Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

100.§. A pontos fotonpropagátor

100.§. A pontos fotonpropagátor

A pontos (e2 hatványai szerinti sorba nem fejtett) elméletben a pontos propagátorokra vonatkozó fogalmaknak[376] alapvető szerepük van.

A pontos fotonpropagátor (amelyet írott -vel jelölünk) a

11.14. egyenlet - (100,1)

𝒟μν(xx)=i0|TAμ(x)Aν(x)|0


képlettel definiálható, amelyben Aμ(x) Heisenberg-operátor , és amely megkülönböztetendő a (77,1)

11.15. egyenlet - (100,2)

Dμν(xx)=i0|TAμint(x)Aνint(x)|0


definíciótól, amelyben a fotontér kölcsönhatási képbeli téroperátorai találhatók. A (100,1) pontos propagátortól eltérően a (100,2) függvényt a foton szabad propagátorának nevezhetjük.

A (100,1) várható érték egzakt kiszámítása nem lehetséges, ezért μν pontos analitikus alakját nem adhatjuk meg, bár a (100,1) definíció lehetővé teszi e függvény néhány általános tulajdonságának meghatározását. Ennek szenteljük a 108. §-t, addig azonban μν kiszámításával foglalkozunk a diagramtechnika alapján. E célból μν-t a kölcsönhatási képbeli operátorok segítségével kell kifejeznünk.

Legyen először t>t′. Az A(x) és Aint(x) közötti [l. (99,13)] kapcsolatot kihasználva, azt írhatjuk, hogy

μν(x–x′) =i⟨0|Aμ(x)Aν(x′)|0⟩= =i⟨0|S(–∞,t)Aμint(x)S(t,–∞)S(–∞,t′)Aνint(x′)S(t′,–∞)|0⟩.

(99,11a) felhasználásával a következő helyettesítések végezhetők el:

S(t,–∞)S(–∞,t′)=S(t,t′), S(–∞,t)=S(–∞,+∞)S(∞,t).

Ekkor

11.16. egyenlet - (100,3)

𝒟μν(xx)=i0|S1[S(,t)Aμint(x)S(t,t)Aνint(x)S(t,)]|0,


ahol a rövidség kedvéért az

11.17. egyenlet - (100,4)

SS(+,)


jelölést alkalmaztuk. Minthogy a (99,11) definíció szerint S(t2,t1) csak a t1és t2 közötti időpillanatokban vett operátorokat tartalmazza időrendezetten, így nyilvánvaló, hogy általában a (100,3) képlet szögletes zárójelében előforduló operátorok csökkenő idők szerint vannak sorba rendezve balról jobbra. Így a zárójel elé a kronologikus szorzatT szimbólumát helyezve, azon belül a tényezők sorrendje már tetszőlegesen változtatható, minthogy a T operátor automatikusan a szükséges sorrendet hozza létre. Ezt a lehetőséget felhasználvaírhatjuk, hogy

[…]=T[Aμint(x)Aνint(x′)S(∞,t)S(t,t′)S(t′,–∞)]=T[Aμint(x)Aνint(x′)S].

Tehát

11.18. egyenlet - (100,5)

𝒟μν(xx)=i0|S1T[Aμint(x)Aνint(x)S]|0.


Hasonló módon könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez a képlet t<t′ esetén is érvényes.

Most megmutatjuk, hogy az S–1 szorzót a vákuumbeli átlag képzése alól kiemelhetjük, fázisszorzó alakjában. E célból emlékeztetünk arra, hogy a vákuum Φ Heisenberg-képbeli hullámfüggvényeΦint(–∞)-nel egyezik, ami ugyanennek az állapotnak a kölcsönhatási képbeli hullámfüggvénye. [l. (99,9)]. (73,8) alapján pedig

SΦint(–∞)≡S(+∞,–∞)Φint(–∞)=Φint(+∞).

De a vákuum szigorúan stacionárius állapot; abban semmiféle részecskekeltési reakció nem indukálódhat magától. Más szavakkal, az idők folyamán a vákuum vákuum marad; tehát Φint(+∞) csak eiα fázisszorzóval különbözhet Φint(–∞)-től. Ezért

11.19. egyenlet - (100,6)

SΦint()=eiαΦint()=0|S|0Φint(),


avagy az előző kifejezés komplex konjugáltját véve, és kihasználva az S operátor unitaritását:

Φint∗(–∞)S–1=⟨0|S|0⟩–1Φint∗(–∞).

Innen viszont világos, hogy (100,5)

11.20. egyenlet - (100,7)

𝒟μν(xx)=i0|TAμint(x)Aνint(x)S|00|S|0


alakban írható.

Behelyettesítve ide (mind a számlálóba, mind a nevezőbe) S-nek a (73,10)-beli kifejtését és a Wick-tétel segítségével (78. §) elvégezve a várható érték képzését, kapjuk μν-nek e2 hatványai szerinti kifejtését.

(100,7) számlálójában az átlagolandó kifejezések csak annyiban térnek el a 78. §-ban vizsgált (78,1) típusú kifejezésektől, hogy a „külső” fotonkeltő és eltüntető operátorok helyett itt az Aμint(x) és Aνint(x′) operátorok fordulnak elő. Minthogy az átlagolandó mennyiségek mindegyike kronologikus szorzatban helyezkedik el, ezeknek a „belső”Aint(x1),Aint(x2),… operátorokkal való összevonása a μν, fotonpropagátorokra vezet majd. Tehát az átlagolás eredményét a két külső fotonvonallal rendelkező, a 78. § szabályai szerint felrajzolható diagramok összessége adja meg azzal a különbséggel, hogy a külső fotonvonalaknak (csakúgy, mint a belsőknek) most μν, propagátorok felelnek meg (a valós fotonok e amplitúdója helyett). Nulladik közelítésben S=1, a (100,7) kifejezés számlálója egyszerűen μν(x–x′)-vel esik egybe. A következő, nullától különböző tagok ∼e2 nagyságrendűek. Ezek két külső fotonvonalat és két vertexet tartalmazó diagramokkal ábrázolhatók:

11.21. egyenlet - (100,8)


E diagramok közül a második két, nem összefüggő részből áll: egy szaggatott vonalból (amelynek –iμν felel meg) és egy zárt hurokból. A diagram szétesése arra utal, hogy a megfelelő analitikus kifejezés két független tényezőre bomlik. A (100,8) diagramokhoz a nulladik közelítés diagramját (a szaggatott vonalat) hozzáadva és az azt tartalmazó tagokból kiemelve, (100,7) számlálójára eredményül másodrendig

adódik.

A nevezőbeli ⟨0|S|0⟩ kifejezés a vákuum vákuumba való „átmenetének” valószínűségi amplitúdója. Ezért ennek kifejtése csak külső vonal nélküli diagramokat tartalmaz. Nulladik közelítésben ⟨0|S|0⟩=1, másodrendben pedig

adódik. Az azonos pontossággal vett számlálót osztva a nevezővel, a kapcsos zárójelbeli kifejezés egyszerűsödik, és

marad meg.

Tehát az elkülönült hurkot tartalmazó diagram kiesik a válaszból. Ez az eredmény általános érvényességű. Belegondolva a diagramok felépítésének technikájába, mind (100,7) számlálója, mind nevezője esetében könnyű megérteni, hogy ⟨0|S|0⟩ szerepe csak annyi, hogy μν-nek a perturbációszámítás tetszőleges rendjében vett kifejezéséből a nem összefüggő tagokat eltávolítsa.

Vegyük észre, hogy a külső vonalak nélküli diagramoknak (zárt hurkok) egyáltalán nincs fizikai tartalmuk, és azokat attól függetlenül sem kell figyelembe venni, hogy a propagátor kifejezéséből kiesnek. Valójában az ilyen hurkok az S-mátrix vákuum-vákuum átmenetét leíró diagonális elemének sugárzási korrekcióit adják. Ezek összege (a nulladik közelítés egységnyi járulékával együtt) a (100,6) összefüggés szerint csak egy lényegtelen fázistényező lehet, amely egyetlen fizikai eredményben sem tükröződhet.

A koordinátareprezentációról az impulzusreprezentációra a szokásos módon térünk át. Így a perturbációszámítás másodrendű közelítésében a –iμν(k) propagátor (amelyet vastag szaggatott vonallal jelölünk) a

11.22. egyenlet - (100,9)


összeggel adható meg, ahol az összes diagramot a szokásos szabályokkal számíthatjuk ki (melyeket a 78. §-ban soroltunk fel), azzal a különbséggel, hogy a külső fotonvonalakhoz csakúgy, mint a belsőkhöz, a –iμν(k) mennyiségeket rendeljük hozzá. E képlet analitikus alakban felírva:[377]

11.23. egyenlet - (100,10)

𝒟μν(xx)Dμν(k)+ie2Dμλ(k)SpγλG(p+k)γϱG(p)d4p(2π)4Dϱν(k)


(a γés G mátrixok bispinor indexeit szokás szerint nem írjuk ki).

A következő közelítések tagjait hasonló szabályok alapján építjük fel; ezeket a két külső fotonvonalat és szükséges számú csúcsot tartalmazó diagramok alkotják. Így az ∼e4 rendű tagokhoz a következő négyvertexes diagramok tartoznak:

11.24. egyenlet - (100,11)


Négy csúcsot találunk a

diagramban is, amelynek felső részét egy önmagában zárt elektronhurok alkotja.[378] Egy ilyen hurok a ψ̄(x)ψ(x) kontrakciónak felel meg, azaz egyszerűen az áram várható értékének, vákuumállapotok között: ⟨0|j(x)|0⟩. De a vákuum definíciójánál fogva ennek a mennyiségnek azonosan el kell tűnnie, és ez az állítás nem módosulhat semmiféle, a hurkot módosító sugárzási korrekcióval sem.[379] Így semmiféle „önmagában zárt elektronvonalat” tartalmazó diagramot nem kell figyelembe vennünk a közelítés egyetlen rendjében sem.

A diagramok két (külső vagy belső) fotonvonal közé zárt részét a foton sajátenergiás betétrészének nevezik. Általában lehet, hogy egy ilyen blokk maga is szétvágható egy fotonvonallal összekötött részekre, azaz a következő struktúrájú lehet:

ahol a körök azokat a blokkokat jelzik, amelyek már nem bonthatók fel ezzel a módszerrel; ezeket a részeket kompaktnak nevezzük. [Így a négy negyedrendű sajátenergiás diagram közül ilyen az első három (100,11)].

Jelöljük az iμν∕4π szimbólummal az összes kompakt sajátenergiás betét (végtelen sok tagú) összegét; a μν(k) függvényt polarizációs operátornak hívjuk. A diagramokat aszerint osztályozva, hogy hány kompakt részt tartalmaznak, a μν propagátort a következő sor alakjában állíthatjuk elő: P

ahol minden bevonalkázott körnek iμν∕4π felel meg. E sor analitikus alakban írva a következő:

11.25. egyenlet - (100,12)

𝒟=D+D𝒫4πD+D𝒫4πD𝒫4πD+==D1+𝒫4πD+D𝒫4πD+(100,12)


(a tenorindexeket a rövidség kedvéért elhagytuk). A szögletes zárójelben álló sor azonban újra csak megegyezik -vel. Így

11.26. egyenlet - (100,13)

𝒟μν(k)=Dμν(k)+Dμλ(k)𝒫λϱ(k)4π𝒟ϱν(k).


Ezt az egyenlőséget a (D–1)τμ inverz tenzorral szorozva balról és (–1)νσ-val jobbról (megváltoztatva az eredmény indexeinek jelölését), kapjuk a fentivel ekvivalens

11.27. egyenlet - (100,14)

𝒟μν1=Dμν114π𝒫μν


egyenlőséget.

Hangsúlyozzuk, hogy (100,12) előállítása feltételezi a diagram egyszerűbb blokkokra való lebonthatóságát, amely blokkok a szokásos gráfszabályokkal számíthatók ki; e blokkok egymással való kombinálásával kaphatjuk meg a teljes diagram járulékát. E felbontás lehetősége a diagramtechnikának fontos (és egyáltalán nem triviális) sajátsága. Azzal kapcsolatos, hogy a diagram közös számegyütthatója annak perturbációszámításbeli rendjétől független.

Ugyanez a tulajdonság teszi lehetővé az (ismertnek feltételezett) függvény használatát a különböző szórásfolyamatok amplitúdóihoz adódó sugárzási korrekciók számításának egyszerűsítésére. Ahelyett, hogy minden alkalommal újra vizsgálnánk a belső fotonvonalak különböző korrekcióival módosított diagramokat, azokat egyszerűen vastag vonallal helyettesíthetjük, azaz a propagátorokat használhatjuk (D helyett) a kívánt közelítésben.

Ha a fotonvonal valós fotonhoz tartozik (és nem virtuálishoz), azaz mikor az a teljes diagram külső vonalaként szerepel, akkor az összes sajátenergiás korrekció elvégzése után, mint mondani szokás, egy effektív külső vonalat kapunk. Ennek egy, a (100,13)-tól különböző kifejezés felel meg, amely attól a D tényezőnek a valódi foton polarizációs amplitúdójára való felcserélésében tér el:

11.28. egyenlet - (100,15)

eμ+𝒟μϱ(k)𝒫ϱλ(k)4πeλ.


Ha a külső tér vonalairól van szó, akkor eμ helyett (100,15)-ben Aμ(e)-t kell írni.

Mindaz, amit a 77. §-ban a Dμν közelítő propagátor tenzorszerkezetéről és a mértékinvariancia miatt nem egyértelműen meghatározott analitikus kifejezéséről mondtunk, az a μν pontos propagátorra is igaz. A relativisztikusan invariáns elméletek keretei között e függvény általános alakja:

11.29. egyenlet - (100,16)

𝒟μν(k)=𝒟(k2)gμνkμkνk2+𝒟(l)(k2)kμkνk2;


az első tag a Landau-mértéknek felel meg, a második tagban (l) a mérték megválasztásától függő függvény. A közelítő propagátor hasonló előállítása:[380]

11.30. egyenlet - (100,17)

Dμν(k)=D(k2)gμνkμkνk2+D(l)(k2)kμkνk2.


Vegyük most észre, hogy a propagátor longitudinális része a négyespotenciál fizikai tartalommal nem rendelkező longitudinális részével függ össze, és a kölcsönhatásban nem vesz részt. A kölcsönhatás ezért nem változtatja meg, így a

11.31. egyenlet - (100,18)

𝒟(l)(k2)=D(l)(k2)


összefüggésnek teljesülnie kell.

Az inverz tenzorok definíció szerint a következő egyenleteket elégítik ki:

μν–1λν=δμλ, Dμν–1Dλν=δμλ.

A (100,16) vagy (100,17) tenzorok inverzeit (100,18) segítségével a következő alakban írhatjuk:

11.32. egyenlet - (100,18a)

𝒟μν1=1𝒟gμνkμkνk2+1D(l)kμkνk2,Dμν1=1Dgμνkμkνk2+1D(l)kμkνk2.(100,18a)


E képletekből következik, hogy a μν polarizációs operátor transzverzális tenor:

11.33. egyenlet - (100,19)

𝒫μν=𝒫(k2)gμνkμkνk2,


miközben =k2–4π∕, avagy

11.34. egyenlet - (100,20)

𝒟(k2)=4πk21𝒫(k2)k2.


Így a polarizációs operátor (a fotonpropagátortól eltérően) mértékinvariáns mennyiség.



[376] E fogalmakat F. Dyson vezette be 1949-ben; az ebben a fejezetben kifejtett elméletet nagyrészt ő alapozta meg.

[377] Az előjelek megállapításakor ne feledkezzünk meg a –1 tényezőről,melyet a zárt elektronhurok hoz be.

[378] A (100,8)b) diagrambeli huroktól eltérően, amelyet két különböző elektronvonal alkot.

[379] Bár a közvetlen számítás divergens integrálokra vezetne.

[380] D(l) meghatározása itt eltér a (77,3)-ban megadottól.