Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

93.§. A párkeltés és a fékezési sugárzás egzakt elmélete ultrarelativisztikus esetben

93.§. A párkeltés és a fékezési sugárzás egzakt elmélete ultrarelativisztikus esetben

Az előző két szakaszban a fékezési sugárzást és a párkeltést tárgyaltuk a relativisztikus tartományban a Born-közelítés alapján; ennek használata akkor jogos, ha Zα≪1. Most ezt a feltételt nem kötjük ki, a következőkben elmondottak Zα∼1 esetén is érvényesek (H. A. Bethe , L. Maximon , 1954). Feltételezzük, hogy mindkét részecske (a kezdeti és végső elektron vagy a pár mindkét tagja) ultrarelativisztikus, energiájukra ε≫m teljesül.

Láttuk, hogy ultrarelativisztikus esetben a két részecske a foton irányához képest kis szögben (, ′ vagy +, –) repül ki: ≾m∕ε. Ez az (Zα szerint) egzakt elméletben is igaz, ezért éppen ezt a szögtartományt fogjuk vizsgálni.

A magnak átadott impulzus e tartományban: q∼m. Ez azt jelenti, hogy a hullámfüggvényekben a ϱ∼1∕q∼1∕m ütközési paraméterek, azaz a „nagy” távolságok lényegesek. Ezért a 39. §-ban levezetett hullámfüggvényeket használhatjuk.

A párkeltésre vonatkozó számításokat fejtjük ki részletesen. A Born-közelítéshez adódó korrekciók itt lényegesebbek, mint a fékezési sugárzásnál.

A párkeltés hatáskeresztmetszete a fotoeffektuséhoz hasonló [vö. (56,1) és (56,2)]:

10.136. egyenlet - (93,1)

dσ=2πe4π12ωMfi2δ(ω𝜀+𝜀)d3p+d3p(2π)6,


ahol

10.137. egyenlet - (93,2)

Mfi=ψ𝜀p()(αe)eikrψ𝜀+p+(+)d3x.


Itt ψε–p–(–) az elektron hullámfüggvénye, ψ–ε+–p+(+) a negatív energiához (–ε+)és impulzushoz (–p+) tartozó hullámfüggvény.

A végállapotbeli részecske ψε–p–(–) hullámfüggvényének aszimptotikus alakja (síkhullám mellett) egy befutó gömbhullámot kell, hogy tartalmazzon; erre a függvény felső (–) indexe utal. (39,10) szerint ilyen hullámfüggvény a következő:[339]

10.138. egyenlet - (93,3)

ψ𝜀p()=C()2𝜀eipr1iα2𝜀F(iν,1,i(pr+pr))u(p),C()=eπν2Γ(1+iν),ν=Zα(93,3)


A ψ–ε+–p+(+) hullámfüggvény aszimptotikus alakjának kifutó gömbhullámot kell tartalmaznia [felső (+) index], mivel ez „negatív energiájú kezdeti állapot” hullámfüggvénye. A pozitron hullámfüggvénye (mely ψ–ε+–p+(+)∗-ból képezhető) így aszimptotikusan befutó hullámot tartalmaz, amint annak végállapotbeli részecskére lennie kell. (39,11) szerint ilyen függvény a következő:

10.139. egyenlet - (93,4)

ψ𝜀+p+(+)=C(+)2𝜀+eip+r1+iα2𝜀+F(iν,1,i(p+r+p+r))u(p+),C(+)=eπν2Γ(1+iν).(93,4)


M f i (93,2) mátrixszerkezete miatt (93,3)-ban és (93,4)-ben az ∼1∕ε tagokat feltétlenül figyelembe kell venni. Az (α)fi mátrixelem vektor, amely k-hoz közeli irányba mutat. Ezért (αe)fi vezető tagja kicsi, a korrekciós tagok vele azonos nagyságrendűek.

(93,3)-at és (93,4)-et (93,2)-be helyettesítve és az ∼1∕ε+ε– tagokat elhagyva, azt kapjuk, hogy

10.140. egyenlet - (93,5)

Mfi=N2𝜀+𝜀u(p){(eα)I+(eα)(αI+)+(αI)(eα)}u(p+),


ahol

10.141. egyenlet - (93,6)

N=C(+)C()=πνshπν,


10.142. egyenlet - (93,7)

I=eiqrFF+d3x,I+=i2𝜀+eiqrFF+d3x,I=i2𝜀eiqr(F)F+d3x,(93,7)


q=p++p––k

[a rövidség kedvéért a (93,3)-ban és (93,4)-ben álló hipergeometrikus függvényeket F–-szal és F+-szal jelöljük]. Azonnal megjegyezzük, hogy az I,I+,I– integrálok között fennáll egy azonosság: az

∫∇(e–iqrF–∗F+) d3x=0

alapján

10.143. egyenlet - (93,8)

qI+2𝜀+I++2𝜀I=0.


|Mfi|2-et a bejövő foton polarizációja szerint átlagoljuk, az elektron és pozitron spinjének irányai szerint összegezzük.[340] Ezt az

eiek∗→(1/2)(δik–nink), n=(k/ω), u±⋅ū±→2ϱ±=(ε±γ0–p±γ∓m)

helyettesítésekkel végezhetjük el. Az α=γ0γ helyettesítéssel

|Mfi|2→(N2/2ε+ε–){Spϱ–Qϱ+Q̄–Spϱ–(nQ)ϱ+(nQ̄)}, Q=γI–γ0γ(γI+)–γ0(γI–)γ, Q̄=γI∗–γ0(γI+∗)γ–γ0γ(γI–∗).

Rögtön az eredményt írjuk fel, ami a bennünket érdeklő ultrarelativisztikus esetben a megfelelő elhanyagolások után a

10.144. egyenlet - (93,9)

𝜃±m𝜀1


szögtartományban érvényes. Bevezetjük a

10.145. egyenlet - (93,10)

δ±=1m(p±),δ±=𝜀±m𝜃±


segédvektorokat (a ⊥ index a k irányára merőleges összetevőt jelenti). Ezek segítségével

10.146. egyenlet - (93,11)

|Mfi|2N24m2ω22𝜀+2𝜀2|I|2+2Imδ+2𝜀++I+2+2Imδ2𝜀+I2.


Felhasználtuk, hogy I∼(ε/q)I±∼(ε/m)I± [ez (93,8)-ból látható], és elhagytuk azm∕ε-ban magasabb rendű tagokat.

Az I± integrálokat az

I±=i(p±/2ε±)(∂J/∂p±),

10.147. egyenlet - (93,12)

J=eiqrrF(iν,1,i(p+r+p+r))F(iν,1,i(pr+pr))d3x


alakban írhatjuk. J kifejezhető a teljes hipergeometrikus függvényekkel :[341]

10.148. egyenlet - (93,13)

J=4πq2q22p+qq22pqiνF(iν,iν,1,z),z=2q2(p+pp+p)+(p+q)(pq)(q22p+q)(q22pq).(93,13)


A p± szerint rögzített q mellett differenciálunk, csak utána lehet a q=p++p––k helyettesítést végezni. Az eredményt olyan alakban adjuk meg, melyben az ultrarelativisztikus esetnek és a (93,9) feltételnek megfelelő elhanyagolásokat már megtettük:

10.149. egyenlet - (93,14)

I±=4πq2𝜀m2ω𝜀+ξ+𝜀ξiν±νqξF(z)+iq2m2F(z)(qξmδ±).


Bevezettük a

10.150. egyenlet - (93,15)

ξ±=11+δ±2,z=1q2m2ξ+ξ,F(z)=F(iν,iν,1,z)


jelöléseket [F(z) valós függvény]. Az I integrált közvetlenül (93,8)-ból számítjuk.

Az integrálok értékét (93,11)-be, majd (93,1)-be helyettesítve, megkapjuk a keresett differenciális hatáskeresztmetszetet . A végső képlet a következő:

10.151. egyenlet - (93,16)

dσ=4ππνshπν2Z2αre2m4q4ω3δ+dδ+δdδdφd𝜀+××F2(z)2𝜀+𝜀(δ+2ξ+2+δ2ξ2)+ω2(δ+2+δ2)ξ+ξ++2(𝜀+2+𝜀2)δ+δξ+ξcosφ+q4m4ξ+2ξ2ν2F2(z)2𝜀+𝜀(δ+2ξ+2+δ2ξ2)++ω2(1+δ+2δ2)ξ+ξ2(𝜀+2+𝜀2)δ+δξ+ξcosφ.(93,16)


ν→0 esetén

(πν/shπν)→1, F(z)→1, F′(z)≈ν2→0.

A (93,16) kifejezés ebben az esetben átmegy a Born-közelítésnek megfelelő (92,5) Bethe–Heitler képletbe . Ugyanez a helyzet tetszőleges ν mellett, ha az elektron-pozitron pár kirepülési irányát megadó szögekre teljesülnek a

|δ+–δ–|≪1, |π–φ|≪1

feltételek. Valóban, ekkor q≪m, úgyhogy a (93,16) kapcsos zárójelében álló második tag az első mellett elhagyható a (q∕m)4 szorzótényező miatt. Az első tagban [észrevéve, hogy (1–z)∼q2∕m2≪1][342]

10.152. egyenlet - (93,17)

F(z)F(1)F(iν,iν,1,1)=1Γ(1iν)Γ(1+iν)=shπνπν,


ez a zárójel előtt álló megfelelő tényezővel szorozva 1-et ad.

A következőkben a hatáskeresztmetszetet a pár kirepülési iránya szerint integráljuk. Az integrálási tartományt két részre osztjuk a következő módon:

I) 1–z>1–z1, II) 1–z<1–z1,

ahol z1-re teljesül, hogy 1≫1–z1≫(m∕ε)2. Mivel a II tartományban 1–z≪1, q2≪m2, ezért itt az előbb elmondottak szerint dσ≈ dσB≡ dσ|ν=0, ahol dσB a hatáskeresztmetszet Born-közelítésben. Így a szögek szerinti integrál

10.153. egyenlet - (93,18)

dσ𝜀+dσ=Idσ+IIdσν0=(dσ𝜀+)B+Idσdσν0,


ahol ( dσε+)B a (92,7) Born-hatáskeresztmetszet szögek szerinti integrálja.

Az I tartományban

(q2/m2)≈δ+2+δ–2+2δ+δ–cosφ.

A δ+, δ–, φ változókról a ξ+, ξ–, z változókra térünk át. Kiszámítva a transzformáció Jacobi-determinánsát , azt találjuk, hogy

δ+dδ+⋅δ–dδ–⋅ dφ→(ε+ε–/8m2)(dξ+dξ–dφ/(ξ+ξ–)3sinφ),

emellett

1–z=(q2/m2)ξ+ξ–=ξ++ξ––2ξ+ξ–+2√(ξ+ξ–(1–ξ+)(1–ξ–))cosφ.

Innen sinφ-t és cosφ-t kifejezhetjük; (93,16)-ba való behelyettesítés és egyszerű algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy

dσ =Adε+(2 dξ+dξ–dz/[z(1–z)–(1–z)(ξ++ξ––1)2–z(ξ+–ξ–)2]1∕2)× ×{(F2(z)/(1–z)2)[(ε+2+ε–2)(1–z)+2ε+ε–(ξ+–ξ–)2]+ +(F′2(z)/ν2)[(ε+2+ε–2)z+2ε+ε–(ξ++ξ––1)2]},
A=((πν/shπν))2(Z2αre2/2πω3).

Végül ξ+ és ξ– helyett az új χ és ψ „gömbi koordinátákat” vezetjük be ezekkel a definiciókkal:

ξ++ξ––1 =√zsinχcosψ; ξ+–ξ– =√(1–z)sinχsinψ; 0≤χ≤(π/2) , 0≤ψ≤2π;
2 dξ+dξ–→√(z(1–z))sinχcosχdχdψ.

A megadott χ és ψ tartomány annak felel meg, hogyξ+, ξ– 0 és 1 között, azaz δ+, δ– (vagy ami ugyanaz, +, –) 0 és ∞ között változik; az integrál gyors konvergenciája következtében a szögváltozók értelmezési tartományának ilyen kiszélesítése megengedett. A nevezőben levő négyzetgyök átalakítás után √(z(1–z))cosχ; a dχdψ szerinti integrál elemi, és a következő eredményt adja:

dσ=2A⋅2πdz(ε+2+ε–2+(2/3)ε+ε–)[(F2(z)/1–z)+(z/ν2)F′2(z)] dε+.

A 2 szorzótényezővel azt vettük figyelembe, hogy dz szerint 0 és z1 között fogunk integrálni, és itt, miközben a φ azimutszög 0 és π, ill. π és 2π között változik, minden z érték kétszer fordul elő.

A dz szerinti integrálást a (90,14) képlet segítségével végezzük, ν′=–ν [és így valós F(z)] esetén ez a következő alakú:

(F2/1–z2)+(z/ν2)F′2=(1/ν2)(d/dz)(zFF′).

A bal oldalon álló kifejezés integrálja z1F(z1)F′(z1)∕ν2. z1F(z1)≈F(1) értékét (93,17) adja, az F′(z1→1) határértéket pedig a következő összefüggésből vehetjük:[343]

(1/ν2)F′(z)=F(1–iν,1+iν,2,z)≈–[ln(1–z)+2f(ν)](shπν/πν),

ahol

10.154. egyenlet - (93,19)

f(ν)=12[Ψ(1+iν)+Ψ(1iν)2Ψ(1)]=ν2n=11n(n2+ν2),Ψ(z)=Γ(z)Γ(z).(93,19)


Elvégezve az összes behelyettesítést (93,18)-ba, a következő végeredményt kapjuk:

10.155. egyenlet - (93,20)

dσ𝜀+=4Z2αre2𝜀+2+𝜀2+23𝜀+𝜀ln2𝜀+𝜀mω12f(αZ)d𝜀+ω3.


Az ω energiájú foton párkeltésének teljes hatáskeresztmetszete :

10.156. egyenlet - (93,21)

σ=289Z2αre2ln2ωm10942f(αZ).


Korábbi képletünkhöz képest a változás tehát annyi, hogy a logaritmikus tagból le kell vonni az atomszám f(αZ) univerzális függvényét. Az utóbbi a 17. ábrán látható. ν≪1 esetén f(ν)≈1,2ν2.

17. ábra.

Végül röviden a fékezési sugárzással foglalkozunk. A folyamat Mfi mátrixeleme:

10.157. egyenlet - (93,22)

Mfifék=ψ𝜀p()(αe)eikrψ𝜀p(+)d3x;


a kezdeti, ill. a végállapotbeli elektron hullámfüggvénye aszimptotikusan egy kifutó, ill. befutó gömbhullámot tartalmaz. Az integrál kiszámítása teljesen hasonló a (93,2) mátrixelem számításához. Itt csak a végeredményt adjuk meg.[344]

A sugárzás differenciális hatáskeresztmetszete a (91,13)dσB Born-közelítéstől csak egy szorzótényezőben különbözik:

10.158. egyenlet - (93,23)

dσ=dσB1F2(1)F2(z)+(1z)2ν2F2(z),


ahol F(z) a (93,15) hipergeometrikus függvény, és

10.159. egyenlet - (93,24)

z=1m4ω24q2𝜀2𝜀2(1+δ2)(1+δ2),δ=𝜃𝜀m,δ=𝜃𝜀m.


q≫m2∕ε esetén z≈1, és a (93,23)-ban dσB mellett álló szorzótényező is 1. Így az egzakt elméletből adódó szögeloszlás gyakorlatilag azonos a Born-közelítéssel majdnem az egész lényeges szögtartományban.

Ahhoz, hogy megkapjuk a sugárzás (szögek szerint) integrált hatáskeresztmetszetét , nem kell az integrálást újra elvégezni, ez világosan látszik a következő meggondolásból (H. Olsen , 1955). A különböző p′ irányok (adott ε′ energia mellett) elfajult elektron-végállapotoknak felelnek meg. Nyilvánvaló, hogy egy elfajult szinthez tartozó állapotok szerinti összegezés eredménye független attól, hogyan választjuk ki az állapotok teljes rendszerét. Ezért a p′ irányaira való összegezéskor a ψε′p′(–) függvények rendszere helyett a ψε′p′(+) rendszert használhatjuk (nem tehetjük ezt a differenciális hatáskeresztmetszet számításánál), azaz a fékezési sugárzás mátrixelemét az

Mfifék=∫ψε′p′(+)∗(αe∗)e–ikrψεp(+)d3x

alakban írhatjuk. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez (Mfipár)∗-gal egyezik meg, ha az utóbbiban a

p+,p+,ε+→–p,–p,–p,–ε; p–,p–,ε–→p′,p′,ε′; k→–k

helyettesítéseket végezzük (az integrációs változót illetően: r→–r).

Világos tehát, hogy a fékezési sugárzás (szögek szerint) integrált hatáskeresztmetszetét a párkeltés (93,20) integrális hatáskeresztmetszetéből úgy kapjuk, hogy az utóbbit az

(ω2/p+2)(dω/dε+)≈(ω2/ε+2)(dω/dε+).

tényezővel szorozzuk [vö. (92,2)], és az ε+→–ε, ε–→ε′ helyettesítést végezzük. Így

10.160. egyenlet - (93,25)

dσ=4Z2αre2𝜀𝜀𝜀𝜀+𝜀𝜀23ln2𝜀𝜀mω12f(αZ)dωω.


Látjuk, hogy mindkét folyamat integrális hatáskeresztmetszetében a Born-képlethez járuló korrekció ugyanazzal az f(αZ) függvénnyel adható meg.



[339] Ebben a szakaszban p±=|p±|, q=|q|.

[340] Az összes részecske polarizációját is figyelembe vevő számításokra nézve l. H. Olsen , L. Maximon , Phys. Rev. 114, 887 (1959).

[341] A levezetést illetően l. Nordsiecknek a X. fejezet15. lábjegyzetben idézett cikkét.

[342] A függvénynek ez az értéke a III. (e,7) képletből is megkapható.Ez a képlet kapcsolatot teremt hipergeometrikus függvény z és 1–z helyeken felvett értékei között.

[343] E képletek levezetése megtalálható a következő cikk függelékében: H. Davies, H. A. Bethe , L. C. Maximon , Phys. Rev. 93, 788 (1954).

[344] Az egzakt hullámfüggvényekkel felírt (93,22) mátrixelem (ti. az ultrarelativisztikus közelítésbe való átmenet előtt) a párkeltés (93,2) mátrixelemétől a közönséges (92,1) keresztezési transzformációban különbözik. Az ultrarelativisztikus képleteken azonban a transzformáció nem hajtható végre. Ez világosan következik az általunk használt ultrarelativisztikus hullámfüggvények alakjából: a p,ε→–p,–ε helyettesítés a (39,10) függvényeket nem a helyes (39,11) „negatív energiás” függvényekbe viszi át, mivel még a hipergeometrikus függvény első argumentumának (iZα) előjelét is meg kell változtatni; az argumentum az egzakt hullámfüggvényben iZαp∕ε. A (93,22) mátrixelem kiszámításának néhány részlete megtalálható H. A. Bethe és L. Maximon eredeti cikkében: Phys. Rev. 93, 768 (1954).