Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

92.§. Párkeltés atommag terében

92.§. Párkeltés atommag terében

Az elektron-pozitron pár keletkezése fotonnak atommaggal való ütközésekor (Z+γ→Z+e–+e+) egy másik csatornája annak a reakciónak, amelyhez az elektronnak atommag terében való fékezési sugárzása is tartozik (Z+e–→Z+e–+γ). Ezért e folyamat Mfi amplitúdója a fékezési sugárzás amplitúdójából az egyszerű

10.121. egyenlet - (92,1)

𝜀,p𝜀+,p+,𝜀,p𝜀,p,ω,kω,k


helyettesítéssel kapható (a +és – indexek a pozitronra és elektronra vonatkoznak). Az abszolút értékekre és szögekre vonatkozóan e transzformáció a következő:

p→p+, p′→p–, →π–+, ′→–, φ→φ–π,

ahol ± a p±és k által bezárt szög; φ a (k,p+) sík és a (k,p–) sík által bezárt szög.

A hatáskeresztmetszet az Mfi amplitúdóval kifejezve

dσ=|Mfi|2(1/8ωε–ε+)δ(ω–ε+–ε–)(d3p+d3p–/(2π)5)

[(91,1) helyett], vagy a δ-függvény eltüntetése után,

dσ=(p+p–/(2π)5ω)|Mfi|2dΩ+dΩ–dε+.

(Ebben a szakaszban p±=|p±|, q=|q|.) (91,2)-vel összehasonlítva láthatjuk, hogy a párkeltés hatáskeresztmetszetét a fékezési sugárzáséból a (92,1) helyettesítéssel, valamint a

10.122. egyenlet - (92,2)

p+2ω2d𝜀+dω


tényezővel való szorzással és a dΩ′dΩk→ dΩ+dΩ– helyettesítéssel kaphatjuk.

Így polarizálatlan foton párkeltésének differenciális hatáskeresztmetszetére(91,8)-ból a következő kifejezés adódik (az elektron-pozitron pár polarizációjára átlagolunk):[337]

10.123. egyenlet - (92,3)

dσ=Z2αre22πm2p+pd𝜀+ω3q4 sin𝜃+d𝜃+ sin𝜃d𝜃dφ××p+2ϰ+2(4𝜀2q2)sin2𝜃++p2ϰ2(4𝜀+2q2)sin2𝜃2ω2ϰ+ϰ(p+2 sin2𝜃++p2 sin2𝜃)2p+pϰ+ϰ(2𝜀+2+2𝜀2q2)sin𝜃+ sin𝜃cosφ,ϰ±=𝜀±p±cos𝜃±,q2=(p++pk)2,𝜀++𝜀=ω(92,3)


(H. A. Bethe ,W. Heitler , 1934).

Ugyanúgy kapjuk (91,9)-ből az energia szerinti eloszlást:

10.124. egyenlet - (92,4)

dσ𝜀+=Z2αre2p+pω3d𝜀+432𝜀+𝜀p+2+p2p+2p2++m2l𝜀+p3+l+𝜀p+3l+l1p+p++L8𝜀+𝜀3p+p+ω2p+3p3(𝜀+2𝜀2+p+2p2m2𝜀+𝜀)m2ω2p+pl+𝜀+𝜀p+2p+3+l𝜀+𝜀p2p3,L= ln𝜀+𝜀+p+p+m2𝜀+𝜀p+p+m2,l±= ln𝜀±+p±𝜀±p±.(92,4)


Mivel a fenti képletek a Born-közelítésből származnak, csak akkor érvényesek, ha Ze2∕v±≪1. Megjegyezzük, hogy az elektron és pozitron változóiban mutatott szimmetria a Born-közelítés következménye, ez a magasabb közelítésekben eltűnik.

Ultrarelativisztikus esetben (ε±≫m) az elektron és a pozitron a beeső foton irányához képest ±∼m∕ε± szög alatt repül ki. A szögeloszlásra a (91,13)-hoz hasonló képletet kapunk:

10.125. egyenlet - (92,5)

dσ=8πZ2αre2m4𝜀+𝜀ω3q4d𝜀+δ+2(1+δ+2)2δ2(1+δ2)2++ω22𝜀+𝜀δ+2+δ2(1+δ+2)(1+δ2)+𝜀+𝜀+𝜀𝜀+δ+δcosφ(1+δ+2)(1+δ2)××δ+δdδ+dδdφ,(92,5)


ahol

10.126. egyenlet - (92,6)

q2m2=δ+2+δ2+2δ+δcosφ+m21+δ+22𝜀++1+δ22𝜀2.


Az energiaeloszlásra ebben az esetben a következőt kapjuk:

10.127. egyenlet - (92,7)

dσ=4Z2αre2d𝜀+ω3𝜀+2+𝜀2+23𝜀+𝜀ln2𝜀+𝜀mω12(ultrarelativisztikus).


E kifejezést dε+ szerint (m-től ω-ig) integrálva, adott energiájú foton párkeltésének teljes hatáskeresztmetszetét kapjuk:[338]

10.128. egyenlet - (92,8)

σ=289Z2αre2ln2ωm10942,ωm.


A fékezési sugárzáshoz hasonlóan a logaritmikus tag a q∼m2∕ε tartomány járuléka. Ez most olyan szögeknek felel meg, amelyekre

|δ+–δ–|≾(m/ε), |π–φ|≾(m/ε)

[(91,15)-ben viszont φ≾m∕ε]. Így logaritmikus közelítésben az elektron és pozitron iránya a foton irányával majdnem azonos (kis) szöget zár be, az utóbbinak ellentétes oldalain a három irány közelítőleg egy síkba esik.

A reakcióküszöb (ω→2m) közelében a Born-közelítés nem alkalmazható. Ebben az esetben csak úgy lehet kvantitatív összefüggéseket megadni, ha pontosan írjuk le a végállapotbeli három töltött részecske (a pár és a mag) közötti Coulomb-kölcsönhatást. A (mag által vonzott) elektron és (a mag által taszított) pozitron változóiban mutatott szimmetria ekkor természetesen megszűnik.

Ha

10.129. egyenlet - (92,9)

Zαω2mω1,


akkor a Born-közelítés még alkalmazható. Ha a pár energiája nemrelativisztikus, akkor ω≈2m≫p±, ezért q≈ω. (92,3)-ban mindenhol ε±=ϰ±=m, ω=2m helyettesíthető, ami után a kifejezés a

10.130. egyenlet - (92,10)

dσ=Z2αre264π2p+pm5(p+2 sin2𝜃++p2 sin2𝜃)dΩ+dΩd𝜀+


alakot ölti.

Szögek szerint integrálva:

10.131. egyenlet - (92,11)

dσ=16Z2αre2p+p(p+2+p2)m5d𝜀+==2Z2αre23m3(ω2m)(𝜀+m)(𝜀m)d𝜀+.(92,11)


Végül dε+ szerint (m-től ω–m-ig) integrálva, kapjuk a teljes hatáskeresztmetszetet :

10.132. egyenlet - (92,12)

σ=π12Z2αre2ω2mm3.


Ha a keletkezett pár tagjainak relatív sebessége (v0) kicsi, akkor a közöttük levő Coulomb-kölcsönhatást feltétlenül figyelembe kell venni (A. D. Szaharov, 1948). Ez akkor válik jelentőssé, amikor v0 az elektron és a pozitron kötött állapotában (pozitrónium ) levő részecskék sebességével azonos nagyságrendű (vagy kisebb):

10.133. egyenlet - (92,13)

v0α.


Vizsgáljuk a folyamatot a pár tömegközépponti rendszerében. Itt a folyamatot leíró diagramokban a ∼m nagyságú virtuális impulzusok lényegesek. Más szavakkal, a lényeges elektron-pozitron távolság ∼1∕m. A relatív mozgást leíró ψ(r) hullámfüggvény viszont lényegesen csak az r∼(1/mv0)∼(1/mα) távolságnál változik, ami nagy 1∕m-hez képest. Ezért a részecskék közötti kölcsönhatást az átmeneti mátrixelembe beírt ψ∗(0) tényezővel vehetjük figyelembe. A differenciális hatáskeresztmetszetet tehát |ψ(0)|2-tel, azaz a

10.134. egyenlet - (92,14)

2παv01e2παv0


tényezővel kell szorozni [l. III. (136,11)]. A két részecske relatív sebessége megegyezik az egyiknek a másik nyugalmi rendszerében mért sebességével. Ap+μp–μ invariáns értékét ebben a rendszerben és a laboratóriumi rendszerben (az atommag nyugalmi rendszerében) összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

(m2/√(1–v02))=ε+ε––p+p–,

amiből v0 meghatározható. Ha p+ és p– nagysága és iránya közelítőleg azonos, akkor v0-ra a

10.135. egyenlet - (92,15)

v02=p2𝜗2+(p+p)2𝜀2


közelítő képlet érvényes (v0≪1 esetén); itt p=(p++p–/2), ε=(ε++ε–/2), ϑ pedig a p+és p–által bezárt szög.

A hatáskeresztmetszethez járuló (92,14) és (92,15) által meghatározott korrekció rendellenességhez vezet az elektron és pozitron impulzusai közötti korrelációban: éles maximum jelenik meg, ha p+≈p–.



[337] A párkeltés polarizációs effektusaira nézve a 91. §-ban, a fékezési sugárzásnál megadott irodalom használható.

[338] Mivel az integrál mindkét határnál konvergens, ezért nem lényeges, hogy (92,7) kis ε±–m mellett nem alkalmazható.