ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

93.§. A párkeltés és a fékezési sugárzás egzakt elmélete ultrarelativisztikus esetben

Az előző két szakaszban a fékezési sugárzást és a párkeltést tárgyaltuk a relativisztikus tartományban a Born-közelítés alapján; ennek használata akkor jogos, ha Zα≪1 . Most ezt a feltételt nem kötjük ki, a következőkben elmondottak Zα∼1 esetén is érvényesek (H. A. Bethe , L. Maximon , 1954). Feltételezzük, hogy mindkét részecske (a kezdeti és végső elektron vagy a pár mindkét tagja) ultrarelativisztikus, energiájukra ε≫m teljesül.

Láttuk, hogy ultrarelativisztikus esetben a két részecske a foton irányához képest kis szögben (, vagy , ) repül ki: ≾m∕ε . Ez az ( szerint) egzakt elméletben is igaz, ezért éppen ezt a szögtartományt fogjuk vizsgálni.

A magnak átadott impulzus e tartományban: q∼m . Ez azt jelenti, hogy a hullámfüggvényekben a ϱ∼1∕q∼1∕m ütközési paraméterek, azaz a „nagy” távolságok lényegesek. Ezért a 39. §-ban levezetett hullámfüggvényeket használhatjuk.

A párkeltésre vonatkozó számításokat fejtjük ki részletesen. A Born-közelítéshez adódó korrekciók itt lényegesebbek, mint a fékezési sugárzásnál.

A párkeltés hatáskeresztmetszete a fotoeffektuséhoz hasonló [vö. (56,1) és (56,2)]:

10.136. egyenlet - (93,1)

d σ = 2 π {|e \sqrt{4 π} \frac{1}{\sqrt{2 ω}} M_{f i}|}^{2} δ (ω - 𝜀_{+} - 𝜀_{-}) \frac{d^{3} p_{+} d^{3} p_{-}}{{(2 π)}^{6}},

ahol

10.137. egyenlet - (93,2)

M_{f i} = \int ψ_{𝜀_{-} p_{-}}^{{(-)}^{*}} (α e) e^{i k r} ψ_{- 𝜀_{+} - p_{+}}^{(+)} d^{3} x .

Itt ψε–p–(–) az elektron hullámfüggvénye, ψ–ε+–p+(+) a negatív energiához ( –ε+ )és impulzushoz ( –p+ ) tartozó hullámfüggvény.

A végállapotbeli részecske ψε–p–(–) hullámfüggvényének aszimptotikus alakja (síkhullám mellett) egy befutó gömbhullámot kell, hogy tartalmazzon; erre a függvény felső (–) indexe utal. (39,10) szerint ilyen hullámfüggvény a következő:^[339]

10.138. egyenlet - (93,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} ψ_{𝜀_{-} p_{-}}^{(-)} = \frac{C^{(-)}}{\sqrt{2 𝜀_{-}}} e^{i p_{-} r} (1 & - \frac{i α \nabla}{2 𝜀_{-}}) F (- i ν, 1, - i (p_{-} r + p_{-} r)) u (p_{-}), \\ C^{(-)} & = e^{π ν ∕ 2} Γ (1 + i ν), ν = Z α \end{aligned} & (93,3) \end{matrix}

A ψ–ε+–p+(+) hullámfüggvény aszimptotikus alakjának kifutó gömbhullámot kell tartalmaznia [felső (+) index], mivel ez „negatív energiájú kezdeti állapot” hullámfüggvénye. A pozitron hullámfüggvénye (mely ψ–ε+–p+(+)∗ -ból képezhető) így aszimptotikusan befutó hullámot tartalmaz, amint annak végállapotbeli részecskére lennie kell. (39,11) szerint ilyen függvény a következő:

10.139. egyenlet - (93,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} ψ_{- 𝜀_{+} - p_{+}}^{(+)} = \frac{C^{(+)}}{\sqrt{2 𝜀_{+}}} e^{- i p_{+} r} (1 & + \frac{i α \nabla}{2 𝜀_{+}}) F (- i ν, 1, i (p_{+} r + p_{+} r)) u (- p_{+}), \\ C^{(+)} & = e^{- π ν ∕ 2} Γ (1 + i ν) . \end{aligned} & (93,4) \end{matrix}

M f i (93,2) mátrixszerkezete miatt (93,3)-ban és (93,4)-ben az ∼1∕ε tagokat feltétlenül figyelembe kell venni. Az (α)fi mátrixelem vektor, amely -hoz közeli irányba mutat. Ezért (αe)fi vezető tagja kicsi, a korrekciós tagok vele azonos nagyságrendűek.

(93,3)-at és (93,4)-et (93,2)-be helyettesítve és az ∼1∕ε+ε– tagokat elhagyva, azt kapjuk, hogy

10.140. egyenlet - (93,5)

M_{f i} = \frac{N}{2 \sqrt{𝜀_{+} 𝜀_{-}}} u^{*} (p_{-}) {(e α) I + (e α) ({α I}_{+}) + ({α I}_{-}) (e α)} u (- p_{+}),

ahol

10.141. egyenlet - (93,6)

N = C^{(+)} C^{(-)} = \frac{π ν}{sh π ν},

10.142. egyenlet - (93,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} I & = \int e^{- i q r} F_{-}^{*} F_{+} d^{3} x, \\ I_{+} & = \frac{i}{2 𝜀_{+}} \int e^{- i q r} F_{-}^{*} \nabla F_{+} d^{3} x, I_{-} = \frac{i}{2 𝜀_{-}} \int e^{- i q r} {(\nabla F_{-})}^{*} F_{+} d^{3} x, \end{aligned} & (93,7) \end{matrix}

[a rövidség kedvéért a (93,3)-ban és (93,4)-ben álló hipergeometrikus függvényeket -szal és -szal jelöljük]. Azonnal megjegyezzük, hogy az I,I+,I– integrálok között fennáll egy azonosság: az

alapján

10.143. egyenlet - (93,8)

q I + 2 𝜀_{+} I_{+} + 2 𝜀_{-} I_{-} = 0 .

|Mfi|2 -et a bejövő foton polarizációja szerint átlagoljuk, az elektron és pozitron spinjének irányai szerint összegezzük.^[340] Ezt az

eiek∗→(1/2)(δik–nink), n=(k/ω), u±⋅ū±→2ϱ±=(ε±γ0–p±γ∓m)

helyettesítésekkel végezhetjük el. Az α=γ0γ helyettesítéssel

|Mfi|2→(N2/2ε+ε–){Spϱ–Qϱ+Q̄–Spϱ–(nQ)ϱ+(nQ̄)}, Q=γI–γ0γ(γI+)–γ0(γI–)γ, Q̄=γI∗–γ0(γI+∗)γ–γ0γ(γI–∗).

Rögtön az eredményt írjuk fel, ami a bennünket érdeklő ultrarelativisztikus esetben a megfelelő elhanyagolások után a

10.144. egyenlet - (93,9)

𝜃_{\pm} \sim \frac{m}{𝜀} ≪ 1

szögtartományban érvényes. Bevezetjük a

10.145. egyenlet - (93,10)

δ_{\pm} = \frac{1}{m} {(p_{\pm})}_{⊥}, δ_{\pm} = \frac{𝜀_{\pm}}{m} 𝜃_{\pm}

segédvektorokat (a index a irányára merőleges összetevőt jelenti). Ezek segítségével

10.146. egyenlet - (93,11)

| M_{f i} |^{2} \to \frac{N^{2}}{4} \{\frac{m^{2} ω^{2}}{2 𝜀_{+}^{2} 𝜀_{-}^{2}} | I |^{2} + 2 {|I \frac{m δ_{+}}{2 𝜀_{+}} + I_{+}|}^{2} + 2 {|I \frac{m δ_{-}}{2 𝜀_{-}} + I_{-}|}^{2}\} .

Felhasználtuk, hogy I∼(ε/q)I±∼(ε/m)I± [ez (93,8)-ból látható], és elhagytuk az m∕ε -ban magasabb rendű tagokat.

Az integrálokat az

10.147. egyenlet - (93,12)

J = \int \frac{e^{- i q r}}{r} F (- i ν, 1, i (p_{+} r + p_{+} r)) F (i ν, 1, i (p_{-} r + p_{-} r)) d^{3} x

alakban írhatjuk. kifejezhető a teljes hipergeometrikus függvényekkel :^[341]

10.148. egyenlet - (93,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} J & = \frac{4 π}{q^{2}} {(\frac{q^{2} - 2 p_{+} q}{q^{2} - 2 p_{-} q})}^{i ν} F (- i ν, i ν, 1, z), \\ z & = 2 \frac{q^{2} (p_{+} p_{-} - p_{+} p_{-}) + (p_{+} q) (p_{-} q)}{(q^{2} - 2 p_{+} q) (q^{2} - 2 p_{-} q)} . \end{aligned} & (93,13) \end{matrix}

A szerint rögzített mellett differenciálunk, csak utána lehet a q=p++p––k helyettesítést végezni. Az eredményt olyan alakban adjuk meg, melyben az ultrarelativisztikus esetnek és a (93,9) feltételnek megfelelő elhanyagolásokat már megtettük:

10.149. egyenlet - (93,14)

I_{\pm} = \frac{4 π}{q^{2}} \frac{𝜀_{\mp}}{m^{2} ω} {(\frac{𝜀_{+} ξ_{+}}{𝜀_{-} ξ_{-}})}^{i ν} \{\pm ν q ξ_{\mp} F (z) + i \frac{q^{2}}{m^{2}} F^{'} (z) (q ξ_{\mp} - m δ_{\pm})\} .

Bevezettük a

10.150. egyenlet - (93,15)

ξ_{\pm} = \frac{1}{1 + δ_{\pm}^{2}}, z = 1 - \frac{q^{2}}{m^{2}} ξ_{+} ξ_{-}, F (z) = F (- i ν, i ν, 1, z)

jelöléseket [ F(z) valós függvény]. Az integrált közvetlenül (93,8)-ból számítjuk.

Az integrálok értékét (93,11)-be, majd (93,1)-be helyettesítve, megkapjuk a keresett differenciális hatáskeresztmetszetet . A végső képlet a következő:

10.151. egyenlet - (93,16)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = \frac{4}{π} {(\frac{π ν}{sh π ν})}^{2} Z^{2} α r_{e}^{2} \frac{m^{4}}{q^{4} ω^{3}} δ_{+} d δ_{+} \cdot δ_{-} d δ_{-} \cdot d φ d 𝜀_{+} \times \\ \times \{F^{2} (z) [- 2 𝜀_{+} 𝜀_{-} (δ_{+}^{2} ξ_{+}^{2} + δ_{-}^{2} ξ_{-}^{2}) + ω^{2} (δ_{+}^{2} + δ_{-}^{2}) ξ_{+} ξ_{-} + \\ + 2 (𝜀_{+}^{2} + 𝜀_{-}^{2}) δ_{+} δ_{-} ξ_{+} ξ_{-} cos φ] + \frac{q^{4}}{m^{4}} \frac{ξ_{+}^{2} ξ_{-}^{2}}{ν^{2}} F^{' 2} (z) [- 2 𝜀_{+} 𝜀_{-} (δ_{+}^{2} ξ_{+}^{2} + δ_{-}^{2} ξ_{-}^{2}) + \\ + ω^{2} (1 + δ_{+}^{2} δ_{-}^{2}) ξ_{+} ξ_{-} - 2 (𝜀_{+}^{2} + 𝜀_{-}^{2}) δ_{+} δ_{-} ξ_{+} ξ_{-} cos φ] \} . \end{aligned} & (93,16) \end{matrix}

ν→0 esetén

A (93,16) kifejezés ebben az esetben átmegy a Born-közelítésnek megfelelő (92,5) Bethe–Heitler képletbe . Ugyanez a helyzet tetszőleges mellett, ha az elektron-pozitron pár kirepülési irányát megadó szögekre teljesülnek a

feltételek. Valóban, ekkor q≪m , úgyhogy a (93,16) kapcsos zárójelében álló második tag az első mellett elhagyható a (q∕m)4 szorzótényező miatt. Az első tagban [észrevéve, hogy (1–z)∼q2∕m2≪1 ]^[342]

10.152. egyenlet - (93,17)

F (z) \to F (1) \equiv F (- i ν, i ν, 1, 1) = \frac{1}{Γ (1 - i ν) Γ (1 + i ν)} = \frac{sh π ν}{π ν},

ez a zárójel előtt álló megfelelő tényezővel szorozva 1-et ad.

A következőkben a hatáskeresztmetszetet a pár kirepülési iránya szerint integráljuk. Az integrálási tartományt két részre osztjuk a következő módon:

I) 1–z>1–z1 , II) 1–z<1–z1 ,

ahol -re teljesül, hogy 1≫1–z1≫(m∕ε)2 . Mivel a tartományban 1–z≪1 , q2≪m2 , ezért itt az előbb elmondottak szerint dσ≈ dσB≡ dσ|ν=0 , ahol dσB a hatáskeresztmetszet Born-közelítésben. Így a szögek szerinti integrál

10.153. egyenlet - (93,18)

d σ_{𝜀_{+}} \equiv \int d σ = \int_{I} d σ + {\int_{I I} d σ|}_{ν \to 0} = {(d σ_{𝜀_{+}})}_{B} + \int_{I} (d σ - {d σ|}_{ν \to 0}),

ahol ( dσε+)B a (92,7) Born-hatáskeresztmetszet szögek szerinti integrálja.

Az I tartományban

A , , változókról a , , változókra térünk át. Kiszámítva a transzformáció Jacobi-determinánsát , azt találjuk, hogy

δ+dδ+⋅δ–dδ–⋅ dφ→(ε+ε–/8m2)(dξ+dξ–dφ/(ξ+ξ–)3sinφ),

emellett

1–z=(q2/m2)ξ+ξ–=ξ++ξ––2ξ+ξ–+2√(ξ+ξ–(1–ξ+)(1–ξ–))cosφ.

Innen sinφ -t és cosφ -t kifejezhetjük; (93,16)-ba való behelyettesítés és egyszerű algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy

dσ =Adε+(2 dξ+dξ–dz/[z(1–z)–(1–z)(ξ++ξ––1)2–z(ξ+–ξ–)2]1∕2)× ×{(F2(z)/(1–z)2)[(ε+2+ε–2)(1–z)+2ε+ε–(ξ+–ξ–)2]+ +(F′2(z)/ν2)[(ε+2+ε–2)z+2ε+ε–(ξ++ξ––1)2]},

Végül és helyett az új és „gömbi koordinátákat” vezetjük be ezekkel a definiciókkal:

ξ++ξ––1 =√zsinχcosψ; ξ+–ξ– =√(1–z)sinχsinψ; 0≤χ≤(π/2) , 0≤ψ≤2π;

A megadott és tartomány annak felel meg, hogy, 0 és 1 között, azaz , (vagy ami ugyanaz, , ) 0 és között változik; az integrál gyors konvergenciája következtében a szögváltozók értelmezési tartományának ilyen kiszélesítése megengedett. A nevezőben levő négyzetgyök átalakítás után √(z(1–z))cosχ ; a dχdψ szerinti integrál elemi, és a következő eredményt adja:

dσ=2A⋅2πdz(ε+2+ε–2+(2/3)ε+ε–)[(F2(z)/1–z)+(z/ν2)F′2(z)] dε+.

A 2 szorzótényezővel azt vettük figyelembe, hogy szerint 0 és között fogunk integrálni, és itt, miközben a azimutszög 0 és , ill. és között változik, minden érték kétszer fordul elő.

A szerinti integrálást a (90,14) képlet segítségével végezzük, ν′=–ν [és így valós F(z) ] esetén ez a következő alakú:

A bal oldalon álló kifejezés integrálja z1F(z1)F′(z1)∕ν2 . z1F(z1)≈F(1) értékét (93,17) adja, az F′(z1→1) határértéket pedig a következő összefüggésből vehetjük:^[343]

(1/ν2)F′(z)=F(1–iν,1+iν,2,z)≈–[ln(1–z)+2f(ν)](shπν/πν),

ahol

10.154. egyenlet - (93,19)

\begin{matrix} \begin{aligned} f (ν) & = \frac{1}{2} [Ψ (1 + i ν) + Ψ (1 - i ν) - 2 Ψ (1)] = ν^{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n^{2} + ν^{2})}, \\ Ψ (z) & = Γ^{'} (z) ∕ Γ (z) . \end{aligned} & (93,19) \end{matrix}

Elvégezve az összes behelyettesítést (93,18)-ba, a következő végeredményt kapjuk:

10.155. egyenlet - (93,20)

d σ_{𝜀_{+}} = 4 Z^{2} α r_{e}^{2} (𝜀_{+}^{2} + 𝜀_{-}^{2} + \frac{2}{3} 𝜀_{+} 𝜀_{-}) [ln \frac{2 𝜀_{+} 𝜀_{-}}{m ω} - \frac{1}{2} - f (α Z)] \frac{d 𝜀_{+}}{ω^{3}} .

Az energiájú foton párkeltésének teljes hatáskeresztmetszete :

10.156. egyenlet - (93,21)

σ = \frac{28}{9} Z^{2} α r_{e}^{2} [ln \frac{2 ω}{m} - \frac{109}{42} - f (α Z)] .

Korábbi képletünkhöz képest a változás tehát annyi, hogy a logaritmikus tagból le kell vonni az atomszám f(αZ) univerzális függvényét. Az utóbbi a 17. ábrán látható. ν≪1 esetén f(ν)≈1,2ν2 .

17. ábra.

Végül röviden a fékezési sugárzással foglalkozunk. A folyamat Mfi mátrixeleme:

10.157. egyenlet - (93,22)

M_{f i}^{fék} = \int ψ_{𝜀^{'} p^{'}}^{{(-)}^{*}} (α e^{*}) e^{- i k r} ψ_{𝜀 p}^{(+)} d^{3} x;

a kezdeti, ill. a végállapotbeli elektron hullámfüggvénye aszimptotikusan egy kifutó, ill. befutó gömbhullámot tartalmaz. Az integrál kiszámítása teljesen hasonló a (93,2) mátrixelem számításához. Itt csak a végeredményt adjuk meg.^[344]

A sugárzás differenciális hatáskeresztmetszete a (91,13) dσB Born-közelítéstől csak egy szorzótényezőben különbözik:

10.158. egyenlet - (93,23)

d σ = d σ_{B} \frac{1}{F^{2} (1)} [F^{2} (z) + \frac{{(1 - z)}^{2}}{ν^{2}} F^{' 2} (z)],

ahol F(z) a (93,15) hipergeometrikus függvény, és

10.159. egyenlet - (93,24)

z = 1 - \frac{m^{4} ω^{2}}{4 q^{2} 𝜀^{2} 𝜀^{' 2}} (1 + δ^{2}) (1 + δ^{' 2}), δ = \frac{𝜃 𝜀}{m}, δ^{'} = \frac{𝜃^{'} 𝜀^{'}}{m} .

q≫m2∕ε esetén z≈1 , és a (93,23)-ban dσB mellett álló szorzótényező is 1. Így az egzakt elméletből adódó szögeloszlás gyakorlatilag azonos a Born-közelítéssel majdnem az egész lényeges szögtartományban.

Ahhoz, hogy megkapjuk a sugárzás (szögek szerint) integrált hatáskeresztmetszetét , nem kell az integrálást újra elvégezni, ez világosan látszik a következő meggondolásból (H. Olsen , 1955). A különböző irányok (adott energia mellett) elfajult elektron-végállapotoknak felelnek meg. Nyilvánvaló, hogy egy elfajult szinthez tartozó állapotok szerinti összegezés eredménye független attól, hogyan választjuk ki az állapotok teljes rendszerét. Ezért a irányaira való összegezéskor a ψε′p′(–) függvények rendszere helyett a ψε′p′(+) rendszert használhatjuk (nem tehetjük ezt a differenciális hatáskeresztmetszet számításánál), azaz a fékezési sugárzás mátrixelemét az

alakban írhatjuk. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez (Mfipár)∗ -gal egyezik meg, ha az utóbbiban a

p+,p+,ε+→–p,–p,–p,–ε; p–,p–,ε–→p′,p′,ε′; k→–k

helyettesítéseket végezzük (az integrációs változót illetően: r→–r ).

Világos tehát, hogy a fékezési sugárzás (szögek szerint) integrált hatáskeresztmetszetét a párkeltés (93,20) integrális hatáskeresztmetszetéből úgy kapjuk, hogy az utóbbit az

tényezővel szorozzuk [vö. (92,2)], és az ε+→–ε , ε–→ε′ helyettesítést végezzük. Így

10.160. egyenlet - (93,25)

d σ = 4 Z^{2} α r_{e}^{2} \frac{𝜀^{'}}{𝜀} (\frac{𝜀^{'}}{𝜀} + \frac{𝜀}{𝜀^{'}} - \frac{2}{3}) [ln \frac{2 𝜀 𝜀^{'}}{m ω} - \frac{1}{2} - f (α Z)] \frac{d ω}{ω} .

Látjuk, hogy mindkét folyamat integrális hatáskeresztmetszetében a Born-képlethez járuló korrekció ugyanazzal az f(αZ) függvénnyel adható meg.

^[339] Ebben a szakaszban p±=|p±| , q=|q| .

^[340] Az összes részecske polarizációját is figyelembe vevő számításokra nézve l. H. Olsen , L. Maximon , Phys. Rev. 114, 887 (1959).

^[341] A levezetést illetően l. Nordsiecknek a X. fejezet 15. lábjegyzetben idézett cikkét.

^[342] A függvénynek ez az értéke a III. (e,7) képletből is megkapható.Ez a képlet kapcsolatot teremt hipergeometrikus függvény és 1–z helyeken felvett értékei között.

^[343] E képletek levezetése megtalálható a következő cikk függelékében: H. Davies, H. A. Bethe , L. C. Maximon , Phys. Rev. 93, 788 (1954).

^[344] Az egzakt hullámfüggvényekkel felírt (93,22) mátrixelem (ti. az ultrarelativisztikus közelítésbe való átmenet előtt) a párkeltés (93,2) mátrixelemétől a közönséges (92,1) keresztezési transzformációban különbözik. Az ultrarelativisztikus képleteken azonban a transzformáció nem hajtható végre. Ez világosan következik az általunk használt ultrarelativisztikus hullámfüggvények alakjából: a p,ε→–p,–ε helyettesítés a (39,10) függvényeket nem a helyes (39,11) „negatív energiás” függvényekbe viszi át, mivel még a hipergeometrikus függvény első argumentumának ( iZα ) előjelét is meg kell változtatni; az argumentum az egzakt hullámfüggvényben iZαp∕ε . A (93,22) mátrixelem kiszámításának néhány részlete megtalálható H. A. Bethe és L. Maximon eredeti cikkében: Phys. Rev. 93, 768 (1954).