Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

96.§. Az ekvivalens fotonok módszere

96.§. Az ekvivalens fotonok módszere

Összehasonlítjuk az alábbi két diagram által leírt folyamatokat:

10.208. egyenlet - (96,1)


(a körök egyezményesen a diagramok belső részeit jelölik). Az a) diagramon k impulzusú foton (k2=0) ütközik valamilyen q négyesimpulzusú (és m tömegű; q2=m2) részecskével. Az ütközés eredményeként Q teljes négyesimpulzusú rendszer (egy vagy több részecske) keletkezik. A b) diagramon az előző q részecske ütközik egy másik, p négyesimpulzusú M tömegű részecskével (p2=M2). Az ütközés során ez utóbbi részecske p′ négyesimpulzusra tesz szert, és az előző Q rendszer keletkezik. A második folyamat úgy tekinthető, mint a q részecske és a p részecske által kisugárzott, k=p–p′ (k2<0) négyesimpulzusú virtuális foton ütközése. Ha ennek során |k2| kicsi, akkor a virtuális foton kevéssé különbözik a valóditól. Nyilvánvaló, hogy ilyen helyzet nagyon gyors részecskék ütközésekor fordulhat elő: egy v≈1 sebességgel mozgó részecske elektromágneses tere majdnem transzverzális, ezért tulajdonságai hasonlóak egy fényhullám terének tulajdonságaihoz. Ilyen feltételek mellett a b) folyamat hatáskeresztmetszete kifejezhető az a) folyamatéval.[354]

Feltételezzük tehát, hogy az M részecske ultrarelativisztikus: energiája (az m részecske nyugalmi rendszerében) ε≫M. Ha az ütköző részecskék különböző tömegűek, akkor az m<M konkrét esettel dolgozunk.

Az a) folyamat (melyben valódi foton vesz részt) amplitúdója az

10.209. egyenlet - (96,2)

Mfi(r)=e4π(eμJμ)


alakban írható, ahol eμ, a foton polarizációs négyesvektora, Jμ pedig a gráf csúcsrészéhez (kör) tartozóátmeneti áram. A b) folyamat amplitúdója

10.210. egyenlet - (96,3)

Mfi=Ze24πk2(jμJμ),


ahol jμ, az m részecske átmeneti árama (a diagram alsó csúcsa); Ze e részecske töltése. A Járam k=Q–q függvénye, és ezért a két esetben különböző: k2=0(96,2)-ben, k2≠0(96,3)-ban. Ha a második esetben

10.211. egyenlet - (96,4)

|k2|m2,


akkor J itt is a k2=0 helyen vehető.

Az M részecske impulzusváltozása a virtuális foton kibocsátása következtében p–p′=k, kicsi az eredeti |p|≈ε impulzusához képest; ezért a j átmeneti áramban p=p′ helyettesíthető. Másképp mondva, az M részecske mozgása egyenesvonalúnak és egyenletesnek tekinthető. Mivel az ilyen mozgás kváziklasszikus, ezért az átmeneti áram nem függ a részecske spinjétől:[355]

10.212. egyenlet - (96,5)

jμ=2pμ.


Az áram transzverzalitásának feltételéből (jk=0) most εω–pxkx=0 következik, az x tengelyt p irányában vettük fel. Innen

10.213. egyenlet - (96,6)

ω=vkx,


ahol v=px∕ε az M részecske sebessége. Mivel

10.214. egyenlet - (96,7)

k2=ω2+kx2+k2ω2(1v2)+k2


(k⊥ a k vektor x tengelyre merőleges összetevője), ezért a (96,4) feltétel a|k⊥|≪m, és a lényegesen gyengébb ω≪m∕√(1–v2) feltételekkel ekvivalens.

A J áram transzverzalitásából (Jk=0) (96,6) felhasználásával

J0=(Jx/v)+(J⊥k⊥/ω)

következik. Ezért a jJ skalárszorzat a következő:

10.215. egyenlet - (96,8)

jJ=2(J0𝜀Jxpx)2𝜀ωkJ+ωM2𝜀2Jx.


A (96,2)-ben levő Je szorzat kiszámításához a valódi foton polarizációs négyesvektorát háromdimenziós transzverzális mértékben írjuk fel: ek=–ek=0, ahonnan ex≈–e⊥k⊥∕ω. Ezzel

10.216. egyenlet - (96,9)

Je=eJkωJx.


Összehasonlítjuk (96,8)-at és (96,9)-et. Ha a zárójelben álló második tag mindkét esetben elhanyagolható, akkor a kettő arányos egymással. A J áram a (96,1)b) diagram felső sarokrészére vonatkozik, ezért p irányával nincs összefüggésben; Jx és J⊥így azonos nagyságrendű. Az előző elhanyagolás tehát akkor megengedett, ha a |k⊥|≪ω és ω≪ε2|k⊥|∕M2 feltételek teljesülnek; ezek nem mondanak ellent a k⊥-ra és ω-ra korábban kirótt feltételeknek.

Legyen a foton az x, k síkban polarizált (úgy, hogy e⊥∥k⊥). Az előbbi feltevések miatt e⊥2≈e2=1, így azt kapjuk, hogy

10.217. egyenlet - (96,10)

Mfi=Mfi(r)Ze4πk22𝜀ω|k|.


Felhasználtuk, hogy teljesülnek a

10.218. egyenlet - (96,11)

|k|ωmγ,


10.219. egyenlet - (96,12)

ωγ2|k|m


feltételek is, ahol a rövidség kedvéért a

γ=(ε/M)=(1/√(1–v2))

jelölést vezettük be.

Innen már megadhatjuk a megfelelő hatáskeresztmetszetek közötti összefüggést. A (65,18) általános összefüggés szerint (az m részecske nyugalmi rendszerében)

dσr =|Mfi(r)|2(2π)4δ(4)(Pf–Pi)(1/4mω) dϱQ, dσ =|Mfi|2(2π)4δ(4)(Pf–Pi)(1/4mε)(d3p′/2ε(2π)3) dϱQ,

ahol ϱQ, a Q rendszer statisztikus súlyai . (96,10)-et és (96,7)-et felhasználva, azt kapjuk, hogy

10.220. egyenlet - (96,13)

dσ=dσrn(k)d3p,


ahol

10.221. egyenlet - (96,14)

n(k)=Z2e2π2k2ωk2+ω2γ22.


Emlékeztetünk rá, hogy dσr az a) folyamat hatáskeresztmetszete; ebben a folyamatban egy valódi foton ütközik egy nyugvó részecskével, az ütközés során a Q részecskerendszer keletkezik, ennek impulzusa adott tartományba esik. dσ a b) folyamat hatáskeresztmetszete, ebben ugyanaz a Q rendszer keletkezik egy gyors (M tömegű) részecskének és az előbbi nyugvó részecskénekütközéséből, a gyors részecske impulzusvesztesége p–p′=k; p′értéke a d3p′ tartományba esik. A (96,13)-ban levőn(k) tényező a fotonok (k térbeli) számsűrűségeként értelmezhető, a fotonokkal a gyors részecske elektromágneses tere ekvivalens.

A d3p′ szerinti integrálás a d3k=dωd2k⊥ szerintivel helyettesíthető. d2k⊥ szerint integrálva annak a folyamatnak a hatáskeresztmetszetét kapjuk, amelyben a Q részecskerendszer E teljes energiája az adott dE=dω tartományba esik. (E–m=ε–ε′=ω), ahol ε és ε′ az M részecske kezdeti és végső energiája). A k⊥ irányaira való integrálás a bejövő foton polarizációs irányaira való átlagolást jelent (2π-vel való szorzással együtt). Így azt kapjuk, hogy

10.222. egyenlet - (96,15)

dσ=n(ω)dσrdω,


ahol

n(ω)=∫n(k)2πk⊥dk⊥=(2Z2e2/πω)∫(k⊥3dk⊥/(k⊥2+(ω2/γ2))2).

A dk⊥ szerinti integrál nagy k⊥értékekre divergál. A divergencia azonban csak logaritmikus. Ez lehetővé teszi, hogy az eredményt (a módszer alkalmazhatósági határain belül) logaritmikus közelítésben meghatározzuk: feltesszük, hogy a logaritmusnak nemcsak az argumentuma, hanem függvényértéke is nagy. Ilyen pontosság mellett az integrál felső határa k⊥ max∼m, ami éppen a (96,12) egyenlőtlenség felső határa. Elvégezve az integrálást, megkapjuk az ekvivalens fotonok spektrális eloszlását (a szokásos egységekben):

10.223. egyenlet - (96,16)

n(ω)dω=2πZαlnγmc2ωdωω.


Az alkalmazott közelítésben a logaritmus argumentuma egy számtényező erejéig határozatlan: egy ilyen tényező a nagy logaritmusértékhez képest kis (∼1) korrekciós tagot jelentene, és túllépné a megengedett pontosságot.

Feladatok

1. Határozzuk meg gyors elektron és atommag ütközésekor fellépő fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetét, a foton-elektron szórás hatáskeresztmetszetéből kiindulva.

Megoldás. A K1 vonatkoztatási rendszerben, melyben az elektron az ütközés előtt nyugalomban van, a folyamat úgy tekinthető, mint a mag tere ekvivalens fotonjainak az elektronon való szóródása.[356] A foton-elektron szórás hatáskeresztmetszete a K1 rendszerben (86,10) szerint a következő:

10.224. egyenlet - (1)

dσsz(ω1,ω1)=πre2mdω1ω12ω1ω1+ω1ω1+mω1mω122m1ω11ω1,


ahol ω1és ω1′ a foton kezdeti és végső energiája az adott rendszerben. A fékezési sugárzás hatáskeresztmétszete a K1 rendszerben

10.225. egyenlet - (2)

dσsug(ω1)=dω1n(ω1)dσsz(ω1,ω1),


ahol n(ω1) a (96,16) függvény. Mivel a hatáskeresztmetszet invariáns, ezért a K vonatkoztatási rendszerbe, a mag nyugalmi rendszerébe valóáttérés során csak azω1′ frekvenciát kell transzformálni. A K1és K rendszerbeli ω1′és ω′ frekvenciák között az

10.226. egyenlet - (3)

ω=γω1(1vcos𝜃1),γ=11v2


Doppler-képlet teremt kapcsolatot, ahol 1 a szórási szög a K1 rendszerben. Ugyanez a szög köti össze ω1′-t és ω1-et, (86,8) szerint:

10.227. egyenlet - (4)

1ω11ω1=1m(1 cos𝜃1).


(3)-ból és (4)-ből

10.228. egyenlet - (5)

ω1=ω1𝜀𝜀,


ahol ε=mγ, és ε′ az elektron kezdeti és végső energiája a K rendszerben (ε–ε′=ω′). (5)-öt (1)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

dσsz=πre2(mdω′/εω1)((ε′/ε)+(ε/ε′)+(m2ω′2/ε′2ω12)–(2mω′/ω1ε′)).

Ezt a kifejezést kell (2)-be helyettesíteni-és adott ω′ (azaz adott ε′) mellett dω1 szerint az

ω1 max=(2εω′/m), ω1 min=(mω′/2ε′)

határok között integrálni [ezek az értékek (3)-ból és (4)-ből adódnak 1=0 és 1=π esetén]. Mivel az integrál nagy ω1 értékekre gyorsan konvergál, a fő járulékot az alsó határ közelébe eső ω1 tartomány adja (azaz ω1 max∞-nel helyettesíthető). Az integrált logaritmikus pontossággal[357] számítva, azt kapjuk, hogy

dσsug=4re2αZ(dω′/ω′)(ε′/ε)((ε/ε′)+(ε′/ε)–(2/3))ln(εε′/mω′).

Ez az eredmény akkor érvényes, ha ε≫m mellett (ultrarelativisztikus elektron) a (96,11) feltétel is teljesül: az integrálásnál lényeges frekvencia ω1∼ω1 min≪ε. Innen ε–ε′=ω′≪εε′∕m. Ilyen feltételek mellett a kapott eredmény, amint az várható, logaritmikus pontossággal megegyezik (91,17)-tel.

2. Az előző feladat, elektron-elektron ütközésnél bekövetkező fékezési sugárzásra.

Megoldás. Ez esetben a virtuális foton egyaránt szóródhat a gyors és a visszalökött elektronon; az egyik elektron terével ekvivalens fotonok a másik elektronon szóródnak és fordítva. A virtuális fotonok gyors elektronon való szóródása a dσsz(1) hatáskeresztmetszetet adja, ez az elektron atommag terében való sugárzásának hatáskeresztmetszetével egyezik meg Z=1 esetén.

A virtuális fotonoknak a visszalökődött elektronon való szóródása a sugárzás hatáskeresztmetszetéhez a

dσsug(2)=∫ dωn(ω) dσsz(ω,ω′)

járulékot adja, dσsz(ω,ω′)-t (1)-ből vesszük (figyelembe véve, hogy a frekvenciák jelölését megváltoztattuk). Az ω által befutott tartomány adott ω′ mellett [vö. (4)]:

ω′ ≤ω≤∞, ha ω′>(m/2); ω′ ≤ω≤(ω′/m–2ω′), ha ω′<(m/2).

ω′<m∕2 esetén a dω szerinti integrálból (94,4)-gyel összhangban:

dσsug(2)=(16/3)αre2(dω′/ω′)(1–(ω′/m)+(ω′2/m2))ln(ε/ω′).

Ha ω′>m∕2, akkor meg kell különböztetnünk az ω′∼m és ω′∼ε≫m eseteket. Az elsőben

dσsug(2)=(2/3)αre2(mdω′/ω′2)(4–(m/ω′)+(m2/4ω′2))ln(ε/m)

(94,3)-nak megfelelően (a logaritmus argumentumában ε∕ω′-t ε∕m-mel helyettesítettük). Az ω′∼ε esetben az ekvivalens fotonok módszere dσsug(2) kiszámítására nem alkalmazható. A virtuális fotonok ω frekvenciájának értékei ω′-től indulnak, és ω=ω′∼ε esetén a (96,11) feltétel nem teljesül.

3. Határozzuk meg a párkeltés teljes hatáskeresztmetszetét foton–atommag ütközésben , kiindulva a foton + foton →e++e– folyamat hatáskeresztmetszetéből.

Megoldás. A foton energiája a mag nyugalmi rendszerében (K rendszer): ω=mγ, γ≫1. Áttérünk a K0 vonatkoztatási rendszerre, melyben a mag a fotonnal szemben olyan v0 sebességgel mozog, hogy

(1/√(1–v02))=(γ/2).

Ebben a rendszerben a foton energiája

ω0=ω(1–v0/√(1–v02))≈(ω/2)√(1–v02)=m.

A keresett σ hatáskeresztmetszetet a K0 rendszerben számítjuk ki úgy, mint a párkeltés hatáskeresztmetszetét a bejövő foton és a mag ekvivalens fotonjainak ütközésénél. Az utóbbiak energiáját ω′-vet jelöljük.

σ=∫σγγn(ω′) dω′,

ahol σγγ a kétfotonos párkeltés hatáskeresztmetszete; ezt a 88. § feladatának (1) képlete adja, amelybe:

v=√(1–(m2/ω0ω′))=√(1–(m/ω′))

helyettesítendő. Az ω′-ről a v változóra áttérve, azt kapjuk, hogy

σ=2re2αZ∫01vln[γ(1–v2)]{(3–v4)ln(1+v/1–v)–2v(2–v2)} dv.

Mivel az integrál a felső határnál konvergens, ezért kiterjeszthető a teljes tartományra az ω′=m (v=0) reakcióküszöbtől ω′=∞ (v=1)-ig, és logaritmikus pontossággal elvégezhető (azaz a ln[γ(1–v2)]v=0-nál felvett értékét az integráljel elé visszük). Végeredményben (92,8)-cal egyezésben azt kapjuk, hogy

σ=(28/9)αZ2re2lnγ;

a képlet lnγ≫1 esetén érvényes.



[354] Az itt bemutatott módszert K. Weizsäcker és E. J. Williams (1934) dolgozta ki; a módszer alapgondolata E. Fermitől (1924) származik.

[355] Ha a hullámfüggvény normálása „egységnyi térfogatban egy részecske”, akkor jμ=(1,v), ahol v a sebesség. Megállapodásszerűen (65. §) azonban a hullámfüggvényekből elhagytuk az 1∕√(2ε) normálási tényezőt. Ennek megfelelően jμ-t 2ε-nal kell még szorozni, így jutunk a (96,5) kifejezéshez.

[356] A virtuális fotonok a magon nem szóródnak (a mag nyugalmi rendszerében) a nagy magtömeg miatt: a hatáskeresztmetszet a szóró részecske tömegének növekedésével nullához tart.

[357] Ez azt jelenti, hogy egyszer parciálisan integrálunk, a nagy logaritmusértéket tartalmazó tagot megtartjuk, a többit elhanyagoljuk. Ez egyszerűen arra vezet, hogy ln(ε∕ω1)-et kell az integráljel elé írni az ω1=ω1 min helyen.