Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az előző két szakaszban a fékezési sugárzást és a párkeltést
tárgyaltuk a relativisztikus tartományban a Born-közelítés alapján; ennek használata akkor jogos, ha . Most ezt a feltételt nem kötjük ki, a következőkben elmondottak
esetén is érvényesek (H. A. Bethe , L. Maximon , 1954). Feltételezzük, hogy mindkét részecske (a kezdeti
és végső elektron vagy a pár mindkét tagja) ultrarelativisztikus, energiájukra
teljesül.
Láttuk, hogy ultrarelativisztikus esetben a két részecske a foton irányához képest
kis szögben (,
vagy
,
) repül ki:
. Ez az (
szerint) egzakt elméletben is igaz, ezért éppen ezt a szögtartományt
fogjuk vizsgálni.
A magnak átadott impulzus e tartományban: . Ez azt jelenti, hogy a hullámfüggvényekben a
ütközési paraméterek, azaz a „nagy” távolságok lényegesek. Ezért a
39. §-ban levezetett hullámfüggvényeket
használhatjuk.
A párkeltésre vonatkozó számításokat fejtjük ki részletesen. A Born-közelítéshez adódó korrekciók itt lényegesebbek, mint a fékezési sugárzásnál.
A párkeltés hatáskeresztmetszete a fotoeffektuséhoz hasonló [vö. (56,1) és (56,2)]:
Itt az elektron hullámfüggvénye,
a negatív energiához (
)és impulzushoz (
) tartozó hullámfüggvény.
A végállapotbeli részecske hullámfüggvényének aszimptotikus alakja (síkhullám mellett) egy befutó
gömbhullámot kell, hogy tartalmazzon; erre a függvény felső
indexe utal. (39,10) szerint ilyen
hullámfüggvény a következő:[339]
A hullámfüggvény aszimptotikus alakjának kifutó gömbhullámot kell
tartalmaznia [felső
index], mivel ez „negatív energiájú kezdeti állapot” hullámfüggvénye.
A pozitron hullámfüggvénye (mely
-ból képezhető) így aszimptotikusan befutó hullámot tartalmaz, amint
annak végállapotbeli részecskére lennie kell. (39,11)
szerint ilyen függvény a következő:
(93,2) mátrixszerkezete miatt (93,3)-ban és (93,4)-ben az
tagokat feltétlenül figyelembe kell venni. Az
mátrixelem vektor, amely
-hoz közeli irányba mutat. Ezért
vezető tagja kicsi, a korrekciós tagok vele azonos
nagyságrendűek.
(93,3)-at és (93,4)-et (93,2)-be helyettesítve és az
tagokat elhagyva, azt kapjuk, hogy
[a rövidség kedvéért a (93,3)-ban
és (93,4)-ben álló hipergeometrikus függvényeket
-szal és
-szal jelöljük]. Azonnal megjegyezzük, hogy az
integrálok között fennáll egy azonosság: az
-et a bejövő foton polarizációja szerint átlagoljuk, az elektron és
pozitron spinjének irányai szerint összegezzük.[340] Ezt az
helyettesítésekkel végezhetjük el. Az helyettesítéssel
Rögtön az eredményt írjuk fel, ami a bennünket érdeklő ultrarelativisztikus esetben a megfelelő elhanyagolások után a
szögtartományban érvényes. Bevezetjük a
segédvektorokat (a index a
irányára merőleges összetevőt jelenti). Ezek segítségével
Felhasználtuk, hogy [ez (93,8)-ból látható], és
elhagytuk az
-ban magasabb rendű tagokat.
Az integrálokat az
alakban írhatjuk. kifejezhető a teljes hipergeometrikus függvényekkel :[341]
A szerint rögzített
mellett differenciálunk, csak utána lehet a
helyettesítést végezni. Az eredményt olyan alakban adjuk meg, melyben
az ultrarelativisztikus esetnek és a (93,9)
feltételnek megfelelő elhanyagolásokat már megtettük:
jelöléseket [ valós függvény]. Az
integrált közvetlenül (93,8)-ból
számítjuk.
Az integrálok értékét (93,11)-be, majd (93,1)-be helyettesítve, megkapjuk a keresett differenciális hatáskeresztmetszetet . A végső képlet a következő:
esetén
A (93,16) kifejezés ebben az
esetben átmegy a Born-közelítésnek megfelelő (92,5) Bethe–Heitler képletbe . Ugyanez a helyzet tetszőleges mellett, ha az elektron-pozitron pár kirepülési irányát megadó
szögekre teljesülnek a
feltételek. Valóban, ekkor , úgyhogy a (93,16) kapcsos
zárójelében álló második tag az első mellett elhagyható a
szorzótényező miatt. Az első tagban [észrevéve, hogy
][342]
ez a zárójel előtt álló megfelelő tényezővel szorozva 1-et ad.
A következőkben a hatáskeresztmetszetet a pár kirepülési iránya szerint integráljuk. Az integrálási tartományt két részre osztjuk a következő módon:
I) , II)
,
ahol -re teljesül, hogy
. Mivel a
tartományban
,
, ezért itt az előbb elmondottak szerint
, ahol
a hatáskeresztmetszet Born-közelítésben. Így a szögek szerinti integrál
ahol a (92,7)
Born-hatáskeresztmetszet szögek szerinti
integrálja.
Az I tartományban
A ,
,
változókról a
,
,
változókra térünk át. Kiszámítva a transzformáció
Jacobi-determinánsát , azt találjuk, hogy
emellett
Innen -t és
-t kifejezhetjük; (93,16)-ba való
behelyettesítés és egyszerű algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy
Végül és
helyett az új
és
„gömbi koordinátákat” vezetjük be ezekkel a definiciókkal:
A megadott és
tartomány annak felel meg, hogy
,
0 és 1 között, azaz
,
(vagy ami ugyanaz,
,
) 0 és
között változik; az integrál gyors konvergenciája következtében a
szögváltozók értelmezési tartományának ilyen kiszélesítése megengedett. A nevezőben levő
négyzetgyök átalakítás után
; a
szerinti integrál elemi, és a következő eredményt adja:
A 2 szorzótényezővel azt vettük figyelembe, hogy szerint 0 és
között fogunk integrálni, és itt, miközben a
azimutszög 0 és
, ill.
és
között változik, minden
érték kétszer fordul elő.
A szerinti integrálást a (90,14)
képlet segítségével végezzük,
[és így valós
] esetén ez a következő alakú:
A bal oldalon álló kifejezés integrálja .
értékét (93,17) adja, az
határértéket pedig a következő összefüggésből vehetjük:[343]
Elvégezve az összes behelyettesítést (93,18)-ba, a következő végeredményt kapjuk:
Az energiájú foton párkeltésének teljes hatáskeresztmetszete :
Korábbi képletünkhöz képest a változás tehát annyi, hogy a logaritmikus
tagból le kell vonni az atomszám univerzális függvényét. Az utóbbi a 17. ábrán látható.
esetén
.
Végül röviden a fékezési sugárzással foglalkozunk. A folyamat mátrixeleme:
a kezdeti, ill. a végállapotbeli elektron hullámfüggvénye aszimptotikusan
egy kifutó, ill. befutó gömbhullámot tartalmaz. Az integrál kiszámítása teljesen hasonló
a (93,2) mátrixelem számításához. Itt csak a
végeredményt adjuk meg.[344]
A sugárzás differenciális hatáskeresztmetszete a (91,13) Born-közelítéstől csak egy
szorzótényezőben különbözik:
ahol a (93,15) hipergeometrikus
függvény, és
esetén
, és a (93,23)-ban
mellett álló szorzótényező is 1. Így az egzakt elméletből adódó
szögeloszlás gyakorlatilag azonos a Born-közelítéssel majdnem az egész lényeges
szögtartományban.
Ahhoz, hogy megkapjuk a sugárzás (szögek szerint) integrált
hatáskeresztmetszetét
, nem kell az integrálást újra elvégezni, ez világosan látszik a következő
meggondolásból (H. Olsen , 1955). A különböző irányok (adott
energia mellett) elfajult elektron-végállapotoknak felelnek meg.
Nyilvánvaló, hogy egy elfajult szinthez tartozó állapotok szerinti összegezés eredménye
független attól, hogyan választjuk ki az állapotok teljes rendszerét. Ezért a
irányaira való összegezéskor a
függvények rendszere helyett a
rendszert használhatjuk (nem tehetjük ezt a differenciális
hatáskeresztmetszet számításánál), azaz a fékezési sugárzás mátrixelemét az
alakban írhatjuk. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez
-gal egyezik meg, ha az utóbbiban a
helyettesítéseket végezzük (az integrációs változót illetően:
).
Világos tehát, hogy a fékezési sugárzás (szögek szerint) integrált hatáskeresztmetszetét a párkeltés (93,20) integrális hatáskeresztmetszetéből úgy kapjuk, hogy az utóbbit az
tényezővel szorozzuk [vö. (92,2)], és az ,
helyettesítést végezzük. Így
Látjuk, hogy mindkét folyamat integrális hatáskeresztmetszetében a
Born-képlethez járuló korrekció ugyanazzal az függvénnyel adható meg.
[339] Ebben a szakaszban ,
.
[340] Az összes részecske polarizációját is figyelembe vevő számításokra nézve l. H. Olsen , L. Maximon , Phys. Rev. 114, 887 (1959).
[341] A levezetést illetően l. Nordsiecknek a X. fejezet15. lábjegyzetben idézett cikkét.
[342] A függvénynek ez az értéke a III. (e,7) képletből is megkapható.Ez a képlet
kapcsolatot teremt hipergeometrikus függvény és
helyeken felvett értékei között.
[343] E képletek levezetése megtalálható a következő cikk függelékében: H. Davies, H. A. Bethe , L. C. Maximon , Phys. Rev. 93, 788 (1954).
[344] Az egzakt hullámfüggvényekkel felírt (93,22) mátrixelem (ti. az ultrarelativisztikus közelítésbe való
átmenet előtt) a párkeltés (93,2)
mátrixelemétől a közönséges (92,1) keresztezési
transzformációban különbözik. Az ultrarelativisztikus képleteken azonban a
transzformáció nem hajtható végre. Ez világosan következik az általunk használt
ultrarelativisztikus hullámfüggvények alakjából: a helyettesítés a (39,10)
függvényeket nem a helyes (39,11) „negatív
energiás” függvényekbe viszi át, mivel még a hipergeometrikus függvény első
argumentumának (
) előjelét is meg kell változtatni; az argumentum az egzakt
hullámfüggvényben
. A (93,22)
mátrixelem kiszámításának néhány részlete megtalálható H. A.
Bethe és L. Maximon eredeti cikkében: Phys. Rev. 93, 768 (1954).