Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

98.§. Elektron sugárzása nagy intenzitású elektromágneses hullám terében

98.§. Elektron sugárzása nagy intenzitású elektromágneses hullám terében

A perturbációszámításnak az elektronok és a sugárzási tér kölcsönhatását leíró folyamatokra való alkalmazása feltételezi, hogy (az α csatolási állandó kicsiny volta mellett) a tér intenzitása is elegendően kicsi. Legyen a az elektromágneses hullám klasszikus négyespontenciáljának amplitúdója. A tér intenzitására jellemző mennyiség a

10.244. egyenlet - (98,1)

ξ=ea2m


dimenzió nélküli invariáns hányados.

E szakaszban olyan sugárzási folyamatokat vizsgálunk, melyek elektron és erős elektromágneses hullám terének kölcsönhatása során mennek végbe, amelyre ξ teszőleges értéket felvehet. A használt módszer e kölcsönhatás pontos figyelembevételén alapszik; az elektron és az újonnan kisugárzott fotonok kölcsönhatása a korábbiakhoz hasonlóan kis perturbációnak tekinthető.[363]

Monokromatikus, cirkulárisan polarizált síkhullámot vizsgálunk. Négyespontenciálját az

10.245. egyenlet - (98,2)

A=a1 cosφ+a2 sinφ,φ=kx


alakban írjuk, ahol kμ=(ω,k) a négyes hullámszámvektor (k2=0), az a1ésa2 négyesamplitúdók pedig egyenlő nagyságúak és ortogonálisak:

a12=a22≡a2, a1a2=0.

A potenciálra a Lorentz-feltételt szabjuk ki, úgyhogy a1k=a2k=0.

Tetszőleges elektromágneses síkhullám terében mozgó elektron egzakt hullámfüggvényét a 40. §-ban vizsgáltuk; ezt a (40,7), (40,8) képletek adják meg. Megváltoztatjuk azonban ennek normálását: megköveteljük, hogy az átlagos térbeli részecskeszám-sűrűség 1 legyen – ez a szabad részecskék hullámfüggvényének „egységnyi térfogatban egy részecske” normálásához hasonló. Mivel a (40,7) függvénnyel képzett közepes sűrűség j̄0=q0∕p0, ezért a kívánt normálást úgy érhetjük el, hogy (40,7)-et √(p0∕q0) szorozzuk, azaz az 1∕√(2p0) tényezőt 1∕√(2q0) helyettesítjük. A (98,2) négyespotenciálnak megfelelő hullám így

10.246. egyenlet - (98,3)

ψp=1+e2(kp)(k̂â1 cosφ+k̂â2 sinφ)u(p)2q0×× expie(a1p)(kp)sinφ+ie(a2p)(kp)cosφiqx,(98,3)


ahol

10.247. egyenlet - (98,4)

qμ=pμe2a22(kp)kμ.


A q négyesvektor (40,14) szerint az elektron közepes kinetikus négyesimpulzusa; eztkváziimpulzusnak fogjuk nevezni.

Az S mátrixnak az az eleme, amely leírja azt a folyamatot, amikor az elektron a ψp állapotból egy kμ′=(ω′,k′) négyesimpulzusú e′ négyes polarizációs vektorú foton kisugárzásával átmegy a ψp′, állapotba, a következő:

10.248. egyenlet - (98,5)

Sfi=ie(ψ̄pêψp)eikx2ωd4x.


(98,5) integrandusa az

e–iα1sinφ+iα2cosφ, cosφe–iα1sinφ+iα2cosφ, sinφe–iα1sinφ+iα2cosφ,

mennyiségek lineáris kombinációja, ahol

10.249. egyenlet - (98,6)

α1=ea1pkpa1pkp,α2=ea2pkpa2pkp.(98,6)


Az exp[i(k′+p′–p)x] tényezővel együtt ezek a mennyiségek hordozzák az integrandus x-től való függését.

Fourier-sorba fejtjük őket, a kifejtési együtthatókat Bs-sel, B1s-sel, B2s-sel jelöljük, például

e–iα1sinφ+iα2cosφ=e–i√(α12+α22)sin(φ–φ0)=∑s=–∞∞Bse–isφ.

Az együtthatók a Bessel-függvények segítségével a következő módon fejezhetők ki:

10.250. egyenlet - (98,7)

Bs=Js(z)eisφ0,B1s=12[Js+1(z)ei(s+1)φ0+Js1(z)ei(s1)φ0],B2s=12i[Js+1(z)ei(s+1)φ0Js1(z)ei(s1)φ0],(98,7)


ahol

z=√(α12+α22), cosφ0=(α1/z), sinφ0=(α2/z).

A Bs, B1s, B2s függvények között fennáll az

10.251. egyenlet - (98,8)

α1B1s+α2B2s=sBs


összefüggés, ami a Bessel-függvényekreérvényes ismert, Js–1(z)+Js+1(z)=2sJs(z)∕zösszefüggés következménye.

Végeredményben a (98,5) mátrixelem alakja a következő:

10.252. egyenlet - (98,9)

Sfi=1(2ω2q02q0)12sMfi(s)(2π)4iδ(4)(sk+qqk),


ahol

10.253. egyenlet - (98,10)

Mfi(s)=e4πū(p)êe2a2(ke)k̂2(kp)(kp)Bs++eâ1k̂ê2(kp)+êk̂â12(kp)B1s+eâ2k̂ê2(kp)+êk̂â22(kp)B2su(p).(98,10)


Az Sfi mátrixelem tehát végtelen sok tag összege, melyek mindegyike kielégíti az

10.254. egyenlet - (98,11)

sk+q=q+k


megmaradási törvényt. Mivel

10.255. egyenlet - (98,12)

q2=q2=m2(1+ξ2)=m2


[vö. (40,15)], továbbák2=k′2=0, ezért a (98,11) egyenlőség csak s≥1 esetén állhat fenn. A sor s-edik tagja a k′ foton emisszióját írja le, miközben a hullámból s számú, k impulzusú foton abszorbeálódik. A (98,11) egyenlőség alakjából látszik, hogy a Compton-effektusra vonatkozó kinematikai összefüggések a vizsgált folyamatra is érvényben maradnak, ha az elektron impulzusát a q kváziimpulzusokkal , a bejövő fotonét az sk négyesvektorral helyettesítjük. Speciálisan abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben az elektron átlagosan nyugalomban van (q=0, q0=m∗),

10.256. egyenlet - (98,13)

ω=sω1+sωm(1 cos𝜃),


ahol a kés k′ vektorok által bezárt szög [vö. (86,8)]. Azt mondhatjuk, hogy az ω′ frekvenciák az ω frekvencia harmonikusai.

Jelöléseinkben (65. §) az s-edik harmonikus emissziójának amplitúdójaMfi(s)-sel egyezik meg, a

10.257. egyenlet - (98,14)

dWs=|Mfi(s)|2d3kd3q(2π)62ω2q02q0(2π)4δ(4)(sk+qqk)


kifejezés pedig a megfelelő differenciális valószínűséget adja (térfogategységre és időegységre vonatkoztatva).[364]

A (98,10) amplitúdó szerkezete hasonló a síkhullámokkal való szóráséhoz. Ezért a részecskék polarizációja szerinti összegezést is a szokásos módon végezhetjük. A végállapotbeli elektron és foton polarizációjára összegezve, a kezdeti elektronéra átlagolva, a következő kifejezést kapjuk:

10.258. egyenlet - (98,15)

dWs=e2m24πd3kd3qq0q0ωδ(4)(sk+qqk)××2Js2(z)+ξ21+(kk)22(kp)(kp)(Js+12+Js122Js2).(98,15)


A (98,15) kifejezés integrálása előtt megjegyezzük, hogy mivel a cirkulárisan polarizált hullám tere tengelyesen szimmetrikus, ezért a differenciális valószínűség a k irány körüli φ azimutszögtől független. Ez a körülmény, valamint a δ-függvény lehetővé teszi, hogy egy kivételével az összes változó szerint elvégezzük az integrálást; az egy megmaradónak az u=(kk′)∕(kp′) invariáns mennyiséget választjuk. Ekkor d3kdφd(q0′+ω′) szerinti integrálás után

δ(4)(sk+q–q′–k′)(d3q′d3k′/q0′ω′)→(2πdu/(1+u)2).

Valóban, tömegközépponti rendszerben (melyben sk+q=q+k′=0) a kijelölt integrál 2π|q′| dcos∕Es, ahol Es=sω+q0=ω′+q0′, pedig a k és q′ vektorok által bezárt szög [vö. a (65,12) átalakítással]. Másrészt ebben a rendszerben

u=(Es/q0′–|q′|cos)–1 dcos=(Esdu/|q′|(1+u)2).

A –1≤cos≤1 tartomány a

0≤u≤us≡(Es2/m∗2)–1=(2s(kp)/m∗2)

tartománynak felel meg (az átalakítás során vegyük figyelembe, hogy kp=kq).

Ily módon a térfogategységre és időegységre jutó teljes sugárzási valószínűség a következő:[365]

10.259. egyenlet - (98,16)

W=s=1Ws=e2m24q0s=10usdu(1+u)2××4Js2(z)+ξ22+u21+u(Js+12+Js122Js2),(98,16)


ahol[366]

10.260. egyenlet - (98,17)

u=(kk)(kp),us=2s(kp)m2,z=2sm2ξ1+ξ2uus1uus.


ξ≪1 esetén (ez a perturbációszámítás alkalmazhatóságának feltétele) (98,16) integrandusa sorba fejthető ξ hatványai szerint. Az első tag W1 sorfejtésében a következő:

10.261. egyenlet - (98,18)

W1e2m24p0ξ20u12+u21+u4uu11uu1du==e2m24p0ξ214u18u12 ln(1+u1)+12+8u112(1+u1)2,(98,18)


és u1≈2(kp)∕m2. Ez az eredmény, amint az várható, a foton-elektron szórásra vonatkozó Klein–Nishina-képlettel egyezik meg: (98,18)-ban –a2=4π∕ω, ξ2=4πe2∕m2ω helyettesítést végezve és a (65,14) bejövőáramsűrűséggel osztva, (86,16)-hoz jutunk vissza (a szórás integrális hatáskeresztmetszete a foton kezdeti polarizációjától független).[367]

Megadjuk még a második harmonikus kisugárzási valószínűségének kifejezését (W2 sorfejtésének első tagját ξ≪1 esetén):

10.262. egyenlet - (98,19)

W2e2m2ξ4p00u2du(1+u)2uu21uu22+u21+u4uu21uu2==e2m2ξ4p012+13u14u122u1312(1+2u1)12u133u123u131u14 ln(1+2u1).(98,19)


Általánosan igaz, hogy Ws vezető tagja (nem túl nagy s-nél) ξ2s-nel arányos.

A következőkben az ellentétes, ξ≫1 esettel foglalkozunk. A ξ paraméter nagy lehet például úgy, hogy az ω frekvenciát csökkentjük rögzített térerősség mellett (nyilvánvalóan ξ=(eF/mω), ahol F a térerősség amplitúdója). A ξ≫1 esetben tehát lényegében állandó, homogén térben végbemenő folyamatról van szó, az E és H térerősségek egyenlő nagyságúak és egymásra merőlegesek (nevezzük az ilyen teret kereszttérnek ). A sugárzási valószínűség a ξ→∞ határátmenettel kapható meg, de egyszerűbb elvégezni a számítást egy

10.263. egyenlet - (98,20)

Aμ=aμφ,φ=kx,(ak)=0


alakú négyespotenciállal adott állandó térre vonatkozóan (Fμν=kμaν–kνaμ=const). Az elektronnak e térbeli egzakt hullámfüggvényét úgy kapjuk, hogy (98,20)-at (40,7)-be és(40,8)-ba helyettesítjük:

10.264. egyenlet - (98,21)

ψp=1+ek̂â2(kp)φu(p)2p0 expie(ap)2(kp)φ2+ie2a26(kp)φ3ipx.


Az ezzel a hullámfüggvénnyel számított eredmény pontosan megadja a kereszttérbeli sugárzást az elektron energiájának tetszőleges értéke mellett. Érdemes azonban megjegyezni, hogy ultrarelativisztikus esetben az eredmény (megfelelő formában előállítva – l. alább) nemcsak kereszttérre érvényes, hanem tetszőleges állandó homogén elektromágneses térre, így állandó mágneses térre is (ezt az esetet az 59. §-ban vizsgáltuk).

Az állítás formába öntéséhez megjegyezzük, hogy tetszőleges állandó homogén térben a részecske állapotát ugyanannyi kvantumszám határozza meg, mint a szabad részecske állapotát, és a kvantumszámokat mindig meg lehet úgy választani, hogy a tér kikapcsolása esetén a szabad részecske kvantumszámaiba, azaz a pμ (p2=m2) négyesimpulzusba menjenek át. Ily módon állandó térben levő részecske állapotát a p állandó négyesvektor írja le.

A sugárzás teljes intenzitása, invariáns mennyiség lévén, csak az Fμν, állandó négyestenzorból és a pμ állandó négyesvektorból képezhető invariánsoktól függ.[368] Figyelembe véve, hogy Fμν csak az e töltéssel együtt szerepelhet, három, dimenzió nélküli invariánst képezhetünk:

10.265. egyenlet - (98,22)

χ2=e2m6(Fμνpν)2=e2m6a2(kp)2,f=e2(Fμν)2m4,g=e2m4eλμνϱFλμFνϱ.(98,22)


Kereszttérben f=g≡0, általános esetben viszont mindhárom invariáns nullától különböző. Ha az elektron ultrarelativisztikus (p0≫m), a p vektor pedig az E, H terekkel ≫m∕p0 szöget zár be, akkor χ2≫f,g (más szavakkal kifejezve, ultrarelativisztikus részecske esetén tetszőlegesállandó tér kereszttérnek mutatkozik majdnem minden p irányban). Ha emellett a térerősségekre igaz, hogy |E|,|H|≪(m2/e)=(m2c3/eℏ), akkor |f|,|g|≪1.[369] Ilyen feltételek mellett a kereszttérben számított és a χ invariánssal kifejezett intenzitás érvényes lesz minden állandó térben bekövetkező sugárzásra.

A χ invariáns a következőképpen fejezhető ki az E és H térerősségekkel:

χ2=(e2/m6){(p×H+p0E)2–(pE)2}.

Állandó mágneses tér esetén χ az 59. §-ban bevezetett (59,3) mennyiséggel egyezik meg, úgyhogy az itt kifejtett gondolatmenet az 59. § eredményeinek egy más levezetését adja.[370]



[363] Erős elektromágneses síkhullám terében végbemenő különböző kvantumfolyamatok rendszeres tárgyalása a következő dolgozatokban található: A. I. Nyikisov , V. I. Ritusz, ZSETF 46, 776, 1768 (1964); 47, 1130 (1964); 52, 1707 (1967); N. B. Narozsnij , A. I. Nyikisov , V. I. Ritusz , ZSETF 47, 930 (1964). E munkákban (melyekre a tárgyalás során támaszkodunk) részletesen vizsgálták többek között a fotonemissziót és a párkeltést különböző polarizációjú sikhullámok terében.

[364] Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a ψp függvények egységnyi sűrűségre való normálása a „q skála szerint” δ-függvényre való normálásának felel meg [vö. (40,17), ahol az egyenlőség jobb oldaláról most hiányzik a q0∕p0 tényező]. Éppen ezért kell az elektron végállapotainak számát a d3q′ elemmel mérni.

[365] Ezt az összefüggést I. I. Goldman (1964) is levezette.

[366] z kiszámításához először vegyük észre, hogy z2=(a1Q)2+(a2Q)2=a2Q2, ahol Q=(q/(kq))–(q′/(kq′)). Erről könnyen meggyőződhetünk, ha azt a vonatkoztatási rendszert választjuk, amelyben (a1)0=(a2)0=0, az a1, a2, k vektorok az x1, x2, x3 tengelyek irányába mutatnak, és észrevesszük, hogy kQ=0 következtében Q0=Q3.

[367] a2-nek ez az értéke a négyespotenciál „egységnyi térfogatban egy foton” szerinti normálásának felel meg. Meghatározásához ω-t a (98,2) (valós) négyespotenciállal megadott klasszikus tér energiájával kell egyenlővé tenni.

[368] Hasonló meggondolás végezhető a differenciális intenzitásra nézve is.

[369] Megjegyezzük, hogy ugyanilyen pontossággal az (Fμνpν)2 mennyiségben p a részecske közönséges kinetikus négyesimpulzusának tekinthető.

[370] A számításoknak ezzel a módszerrel való végrehajtását illetően l. A. I. Nyikisov, V. I. Ritusz , ZSETF 46, 1768 (1964).