Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

11. fejezet - XI. fejezet A PONTOS PROPAGÁTOROK ÉS CSÚCSOK (VERTEXEK)

11. fejezet - XI. fejezet A PONTOS PROPAGÁTOROK ÉS CSÚCSOK (VERTEXEK)

99.§. A téroperátorok Heisenberg-reprezentációban

Az eddigiekben az elektrodinamikai folyamatokhoz járulékot adó első el nem tűnő perturbációs közelítés vizsgálatára szorítkoztunk. Most a magasabb rendű közelítések során fellépő jelenségek tanulmányozásába kezdünk. Ezek közös elnevezése: sugárzási korrekciók .

A magasabb rendű közelítések szerkezetének mélyebb megértését szolgálja a pontos (e2 szerint nem sorba fejtett) amplitúdók néhány általános tulajdonságának előzetes vizsgálata. Láttuk, hogy a perturbációs sor tagjait a téroperátorok kölcsönhatási képbeli reprezentációjával fejezhetjük ki – az operátorok időfüggését a szabad rendszer H0 Hamilton-operátora adja meg (73. §). A pontos amplitúdókat kényelmesebb nem e képbeli, hanem a Heisenberg-reprezentációbeli téroperátorokkal kifejezni, ahol azok időfüggését a rendszer pontos H=H0+V Hamilton-operátora adja meg.

A Heisenberg-operátorok általános képzési szabálya szerint

11.1. egyenlet - (99,1)

Ψ(x)Ψ(t,r)=eiHtΨ(r)eiHt,


és ugyanúgy Ψ̄(x)-re és A(x)-re is, ahol Ψ(r),… az időfüggetlen (Schrödinger-) operátorok .[371] Azonnal megjegyezzük, hogy a Heisenberg-operátorok egyidejű kommutátorai azonosak a Schrödinger- vagy a kölcsönhatási képbeli operátorokéival . Pl.:

11.2. egyenlet - (99,2)

{Ψi(t,r)Ψ̄k(t,r)}+=eiHt{Ψi(r)Ψ̄k(r)}+eiHt=γik0δ(rr)


[vö. (76,6)]. Hasonló módon kapjuk, hogy Ψ(t,r)és A(t,r′) felcserélhetők:

{Ψi(t,r)A(t,r′)}–=0

(ami különböző időpillanatok esetén már nem igaz!)

A Heisenberg-képbeli Ψ-operátorok „mozgásegyenletét” a III. (13,7) általános egyenlet szerint adhatjuk meg:

11.3. egyenlet - (99,3)

iΨ(x)t=HΨ(x)Ψ(x)H.


A Hamilton-operátor azonos mind a Schrödinger- , mind a Heisenberg-képben, és a megfelelő képbeli operátorokkal azonos alakban fejezhető ki. Az adott esetben (99,3)-ban a Hamilton-függvénynek a csak A(x)-től függő része (a szabad elektromágneses tér Hamilton-függvénye) A(x)és Ψ(x) felcserélhetősége miatt elhagyható. (21,13)és (43,3) felhasználásával

11.4. egyenlet - (99,4)

H=Ψ(t,r)(αp+βm)Ψ(t,r)d3x+eΨ̄(t,r)Â(t,r)Ψ(t,r)d3x==Ψ̄(t,r){γp+m+eÂ(t,r)}Ψ(t,r)d3x.(99,4)


A {H,Ψ(t,r)}– kommutátort (99,2) segítségével kiszámítva és a d3x szerinti integrálást a δ-függvény segítségével elvégezve,

11.5. egyenlet - (99,5)

(p̂eÂm)Ψ(t,r)=0


adódik. Amint várható volt, a Ψ(t,r) operátor formálisan a Dirac-egyenletet elégíti ki.

Az A(t,r) elektromágneses tér egyenlete a klasszikus megfeleltetésből eleve nyilvánvaló. A klasszikus határeset megvalósulásának feltételei (a nagy betöltési számok – l. 5. §) fennállásakor a tér állapotára való átlagolás után az operátoregyenleteknek át kell menniük a potenciálokra vonatkozó Maxwell-egyenletekbe [II. (30,2)]. Ezért világos, hogy az operátoregyenletnek formailag a Maxwell-egyenlettel kell egybeesnie, tehát (tetszőleges mértéket használva)

11.6. egyenlet - (99,6)

νμAμ(x)μμAν(x)=4πejν(x),


ahol jν(x)=Ψ̄(x)γνΨ(x) az áram operátora, amely azonosan kielégíti a

11.7. egyenlet - (99,7)

νjν(x)=0


kontinuitási egyenletet.[372]

Lényeges, hogy a (99,6) egyenletek Aμ-ben és jμ-ben lineárisak, és így ezen operátorok sorrendjének kérdése nem merül fel.

Mint a hullámfüggvényre vonatkozó hasonló egyenletek, a (99,6), (99,7) operátoregyenletek invariánsak a következő mértéktranszformációval szemben:

11.8. egyenlet - (99,8)

Aμ(x)Aμ(x)μχ(x),Ψ(x)Ψ(x)eieχ,Ψ̄(x)Ψ̄(x)eieχ,


ahol χ(x) tetszőleges valós operátor, amely (azonos időpontokban) Ψ-vel felcserélhető.[373]

Állapítsuk meg most a Heisenberg-képbeli és a kölcsönhatási képbeli téroperátorok kapcsolatát. A megfontolások egyszerűsítésére kényelmes azzal a formális feltevéssel élnünk, hogy a V(t) kölcsönhatás a t=–∞ időponttól a véges t időpontig „adiabatikusan” kapcsolódik be (ez a végeredményben nem tükröződik). Ekkor t→–∞ esetén a két kép egyszerűen egybeesik. Így a rendszer megfelelő hullámfüggvényei, Φ és Φint, is azonosak:

11.9. egyenlet - (99,9)

Φint(t=)=Φ.


Másrészt a Heisenberg-képbeli hullámfüggvény teljesen független az időtől (a teljes időfüggést áthárítottuk az operátorokra), a kölcsönhatási képben a hullámfüggvény időfüggése viszont (73,7) alapján:

11.10. egyenlet - (99,10)

Φint(t)=S(t,)Φint(),


ahol[374]

11.11. egyenlet - (99,11)

S(t2,t1)=Texpit1t2V(t)dt.


(99,10)és (99,9)összehasonlításából adódik a

11.12. egyenlet - (99,12)

Φint(t)=S(t,)Φ


összefüggés, amely a két „reprezentáció” hullámfüggvényei közötti kapcsolatot adja. Az operátorok transzformációjára vonatkozó megfelelő képlet:

11.13. egyenlet - (99,13)

Ψ(t,r)=S1(t,)Ψint(t,r)S(t,)==S(,t)Ψint(t,r)S(t,)(99,13)


(Ψ̄-re és A-ra ugyanez az alak érvényes).

Végezetül még egy általános megjegyzés. Nemegyszer rámutattunk már, hogy a relativisztikus kvantumelméletben a nullponti fluktuációk végtelensége miatt a téroperátorok fizikai tartalma igen korlátozott. Ez méginkább vonatkozik a Heisenberg-képbeli téroperátorokra, amelyek az előzőn felül még a kölcsönhatásból származó divergenciákat is tartalmaznak. E fejezetben a 99. §- 106. §-okat a formális elmélet -kifejtésére szánjuk, ahol a divergenciák eltávolításának kérdéseit nem vizsgáljuk; az összes mennyiséggel úgy bánunk, mintha azok végesek lennének. Az így kapott eredmények elsősorban heurisztikus jelentőségűek: lehetővé teszik, hogy mélyebben megvilágítsuk a perturbációs kifejtés jelentőségét; ugyanakkor lehetséges, hogy alakjuk egy jövendő, a jelen nehézségektől mentes elméletben változatlan marad.[375]



[371] E fejezetben az időtől függő operátorok Heinsenberg-operátorokat jelölnek, míg a kölcsön-hatási képbelieket ezektől az „int” indexszel különböztetjük meg.

[372] A szabad elektromágneses teret jellemző Aintμ(x) operátorok a (99,6)-hoz hasonló egyenlettel írhatók le, ahol a jobb oldalon 0 áll: ∂ν∂μAintμ(x)–∂μ∂μAintν(x)=0. (99,6a)

[373] Hangsúlyozzuk, hogy itt a Heisenberg-féleψ-operátorokról van szó. Kölcsönhatási képben az elektromágneses potenciálok mértéktranszformációja nem érinti a ψ-operátorok alakját.

[374] Megjegyezzük az S operátor néhány nyilvánvaló tulajdonságát: S(t,t1)S(t1,t0)=S(t,t0), S(t,t0)S(t0,t)=1. (99,11a)

[375] Végül megjegyezzük, hogy az itt alkalmazott matematikai eszközöket a statisztikus kvantumfizika is felhasználja, ahol a térelméletet jellemző divergenciák nem fordulnak elő.