Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

97.§. Párkeltés ütközéseknél

97.§. Párkeltés ütközéseknél

Elektron–pozitron pár keletkezését két töltött részecske ütközésénél a két alábbi típusú diagram írja le:

10.229. egyenlet - (97,1)


A felső két folytonos vonal az ütköző részecskéknek felel meg, az alsó az elektron-pozitron párnak.

Két nehéz részecske (atommag) ütközését vizsgáljuk ultrarelativisztikus esetben. A részecskék mozgásállapotának az ütközés során bekövetkező megváltozása ez esetben elhanyagolható, a részecskék külső terek forrásainak tekinthetők. Ennek a következő két a) típusú diagram felel meg:

10.230. egyenlet - (97,2)


ahol q(1), q(2) a két részecske Fourier-transzformált tereinek „impulzusai” .

A párkeltés hatáskeresztmetszete ebben az esetben az ekvivalens fotonok módszerével, foton atommagon történő párkeltésének már ismert hatáskeresztmetszetéből meghatározható. Az egyik (mondjuk az első) részecske terének ekvivalens fotonok spektrumával való helyettesítése azt jelenti, hogy a (97,2) diagramokban a q(1) vonalakat valódi fotonvonalakként kezeljük. A két diagram ekkor ekvivalens azzal a kettővel, amely foton párkeltését írja le a 2 atommag terében. ε+,ε–≫m esetén az utóbbi folyamat hatáskeresztmetszetét (92,7) adja meg. E kifejezést az első mag ekvivalens fotonjainak (96,16) spektrumával szorozva kapjuk (logaritmikus pontossággal) a részecskék ütközésénél bekövetkező párkeltés differenciális hatáskeresztmetszetét:

10.231. egyenlet - (97,3)

dσ=8πre2(Z1Z2α)2d𝜀+d𝜀(𝜀++𝜀)4𝜀+2+𝜀2+23𝜀+𝜀×× ln𝜀+𝜀m(𝜀++𝜀)lnmγ𝜀++𝜀,(97,3)


ahol γ=1∕√(1–v2)≫1.

Itt feltételeztük, hogy

10.232. egyenlet - (97,4)

m𝜀+,𝜀mγ;


az első egyenlőtlenség az ekvivalens fotonok módszerének alkalmazhatósági feltétele. A (97,4) egyenlőtlenségek által meghatározott értékek éppen azzal az elektron- és pozitron-energiatartománnyal esnek egybe, amely a (97,3) kifejezés integrálásában lényeges. Adott ε≡ε++ε–(≫m) esetén mind a dε+, mind adε– szerinti integrálásban a felső határ közelébe eső tartomány járuléka lényeges; elhagyva a nagy logaritmust nem tartalmazó tagokat, azt kapjuk, hogy

dσ=(56/9π)re2(Z1Z2α)2ln(ε/m)ln(mγ/ε)(dε/ε).

A (97,4) tartományra számított dε szerinti integrál úgy divergál, mint a megfelelő logaritmusértékek köbe, a tartomány határán csak mint e logaritmusok négyzete. Logaritmikus közelítésben (lnγ≫1) tehát valóban a (97,4) tartomány az alapvető, és az integrál az m és mγ határok között számítható. Az eredmény a következő:

∫1γlnξ(lnγ–lnξ)(dξ/ξ)=(1/6)ln3γ,

úgyhogy a párkeltés teljes hatáskeresztmetszete

10.233. egyenlet - (97,5)

σ=2827πre2(Z1Z2α)2 ln311v2


(L. D. Landau , E. M. Lifsic , 1934).

Vizsgáljuk most azt az esetet, mikor az ütköző magok sebessége nemrelativisztikus. Ebben az esetben a magok mozgásának kölcsönhatásuk során bekövetkező megváltozása lényegessé válik, a párkeltés hatáskeresztmetszetéhez a fő járulékot a (97,1)b) típusú diagramok adják. Ilyen négy van: a következő kettő

10.234. egyenlet - (97,6)


és két, ezekhez hasonló, amelyekben a (párt keltő) k virtuális fotont nem a második, hanem az első mag bocsátja ki.[358]

A pár energiáját a magok relatív mozgásának tömegközépponti rendszerben mért mozgási energiájához képest kicsinek tekintjük:

10.235. egyenlet - (97,7)

𝜀++𝜀Mv22


[v a kezdeti relatív sebesség M=M1M2∕(M1+M2) a magok redukált tömege]. Ekkor a párkeltés visszahatása a magok mozgására elhanyagolható. Ha a (97,6) diagramokban az elektron-pozitron vonalat eltávolítjuk, a visszamaradó rész kis frekvenciájú (ω=ε++ε–), virtuális foton kisugárzásátábrázolja a részecskék ütközése során. Így visszajutottunk a 95. §-ban tárgyalt helyzethez, valódi, lágy foton emissziójához; felhasználhatjuk az ott kapott, a nemrelativisztikus esetre vonatkozó(95,13) képletet (a különbség annyi, hogy a valódi foton √(4π)e∗ amplitúdója helyett most a virtuális foton propagátora szerepel).[359] Az egész párkeltési folyamat amplitúdója ezért a következő alakbanírható:

10.236. egyenlet - (97,8)

Mfi=Mfi(0)1ωZ1eM1Z2eM2qλDλμ(k)[ie(ūγμu+)],


ahol q=(0,q), q=M(v′–v).

Nemrelativisztikus esetben szokás szerint a fotonpropagátornak a (77,14) mértékben felírt alakját használjuk. A (97,8) amplitúdóból a következő kifejezést kapjuk a folyamat hatáskeresztmetszetére

10.237. egyenlet - (97,9)

dσ=dσsze4Z1M1Z2M22d3p+d3p2𝜀+2𝜀(2π)6ω2(ω2k2)2(4π)2|ūγQu+|2,


ahol

ω=ε++ε–, k=p++p–, Q=q–(1/ω2)k(qk);

dσsz a magok egymáson való rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete (tömegközépponti rendszerben). Ezt a Rutherford-képlet adja meg:[360]

10.238. egyenlet - (97,10)

dσsz=4(Z1Z2e2)2M2dΩq44(Z1Z2e2)2dqydqzv2q4


(az utolsó egyenlőség felírásánál feltételeztük, hogy a magok csak kevéssé hajlanak el eredeti irányuktól – az x tengelytől). Ezt (97,9)-be helyettesítve és a pár polarizációjára valóösszegezést a szokásos módon elvégezve, azt kapjuk, hogy

10.239. egyenlet - (97,11)

dσ=(Z1Z2e2)2e4v2Z1M1Z2M22 Sp{(p̂+m)(γQ)(p̂+m)(γQ)}××d3p+d3pdqydqz4π4𝜀+𝜀q4(ω2k2)2ω2.(97,11)


A további számítást olyan közelítésben végezzük, hogy minden, az integrálás során fellépő logaritmikus tagot nagynak tekintünk. Látni fogjuk, hogy ebben a közelítésben az ε+,ε–≫m energiatartomány, és az

10.240. egyenlet - (97,12)

m𝜀𝜃1


szögtartomány játssza az alapvető szerepet; a p+és p–által bezárt szög. A(97,11)-ben levő nyom értéke a megfelelő közelítésben:

Sp{…} =4[(ε+ε––p+p–)(q2–((qk)2/ω2))+2(p+q)(p–q)+ +(2ε+ε–/ω2)(qk)2–(2qk/ω)(ε+qp–+ε–qp+)],

emellett |p+|=ε+, |p–|=ε– helyettesíthető. A nevezőben

ω2–k2≈ε+ε–2+m2((ε++ε–)2/ε+ε–).

Elvégezve az integrálást p+ és p– irányai szerint úgy, hogy a közöttük levő szög rögzített, azt kapjuk, hogy

10.241. egyenlet - (97,13)

dσ=83π2(Z1Z2e2)2e4v2Z1M1Z2M22(𝜀+2+𝜀2)d𝜀+d𝜀××𝜃3d𝜃𝜃2+m2(𝜀++𝜀)2𝜀+2𝜀22dqydqzq2.(97,13)


A -tól való függés alakja megerősíti a (97,12) feltevést, a d szerinti integrálás eredménye ln(ε+ε–/m(ε++ε–)). A dqydqz szerinti integrálást a qy=qz=0, √(qy2+qz2)∼1∕R határok között kell végezni, ahol R magsugár nagyságrendű mennyiség (ez az érték felel meg a minimális ütközési paraméternek -l. alább); ennek eredménye*[361]:

πln(qx2+qy2+qz2)|≈2πln(1/Rqx).

Másrészt a pár teljes energiája a magok energiaváltozásával egyenlő:

ε≡(ε++ε–)=(M/2)(v′2–v2)≈Mv(vx′–vx)=vqx

amiből qx=ε∕v. Így azt kapjuk, hogy

dσ=(16/3π)(Z1Z2e2)2(e4m2/v2)((Z2/M2)–(Z1/M1))2(ε+2+ε–2/ε4)ln(v/Rε)ln(ε+ε–/mε) dε+dε–,

majd integrálva dε+ vagy dε– szerint, adott ε összenergia mellett:

10.242. egyenlet - (97,14)

dσ=329π(Z1Z2e2)2e4m2v2Z2M2Z1M12 lnvR𝜀ln𝜀md𝜀𝜀.


Az ε energia a ϱ∼v∕ε ütközési paraméternek feleltethető meg (a pár energiája az ütközési időnek megfelelő frekvencia nagyságrendjébe esik). Ezért az ütközési paraméter szerint éppen olyan divergencia van (97,14)-ben, mint a dε szerinti integrálban levő logaritmikus divergencia. Ez azt jelenti, hogy ϱ nagy értékei lényegesek [ez egyúttal igazolja a (97,10) hatáskeresztmetszet használatának jogosságát a mag tiszta Coulomb-terében]. Ennek megfelelően a lényeges energiatartomány: m≪ε≪v∕R. (97,14) integrálásával kapjuk a párkeltés teljes hatáskeresztmetszetét (a szokásos egységekben):

10.243. egyenlet - (97,15)

σ=1627π(Z1Z2α)2re2cv2Z2mM2Z1mM12 ln3vmc2R


(E. M. Lifsic , 1935).

Feladat

Írjuk fel a két gyors mag ütközésekor bekövetkező párkeltés hatáskeresztmetszetének kifejezését. A (97,2) diagramokat használjuk.

Megoldás. A folyamat amplitúdója

Mfi=e2∫(d4p/(2π)4)ū(p–)Â(1)(p––p)G(p)Â(2)(p++p)u(–p+)+(1↔2),

ahol Â(1)(q), Â(2)(q) a magok által keltett külső terek; a ki nem írt tag az elsőből a magok sorszámának felcserélésével adódik.

Egyenletes v sebességgel mozgó klasszikus részecske által keltett Aμ=(A0,A) potenciál a

□ A0 =–4πZeδ(r–vt–r0), □ A =–4πZevδ(r–vt–r0)

egyenleteket elégíti ki. Ezek Fourier-transzformáltjai:

A0(k,ω)=–(8π2Ze/ω2–k2) e–ikr0δ(ω–kv),

és hasonló egyenlet érvényes A(k,ω)-ra. Négydimenziós alakban

Aμ(q)=–(8π2Ze/q2) e–iqx0Uμδ(Uq),

ahol U a részecske négyessebessége, az x0 négyesvektor pedig x0=(0,r0). Ha az 1 mag a koordinátarendszer kezdőpontjában nyugalomban van (r0(1)=0), akkor ρ≡r0(2) az ütközési paraméter vektora (a 2 mag mozgásirányára merőleges síkban).

Az amplitúdó így

Mfi =4Z1Z2e4ū(p–)Qu(–p+), Q =Û(1)(Î+Im)Û(2)+Û(2)(Î′+Im′)Û(1), Q̄ =Û(2)(Î∗+Im∗)Û(1)+Û(1)(Î′∗+Im′∗)Û(2),

ahol I és I′ a következő négyesvektor-integrálok:

I =∫p(e–i(p++p)ϱδ[U(1)(p––p)]δ[U(2)(p++p)]/(p––p)2(p2+m2)(p++p)2) d4p, I′ =∫p(e–i(p––p)ϱδ[U(1)(p++p)]δ[U(2)(p––p)]/(p––p)2(p2+m2)(p++p)2) d4p,

Im-et és Im′-t pedig a fentiekből úgy kapjuk, hogy a p tényezőt m-mel helyettesítjük.

A párkeltés valószínűsége adott ütközési paraméter mellett:

dw=(|Mfi|2/2ε+2ε–)(d3p+/(2π)3)(d3p–/(2π)3),

a pár polarizációjára való összegezés után

dw=((Z1Z2e4)2/(2π)4ε+ε–)Sp{(p̂–+m)Q(p̂+–m)Q̄} d3p+d3p–.

A hatáskeresztmetszetet úgy kapjuk, hogy dw-t d2ϱ szerint integráljuk.[362]



[358] Megjegyezzük, hogy két elektron ütközésekor bekövetkező párkeltésnél összesen 36 diagramot kell figyelembe venni: 2!3!=12a) típusú diagramot, melyeket egymásból a két kezdeti és a három végállapotbeli elektron permutálásával kapunk, és 2⋅2! 3!=24(97,6) diagramból kapunk ugyanilyen módon.

[359] Nemrelativisztikus esetben a foton impulzusa kicsi a sugárzó részecske impulzusváltozásához képest (|δp|∼ω∕v), és ezért (δp mellett) még ott is elhanyagolható, ahol a foton energiáját figyelembe kell venni. Ez még inkább így van az adott esetben virtuális fotonra, amelyre k2=(p++p–)2>0, úgyhogy |k|<ω. Ilyen feltételek mellett a valódi és a virtuális foton közötti különbség eltűnik, így a (95,13) képlet alkalmazása jogos.

[360] A (97,6) diagramokon a magok szórását Born-közelítésben ábrázoltuk. Mivel azonban a. Rutherford-formula (Coulomb-kölcsönhatásra) egzakt, ezért a kapott eredmények érvényességéhez a valóságban nem szükséges, hogy a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele teljesüljön.

[361] * A képlet bal oldalán levő kifejezés megváltozását kell venni az integrálás alsó és felső határa között. (A fordító megj.)

[362] A számítás további menetét illetően l. L. D. Landau , E. M. Lifsic , Phys. Zs. Sowjet 6, 244 (1934).