Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

94.§. Elektron fékezési sugárzása elektronon ultrarelativisztikus esetben

94.§. Elektron fékezési sugárzása elektronon ultrarelativisztikus esetben

Az elektron-elektron ütközésnél keletkező fékezési sugárzást nyolc Feynman-diagram írja le: ebből négyet lerajzoltunk, a másik négy ún. „kicserélődési” diagramot úgy kapjuk, hogy p1′ és p2′-t felscseréljük egymásal.

10.161. egyenlet - (94,1a)


10.162. egyenlet - (94,1b)


Az ultrarelativisztikus esetre vonatkozó számítások eredményeit mutatjuk be.[345]

Laboratóriumi rendszerben (az egyik kezdeti elektron, mondjuk a második nyugalmi rendszerében) a sugárzásnak a foton irányai szerint integrált hatáskeresztmetszetét a dσ=dσ(1)+ dσ(2) összeg alakjában írhatjuk, ahol

10.163. egyenlet - (94,1)

dσ(1)=4αre2dωω𝜀ω𝜀𝜀𝜀ω+𝜀ω𝜀23ln2𝜀(𝜀ω)mω12;


10.164. egyenlet - (94,2)

dσ(2)=23αre2mdωω24mω+m24ω2 ln2𝜀m2+2mω5m28ω2,haωm2;(94,2)


10.165. egyenlet - (94,3)

dσ(2)=23αre2dωω81ωm+ω2m2 ln𝜀ω12ωmln12ωm××m34ω3m22ω2+3mω2+4ωmm22ω2+3m2ω2+2ωm4ω2m2,haωm2(94,3)


(ε az első elektron kezdeti energiája).

Ezek a képletek m∕ε relatív nagyságrendű tagokig érvényesek. Ilyen közelítésben a hatáskeresztmetszetben különböző diagramokból származó interferenciatag nincs, így ebben az értelemben dσ(1) és dσ(2) az egyes elektronok – a gyors és a visszalökött elektron sugárzásának felel meg [(94,1a) és (94,1b) diagramok].

A kicserélődési diagramok a hatáskeresztmetszethez ugyanolyan járulékot adnak, mint a „direkt” diagramok. Az elektronok azonossága miatt összegüket kettővel osztani kell, ezért a számítást végezhetjük úgy, hogy csak a direkt diagramokat tekintjük, és nem vesszük figyelembe a részecskék azonosságát. Elektron–pozitron ütközésnél a kicserélődési diagramok helyett szétsugárzásos típusúak vannak. Járulékuk relatív nagyságrendje azonban m∕ε, ezért ezeket elhanyagoljuk. Így az adott közelítésben az elektron–elektron és elektron–pozitron ütközésnél fellépő fékezési sugárzás hatáskeresztmetszete azonos.

Ha ω≫m, akkor

(dσ(2)/dσ(1))∼(m/ω)≪1,

azaz a visszalökött elektron sugárzása kicsi a gyors elektronéhoz képest [amikor ez az arány eléri az m∕ε nagyságrendet, a (94,3) képlet természetesen értelmét veszti]. Az ω≪m esetben viszont a hatáskeresztmetszet két része majdnem azonos:

10.166. egyenlet - (94,4)

dσ(1)=163αre2dωωln2𝜀2mω,dσ(2)=163αre2dωωln𝜀ω,haωm.(94,4)


A (94,2)…(94,5) képletek akkor érvényesek, ha legalább az egyik elektron ultrarelativisztikus marad sugárzás után. Más szavakkal, a foton frekvenciájának elég távol kell lennie a spektrum felső, „kemény” határától, azaz a maximális ωmax frekvenciától. A végállapotbeli elektron energiája akkor minimális, a fotoné pedig maximális, ha a sugárzás után mindkét elektron a foton irányával párhuzamosan mozog, és sebességük azonos. A megmaradási törvényekből ekkor

ε+m=ωmax+2ε′, |p|=ωmax+2|p′|.

ε′ és p′-t kiküszöbölve azt kapjuk, hogy

(ε+m–ωmax)2–(|p|–ωmax)2=4m2,

ahonnan

10.167. egyenlet - (94,5)

ωmax=m(𝜀m)m+𝜀|p|.


ε≫m esetén ωmax≈ε. A (94,2)…(94,4) képletek tehát az

10.168. egyenlet - (94,6)

ωmaxω𝜀ωm


feltétel mellett érvényesek.

A gyors elektron sugárzásának(94,2) hatáskeresztmetszete pontosan megegyezik a Z=1 rendszámú mag terében való sugárzás hatáskeresztmetszetével [(91,17) képlet]. Ez nem véletlen, okát megtalálhatjuk, ha megvizsgáljuk, milyen szerepe van a visszalökődésnek a sugárzási folyamatban.

A (91,17) képlet levezetése során az álló atommag visszalökődését elhanyagoltuk – a magot állandó külső térrel helyettesítettük. Ez azt jelentette, hogy a q=p′–p+k impulzusátadás négyesvektorának időkomponensét (az energiaátadást) elhanyagoltuk. Megmutatjuk, hogy ez ultrarelativisztikus esetben nemcsak atommaggal, hanem elektronnal való ütközéskor bekövetkező sugárzás számítása során is megengedett.

Írjuk q2-et a

10.169. egyenlet - (94,7)

q2=(𝜀+ω𝜀)2+(p+ωp)2+(pp)2


alakban, ahol az alsó indexek a p′és p vektoroknak (az elektron kezdeti és végső impulzusának) a foton k irányával párhuzamos és arra merőleges összetevője. Ultrarelativisztikus esetben a (kés p, ill. kés p′ vektorok által bezárt) és ′ szögek kicsik: ≾m∕ε, ′≾m∕ε′. Ezért

10.170. egyenlet - (94,8)

|p||p|𝜃m,p|p|p22|p|𝜀m22𝜀p22𝜀,(94,8)


és hasonlóan p⊥′-re és p∥′-re.

A visszalökődés figyelembevétele nélkül ε′+ω–ε=0; p∥′+ω–p∥∼m2∕ε, úgyhogy

10.171. egyenlet - (94,9)

q2(pp)2m2.


A visszalökődési energia (elektron esetén) :

10.172. egyenlet - (94,10)

q0=𝜀+ω𝜀q22mm.


p⊥′ változása ε′ változásának nagysága miatt elhanyagolható. Ezért(94,8) első két tagja adja meg, mennyit változik q2, ha a visszalökődést figyelembe vesszük; jelöljük ezt Δq2-tel. (94,9)-et felhasználva azt kapjuk, hogy

Δq2≈(ε′+ω–ε)(–(m2/ε′)–(p⊥′2/ε′)+(m2/ε)–(p⊥2/ε))∼m2(m/ε).

(94,10)-zel összehasonlítva látjuk, hogy Δq2≪|q2|, tehát a visszalökődés elhanyagolása jogos.[346]

Az a körülmény, hogy egy gyors részecske a mozgásirányával párhuzamos tengelyű szűk (∼m∕ε nyílásszögű) kúpon belül sugároz, lehetővé teszi, hogy a sugárzás tömegközépponti rendszerbeli hatáskeresztmetszetét a (94,2) laboratóriumi rendszerbeli hatáskeresztmetszetből egyszerű átalakításokkal meghatározzuk.[347]

Tömegközépponti rendszerben a két elektron egyformán sugároz , mindkettő a saját mozgásirányába.[348] Az ultrarelativisztikus elektron E energiája és a laboratóriumi rendszerben mért ε energia között a 2E2=mε, a fotonnak a két vonatkoztatási rendszerben mért Ω és ω frekvenciája között az ω∕ε=Ω∕E összefüggés áll fenn [e két egyenlőség könnyen levezethető úgy, hogy a (p1p2) és (p1k) invariánsok kifejezéseit a két rendszerben összevetjük]. Így az egyes elektronok sugárzási hatáskeresztmetszete tömegközépponti rendszerben

10.173. egyenlet - (94,11)

dσ(1)=dσ(2)=4αre2dΩΩEΩEEEΩ+EΩE23ln4E2(EΩ)m2Ω12


(G. Altarelli, F. Buccella, 1964).

(94,12) szintén csak akkor alkalmazható, ha a foton frekvenciája nincs közel a spektrum határához. Ultrarelativisztikus esetben ωmax≈ε-ból az előbb tárgyalt transzformációval könnyen adódik, hogy

10.174. egyenlet - (94,12)

ΩmaxωmaxE𝜀E.


Tömegközépponti rendszerben tehát az elektronok 2Eösszenergiájuknak csak a felét sugározhatják ki. Ωmaxértékét közvetlenül is könnyen megállapíthkjuk, ha észrevesszük, hogy ilyen foton kisugárzása után az elektronok (ugyanabban a rendszerben) azonos sebességgel mozognak a foton irányával ellentétes irányban. Ezért

2E=2E′+Ωmax, 2|p′|=Ωmax,

amiből

10.175. egyenlet - (94,13)

Ωmax=p2E=Em2E,


és ultrarelativisztikus esetben újra (94,13)-at kapjuk. (94,12) tehát akkor alkalmazható, ha

10.176. egyenlet - (94,14)

ΩmaxΩEΩm.


Megadjuk most a sugárzást leíró képleteket tömegközépponti rendszerben az ellenkező határesetben, a spektrum határához közel, amikor[349]

10.177. egyenlet - (94,15)

ΩmaxΩm.


Mivel a visszalökődés itt igen jelentős, az eredmények különböznek a mozdulatlan atommag terében bekövetkező sugárzás eredményeitől, és mások elektron–elektron és elektron–pozitron ütközésre is .

Elektron–elektron ütközés esetén a (94,1a), (94,1b) diagramoknak megfelelő amplitúdók négyzetein kívül a spektrum határához közel a sugárzás hatáskeresztmetszetéhez járulékot adnak az olyan direkt és kicserélődési diagramok szorzatai (interferenciatagok) is, amelyekben ugyanaz a kezdeti részecske sugároz; pl. a (94,1a) diagramok közül a másodiknak és a

diagramnak a szorzata. Ez annak következménye, hogy a spektrum határánál a végállapotbeli részecskék impulzusa közelítőleg azonos, és így nincs indok arra, hogy a kicserélődési tagok kicsik legyenek. A hatáskeresztmetszet végső alakja a következő:

10.178. egyenlet - (94,16)

dσ=2αre2[E(ΩmaxΩ)]12mdΩΩmax.


Elektron–pozitron ütközésnél egy vezető logaritmikus tag adódik az olyan szétsugárzási diagramok négyzetéből, melyekben a kezdeti részecskék sugároznak:

10.179. egyenlet - (94,17)


A következő nagyságrendet tekintve már más diagramok négyzetei is lényegesek. Az interferenciatagok kicsik. A végeredmény:

10.180. egyenlet - (94,18)

dσ=2αre2[E(ΩmaxΩ)]12mln2Em+1dΩΩmax.


Az elektron–pozitron ütközésnél bekövetkező sugárzás hatáskeresztmetszete tehát logaritmikusan nagyobb, mint elektron-elektron ütközés esetében.



[345] Az eredmények a következő dolgozatokból származnak: V. N. Bajer , V. M. Galickij , ZSETF 49, 661 (1965); V. N. Bajer, V. Sz. Fagyin , V. A. Hoze ZSETF 51, 1135 (1966); 53, 2194 (1967). E cikkekben figyelemre méltó a differenciális hatáskeresztmetszet integrálási módszere, amely az invariáns változók bevezetésén alapszik; ez a módszer a számítást nagy mértékben egyszerűsíti.

[346] Ez a következtetés természetesen méginkább érvényes atommag terében bekövetkező sugárzásra, mivel ott a visszalökődési energia q0≈(q2/2M)∼(m2/M), ahol M a mag tömege.

[347] Általános esetben ez az átszámítás nem lehetséges, mivel a spektrum adott dω frekvenciaintervallumához adódó járulék lényegesen különböző irányokban kisugárzott fotonoktól származik.

[348] Ez a körülmény szemléletesen magyarázza azt, hogy a két részecske sugárzása között nincs, interferencia.

[349] A Born-közelítés eredményei természetesen csak addig használhatók, amíg a végállapotbeli elektronok relatív sebessége α-hoz képest nagy. Ellenkező esetben a részecskék végállapotbeli kölcsönhatását is figyelembe kell venni.