény csak k-tól függhet, skalár jellege miatt valójában csak k2-től. Kiemeljük, hogy ϱ nem függ k irányától. A ϱ függvénynek e tulajdonságait szem előtt tartva, (101,8)-at a

Π(ξ) =–i∫0∞dω∫(d3k/(2π)3)ϱ(k2)eikξ–iω|τ|= =–i∫(d3k/(2π)3)∬0∞dωd(μ2)δ(μ2–k2)ϱ(μ2)eikξ–iω|τ|

alakba írhatjuk át.

Impulzusreprezentációra az

11.44. egyenlet - (101,10)

eiω|τ|=2iωeik0τ1k02ω2+i0dk02π


előállítás behelyettesítésével térhetünk át (l. 77. §) és

Π(k2)=∫0∞d(μ2)∫0∞d(ω2)δ(μ2+k2–ω2)(ϱ(μ2)/k02–ω2+i0)

adódik. A végleges alak tehát

11.45. egyenlet - (101,11)

Π(k2)=0ϱ(μ2)k2μ2+i0dμ2.


A ϱ súlyfüggvényt a Π(k2) függvény spektrális sűrűségének hívjuk. Tulajdonságai a következők:

11.46. egyenlet - (101,12)

ϱ(k2)=0,hak2<0,ϱ(k2)>0,hak2>0.(101,12)


Annak a virtuális fotonnak a k négyesimpulzusa ugyanis, amely valós részecskéket tud kelteni, csak időszerű lehet (k2 a részecskék tömegközépponti rendszerbeliössz-energiájának négyzete). A (101,7) transzverzalitási követelmény alapján

Pnμ⟨0|jμ(0)|n⟩=0.

A ⟨0|j|n⟩ négyesvektor azonban, ortogonális lévén egy időszerű négyesvektorra. (Pn), térszerű kell legyen, azaz

⟨0|jμ(0)|n⟩⟨0|jμ(0)|n⟩∗<0,

és így a (101,9) definíció alapján ϱ>0.



[381] Az áramoperátor a töltést megőrzi (semleges); így az |n⟩állapotok, amelyeket az áram a |0⟩ vákuummal köt össze, csak azonos számú elektront és pozitront tartalmazhatnak.

[382] Az |n⟩állapotok ilyen definíciója nyilvánvalóan ugyanaz, mintha olyan állapotok rendszerét tekintenénk, amelyekre a negatív töltésparitású j operátor ⟨0|j|n⟩ mátrixelemei nullától különbözőek.