Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

95§. Lágy fotonok kisugárzása ütközésekben

95§. Lágy fotonok kisugárzása ütközésekben

Legyen dσ0 a hatáskeresztmetszete töltött részecskék valamilyen szórásfolyamatának, amellyel adott számú foton emissziója járhat együtt. Vizsgáljuk azt a folyamatot is, mely az előzőtől csak annyiban különbözik, hogy eggyel több foton emittálódik. Ha ez utóbbi ω frekvenciája elég kicsi (a feltételeket a későbbiekben pontosan megfogalmazzuk), akkor a második folyamat dσ hatáskeresztmetszete egyszerű kapcsolatban áll dσ0-lal.

Valóban, kis ω értékeknél a fotonkvantum emissziójának a szórásfolyamatra való visszahatása elhanyagolható. Más szavakkal kifejezve, a dσ hatáskeresztmetszet két egymástól független tényező szorzataként írható fel: az egyik a dσ0 hatáskeresztmetszet, a másik az egy foton kisugárzásának dw valószínűsége. A lágy foton emissziója kváziklasszikus folyamat; a valószínűség ezért megegyezik az ütközés során kisugárzott kvantumok klasszikus számítással adódó számával, azaz a sugárzás dI klasszikus intenzitásának (a teljes energiának) és ω-nak (=ℏω) hányadosával. Így

10.181. egyenlet - (95,1)

dσ=dσ0dIω.


Megmutatjuk, hogyan vezethető le ez az összefüggés a diagramtechnika általános szabályait használva (J. M. Jauch , F. Rohrlich , 1954).

A második folyamat gráfjait az alapfolyamat gráfjaiból úgy kaphatjuk, hogy azokat egy külső fotonvonallal egészítjük ki, amely valamelyik (külső vagy belső) elektronvonalból „ágazik el”; ez a

10.182. egyenlet - (95,2)


helyettesítésnek felel meg. Könnyen látható, hogy a főszerepet azok a gráfok játsszák, amelyeken a foton külső elektronvonalhoz csatlakozik. Valóban, ha p egy külső vonalhoz tartozó impulzus (p2=m2), akkor kis k mellett (p–k)2≈m2, azaz az eredeti gráfhoz járuló G(p–k) szorzótényező argumentuma a pólushely közelébe esik.

Ha a (95,2) helyettesítést egy kezdeti elektronhoz tartozó vonalon végezzük, ez az amplitúdóban az

u(p)→e√(4π)G(p–k) ê∗u(p)=e√(4π)(p̂–k̂+m/(p–k)2–m2)ê∗u(p)≈ ≈ –e√(4π)(p̂+m/2(pk))ê∗u(p)

helyettesítést jelenti (az első e tényező a töltés).

Mivel p̂ê∗=2pe∗–ê∗p̂ és p̂u(p)=mu(p), ezért a helyettesítési szabálya következő:

10.183. egyenlet - (95,3)

u(p)e4π(pe)(pk)u(p).


Hasonlóan, egy végállapotbeli elektronvonalon elvégzett

helyettesítés az amplitúdóra nézve az

10.184. egyenlet - (95,4)

ū(p)e4πū(p)(pe)(pk)


változtatást jelenti.

A gráf összes többi részében a k fotonemisszióval kapcsolatos impulzusváltozásokat elhanyagolhatjuk. A foton ω energiája természetesen kicsi kell, hogy legyen a folyamatban részt vevő mindegyik részecske energiájához képest (a kisugárzott kemény fotonok energiájához képest is, ha ilyenek vannak).

Megvizsgálunk egy konkrét esetet; legyen dσ0 az elektron mozdulatlan atommagon való szóródásának hatáskeresztmetszete (esetleg kemény fotonok kisugárzásával együtt). A folyamat amplitúdója

Mfi(0)=ū(p′)Mu(p).

Elvégezve egyrészt a (95,3), másrészt a (95,4) helyettesítést, és a két eredményt összeadva, annak a fékezési sugárzásnak az amplitúdóját kapjuk, melyben ugyanazok a kemény fotonok és mellettük a k lágy foton emittálódik:[350]

10.185. egyenlet - (95,5)

Mfi=Mfi(0)e4πpepkpepk.


A hatáskeresztmetszet ennek megfelelően:

10.186. egyenlet - (95,6)

dσ=dσ04πe2pepkpepk2d3k(2π)32ω.


A foton polarizációjára összegezve azt kapjuk, hogy

10.187. egyenlet - (95,7)

dσ=e2ppkppk2d3k4π2ωdσ0.


Háromdimenziós mennyiségekkel kifejezve az összefüggés a következő:[351]

10.188. egyenlet - (95,8)

dσ=αv×n1vnv×n1vn2dωdΩk4π2ωdσ0,


ahol n=k∕ω, vés v′ pedig az elektron kezdeti és végső sebessége. Látjuk, hogy a dσ0 előtt álló kifejezés (az ω nevezőtől eltekintve) valóban a sugárzási intenzitás klasszikus alakjával esik egybe [vö. II. (69,4)], amint azt (95,1)-benállítottuk.

A kapott összefüggések akkor érvényesek, ha a magnak átadott q impulzus nagy ahhoz a δq impulzusátadás-változáshoz képest, amit a lágy foton kisugárzása okoz. Fennáll, hogy

δq=(p′–p–k)–(p′–p)|ω=0=δp′–k,

emellett |δp′|∼(∂|p′|/∂ε)ω∼(ω/v), és |k|=ω. Nemrelativisztikus esetben ezért a feltétel a következő:

10.189. egyenlet - (95,9)

ω|q|v1.


Mivel másrészt |q|∼q∕ϱ (ϱ az ütközési paraméter), ezért a feltétel azωτ≪1 alakban is írható, ahol τ∼ϱ∕v az ütközés karakterisztikus ideje.

Ultrarelativisztikus esetben a fotonok főleg v-hez vagy v′-höz közeli irányokban emittálódnak [amint ez (95,8) nevezőjéből látható]. Ha az elektron szóródási szöge kicsi, akkor a p, p′, n vektorok közelítőleg azonos irányúak. Ekkor

|δq|=|δp′|–|k|=ω((1/v)–1)∼(ωm2/ε2),

és mivel |q|∼ε, ezért a

10.190. egyenlet - (95,10)

𝜃ω𝜀m2𝜀2


feltételt kapjuk.

Mivel a (95,5)…(95,8) képletek kváziklasszikusak, ezért tetszőleges töltött részecske sugárzására érvényesek (nemcsak elektronokra, melyekre a levezetés vonatkozott). Általános esetben, mikor a folyamatban több ilyen részecske vesz részt, (95,5)-öt a következő alakban kell írni:

10.191. egyenlet - (95,11)

Mfi=Mfi(0)e4πZpepkpepk,


ahol az összes (Ze töltésű) részecskére összegezni kell; ennek megfelelően változnak a (95,6)…(95,8) képletek is.

Speciálisan, nemrelativisztikus esetben

10.192. egyenlet - (95,12)

Mfi=Mfi(0)e4πωZ(vv)e.


Két részecskére ez a következő alakot ölti:

10.193. egyenlet - (95,13)

Mfi=Mfi(0)4πωZ1em1Z2em2qe,q=m(vv),m=m1m2m1+m2,(95,13)


ahol vés v′ a részecskék relatív sebessége ütközés előtt és után.

A kapott eredmények általánosíthatók arra az esetre, amikor egyidejűleg több lágy foton emittálódik. Az Mfi amplitúdóhoz minden egyes foton olyan tényezővel járul hozzá, mint amilyen (95,5)-ben Mi(0) mellett áll. Erről közvetlenül könnyen meggyőződhetünk, mondjuk két foton példáján. Mindkét fotonvonalat külső elektronvonalhoz kell csatlakoztatni, mégpedig mindkét lehetséges sorrendben, azaz egy p külső vonallal rendelkező diagramot a következő kettővel kell helyettesíteni

Ezek az

(1/2(pk1+pk2))(1/2pk1) vagy (1/2(pk1+pk2))(1/2pk2)

szorzótényezőket tartalmazzák (az elektronpropagátorok nevezői). Összegük

(1/2pk1)(1/2pk2),

tehát az egyes fotonokhoz tartozó, egymástól független tényezők szorzata. Végeredményben a diagramok összegezése után az egyes tagok (a mértékinvariancia következtében) mint különbségek szorzatai jelennek meg:

((p′e1∗/p′k1)–(pe1∗/pk1))((p′e2∗/p′k2)–(pe2∗/pk2)).

Az amplitúdó faktorizációja következtében a folyamat hatáskeresztmetszete is tényezőkre bomlik. A lágy fotonok emissziója tehát egymástól független. n számú lágy foton kisugárzásával járó folyamat hatáskeresztmetszetét a

10.194. egyenlet - (95,14)

dσ=dσ0dw1dwn


alakban írhatjuk, ahol dw1, dw2,… az egyes, k1,k2,… impulzusú fotonok külön-külön való kisugárzásának valószínűsége. A változók (frekvenciaés irány) lehetséges értékei, azaz a fázistér mindegyik kvantumra azonos. Az integrálás során egy 1∕n! tényezővel kell figyelembe venni a fotonok azonosságát.

A sugárzás (95,1) hatáskeresztmetszetét a frekvencia szerint valamilyen ω1-től ω2-ig terjedő véges tartományra integrálva, a

10.195. egyenlet - (95,15)

dσαlnω2ω1dσ0


kifejezést kapjuk [vö. (95,8)]. Magától értetődően mindkét frekvenciaérték kicsi,ω2 lehetséges értékeit a módszer alkalmazhatóságának feltétele korlátozza. Logaritmikus pontossággal ω2∼εírható, ahol ε a sugárzó részecske kezdeti energiája. ω1értéke alulról egyáltalán nem korlátozott. Láthatjuk azonban, hogy ω1→0 esetén a hatáskeresztmetszet végtelenhez tart. A következőkben megvilágítjuk e körülmény – azú.n. infravörös katasztrófa– lényegét (F. Bloch , A. Nordsieck , 1937).

Ha

10.196. egyenlet - (95,16)

αln𝜀ω11,


akkor dσ≿ dσ0. Ez azonban azt jelenti, hogy a perturbációszámítás nem alkalmazható, ui. dσ nem alacsonyabb nagyságrendű mennyiség, mint dσ0. Más szóval, ebben az esetben a sorfejtés kis paraméterének nem α-t, hanemαln(ε∕ω1)-et kell tekinteni.

Így a perturbációszámítás alapján levezetett (95,5)…(95,8) képletek túl kis frekvenciákra nem érvényesek. Más oldalról viszont a dI intenzitásra vonatkozó klasszikus képlet [II. (69,4)] annál inkább alkalmazható, minél kisebb ω. Ezért (95,1) helyes marad, ha jelentését némileg a klasszikus jelleg felé megváltoztatjuk. (95,1)-ben feltételeztük, hogy egy foton keletkezik; ekkor a részecske által a sugárzásra fordított energia ω, a „relatív energiaveszteség hatáskeresztmetszetét” pedig az ωdσ∕ε kifejezés adja meg, ami másképpen

10.197. egyenlet - (95,17)

dσ0dI𝜀.


A valóságban azonban elegendően kis ωértékeknél a sugárzás valószínűsége nem kicsi, két vagy több foton kisugárzásának valószínűsége pedig nem kisebb, hanem nagyobb, mint egy fotoné. Ilyen feltételek mellett a (95,17) kifejezés érvényes marad, azonban a dI klasszikus intenzitás nem egy foton kisugárzásának valószínűségét határozza meg, hanem az emittált fotonokátlagos számát:

10.198. egyenlet - (95,18)

dn̄=dIω,


vagy az ω1–ω2 véges frekvenciatartományban

10.199. egyenlet - (95,19)

n̄=ω=ω1ω2dIω.


Mivel a lágy fotonok statisztikusan függetlenül emittálódnak (ez a perturbáció-számítás minden rendjében érvényes), a többszörös emisszióra a Poisson-képletet alkalmazhatjuk: n foton kisugárzásának w(n) valószínűsége n̄-sal a következőképpen fejezhető ki:

10.200. egyenlet - (95,20)

w(n)=n̄nn!en̄.


Írjuk a fotonkisugárzással járó szórásfolyamat hatáskeresztmetszetét

10.201. egyenlet - (95,21)

dσ=dσ0w(n)


alakban. Mivel ∑w(n)=1, ezért dσ0 a tetszőleges számú lágy foton emissziójával együttjáró szóródás hatáskeresztmetszete. Ez a körülmény a klasszikus tárgyalásból nyilvánvaló; a perturbációszámítás szerint dσ0 a tisztán rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete. A perturbációszámítás azonban itt nem alkalmazható. dσ0 a valóságban tetszőleges számú lágy foton emisszióját is tartalmazza. A tisztán rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete a valóságban nulla: ω1→0 esetén n̄→∞, és (95,20) szerint tetszőleges véges számú foton emissziójának valószínűsége nulla.[352]

Feladatok[353]

1. Határozzuk meg atommag terében ultrarelativisztikus elektron által fékezési sugárzással emittált lágy kvantumok spektrális eloszlását.

Megoldás. Integrálva (95,8)-at dΩk szerint, azt kapjuk, hogy

10.202. egyenlet - (1)

dσ=αK(ξ)dωωdσ0,


ahol

10.203. egyenlet - (2)

K(ξ)=2π2ξ2+1ξξ2+1ln(ξ+ξ2+1)1,ξ=|p|msin𝜃2


(p az elektron impulzusa, a szóródási szöge). Ultrarelativisztikus esetben a lényeges járulékot az

10.204. egyenlet - (3)

m2ω𝜀3𝜃m𝜀


szögtartomány adja [az alsó határ a (95,10) feltétel, a felső határról később lesz szó]. Így ξ≈ε∕2m≪1, tehát

K(ξ)≈(8/3π)ξ2,

az elektron magon való rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete pedig [l. (81,10)]:

10.205. egyenlet - (4)

dσ04Z2re2m2𝜀2dΩ𝜃4.


A

dσω=(16/3)Z2αre2(dω/ω)∫(d/)

integrál logaritmikusan divergens; alulról ∼m2ω∕ε3-nél, felülről ξ∼1-nél, tehát ∼m∕ε-nál vágjuk le (ξ→∞ esetén

K≈(4/π)lnξ,

tehát az integrál konvergens). Így logaritmikus pontossággal

10.206. egyenlet - (5)

dσω=163Z2αre2dωωln𝜀2mω,


megegyezésben a (91,17) képlet (ebben ε≈ε′ helyettesítendő) logaritmikus részével. A logaritmikus pontosság csak úgy javítható, ha a kváziklasszikus tartomány határain túllépünk.

2. Határozzuk meg (tömegközépponti rendszerben) a következő folyamat hatáskeresztmetszetét: két ultrarelativisztikus elektron ütközésekor egyidejűleg két lágy foton emittálódik egymással ellentétes, az elektronok impulzusaival kis szöget bezáró irányokban.

Megoldás. Az egymással ellentétes irányban kirepülő fotonokat a megfelelő irányokban mozgó elektronok sugározzák ki. Az egyidejű sugárzás hatáskeresztmetszete

10.207. egyenlet - (6)

dσ=dσ0αK(ξ)dω1ω1αK(ξ)dω2ω2,ξ=𝜀msin𝜃2,


ahol ε az egyes elektronok energiája, a tömegközépponti rendszerben mért szórási szög, amely a két elektronra azonos (mivel a fotonok különböző irányokban emittálódnak, és ezt előre kikötöttük, a hatáskeresztmetszetet nem kell kettővel osztani). Az elektronok kis szögben történő rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete ultrarelativisztikus esetben tömegközépponti rendszerben (4)-gyel egyezik meg [vö. (82,11)]. (1)-től eltérően a (6) hatáskereáztmetszet →0 esetén úgy viselkedik, mint d, tehát az integrál konvergens. Ez a körülmény egyrészt lehetővé teszi, hogy az integrálást =0-tól kezdjük (nem törődve azzal, hogy esetleg megsértjük a módszer alkalmazhatóságának feltételét). Másrészt a lényeges járulékot most a ∼m∕ε tartomány adja (nem pedig a≪m∕ε), úgyhogy a (2) kifejezés pontos alakját kell használni. A szögek szerinti integrálás eredménye:

dσω1ω2=(2/π)[5+(7/2)ζ(3)]re2α2(dω1/ω1)(dω2/ω2)=5,9re2α2(dω1/ω1)(dω2/ω2)

[ζ a Riemann-függvény , ζ(3)=1,202].



[350] A különbség megjelenése a képletben a mértékinvariancia természetes következménye: a folyamat amplitúdója nem változhat, ha a polarizációs négyesvektoron az e→e+const⋅k helyettesítést végezzük.

[351] Ennek levezetésére célszerű visszatérni a (95,6) alakhoz, abban elvégezni a p=(ε,εv), pk=εω(1–vn),…,e=(0,e), helyettesítéseket és újra összegezni a polarizációra, felhasználva (45,4a)-t.

[352] Ennek részletesebb tárgyalására a könyv második részében a sugárzási korrekciók számításánál visszatérünk.

[353] A (95,7) összefüggés bemutatott alkalmazásai V. N. Bajer től és V. M. Galickijtól (1964) származnak.