Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

91.§. Elektron fékezési sugárzása atommag terében. A relativisztikus eset

91.§. Elektron fékezési sugárzása atommag terében. A relativisztikus eset

Áttérünk arra az esetre, amikor az elektron sebessége relativisztikus.[328] Feltételezzük, hogy a Born-közelítés alkalmazható, azaz az elektronnak mind kezdeti (v), mind végső (v′) sebességére teljesül, hogy Ze2∕ℏv≪1, Ze2∕ℏv′≪1. Ekkor mindenesetre a mag töltése nem lehet túl nagy: Zα≪1.

A mag visszalökődését elhanyagoljuk ugyanúgy, mint az előző szakaszban, a mag tehát csak a külső tér forrását jelenti (a közelítés jogosságára nézve l. a 94. §-t).

A folyamat hatáskeresztmetszete (65,25) szerint

10.97. egyenlet - (91,1)

dσ=|Mfi|218|p|𝜀ωδ(𝜀𝜀ω)d3pd3k(2π)5.


Itt p, ε, ill. p′, ε′ az elektron kezdeti, ill. végső impulzusa és energiája; k, ω a foton impulzusa és energiája. A δ-függvény a dε′ szerinti integrálás során eltűnik; mivel p′és k független változók, ez könnyen elvégezhető. Mivel

d3p′=|p′|ε′dε′dΩ′, d3k=ω2dωdΩk,

ezért egyszerűen a

δ(ε–ε′–ω) d3p′d3k→ω2|p′|ε′dΩkdΩ′dω

helyettesítést kell végezni. Így

10.98. egyenlet - (91,2)

dσ=1(2π)5|Mfi|2ω|p||p|dΩkdΩdω.


Az első nem eltűnő közelítésben az Mfi mátrixelemet a következő két diagram adja:

10.99. egyenlet - (91,3)


A q szabad vég a külső térnek felel meg, úgyhogy q=p′–p+k a magnak átadott négyesimpulzus. A visszalökődés elhagyása azt jelenti, hogy az időkomponens, q0=0.

A (91,3) diagramok járuléka a következő:

10.100. egyenlet - (91,4)

Mfi=e2A0(e)(q)4πeμūγμf̂+mf2m2γ0+γ0f̂+mf2m2γμu.


A közbenső négyesimpulzusok f=p–k, f′=p′+k; bevezetjük az

10.101. egyenlet - (91,5)

f2m2=2kp2ϰω,f2m2=2kp2ϰω


jelöléseket. A0(e) a külső tér skalárpotenciálja; tiszta Coulomb-térnél

10.102. egyenlet - (91,6)

A0(e)(q)=4πZeq2.


(91,2)-be helyettesítve, a hatáskeresztmetszetre a

dσ=(Z2e6/4π2)(|p′|ω/|p|q4)eμ∗eν(ū′Qμu)(ūQ̄νu′) dΩkdΩ′dω

kifejezést kapjuk, ahol

Qμ =γμ(f̂′+m/2ωϰ′)γ0–γ0(f̂+m/2ωϰ)γμ, Q̄ν =γ0Qν+γ0=γ0(f̂′+m/2ωϰ′)γν–γν(f̂+m/2ωϰ)γ0.

Ha a polarizációs effektusokra nem vagyunk kíváncsiak, akkor a hatáskeresztmetszetet a kezdeti elektron spinjének iránya szerint átlagoljuk, a végső elektron és a foton polarizációja szerint összegezzük. Ez az

eμ∗eν(ū′Qμu)(ūQ̄νu′)→–(1/2)SpQμ(p̂+m)Q̄μ(p̂′+m)

helyettesítést jelenti. A nyomot az ismert képletek szerint számíthatjuk ki (  22. §). Némi egyszerűsödést eredményez a

γ0p̂γ0=p̃̂

egyenlőség használata, ahol p̃=(ε,–p), ha p=(ε,p). A kiszámítandó tagok száma csökkenthető, a p↔p′, k→–k, q→–q cserével szemben mutatott szimmetria figyelembevételével (ez a helyettesítés csak a mátrixszorzat tényezőinek ciklikus cseréjéhez vezet, a nyom értékét nem változtatja).

Végeredményben az olyan fékezési sugárzás differenciális hatáskeresztmetszetére , melyben a kisugárzott foton frekvenciája és iránya, valamint a másodlagos elektron iránya adott, a következő kifejezést kapjuk:[329]

10.103. egyenlet - (91,7)

dσ=Z2αre24π2pm4pq4dωωdΩkdΩq2ϰϰm2(2𝜀2+2𝜀2q2)++q21ϰ1ϰ24𝜀ϰ𝜀ϰ2+2ωq2m21ϰ1ϰ2ω2m2ϰϰ+ϰϰ,(91,7)


ahol

ϰ=ε–np, ϰ′=ε′–np′ (n=k∕ω), q=p′+k–p

E képletet a további vizsgálódás szempontjából célszerű egyszerű átalakításokkal a következő alakra hozni:

10.104. egyenlet - (91,8)

dσ=Z2αre22πdωωpm2pq4 sin𝜃d𝜃sin𝜃d𝜃dφ××p2ϰ2(4𝜀2q2)sin2𝜃+p2ϰ2(4𝜀2q2)sin2𝜃++2ω2ϰϰ(p2 sin2𝜃+p2 sin2𝜃)2ppϰϰ(2𝜀2+2𝜀2q2)sin𝜃sin𝜃cosφ,(91,8)


ahol

ϰ =ε–pcos, ϰ′=ε′–p′cos′, q2 =p2+p′2+ω2–2pωcos+2p′ωcos′– –2pp′(coscos′+sinsin′cosφ);

és ′ a p és p′ vektorok k-val bezárt szöge; φ a (k,p) és (k,p′) síkok által bezárt szög.

(91,8) integrálása a másodlagos elektron és a foton iránya szerint meglehetősen hosszadalmas. A sugárzás spektrális eloszlására a következő eredmény adódik:[330]

10.105. egyenlet - (91,9)

dσω=Z2αre2dωωpp432𝜀𝜀p2+p2p2p2+m2l𝜀p3+l𝜀p3llpp++L8𝜀𝜀3pp+ω2p3p3(𝜀2𝜀2+p2p2+m2𝜀𝜀)++m2ω2ppl𝜀𝜀+p2p3l𝜀𝜀+p2p3,(91,9)


ahol

L =ln(εε′+pp′–m2/εε′–pp′–m2), l =ln(ε+p/ε–p), l′=ln(ε′+p′/ε′–p′).

Emlékeztetünk arra, hogy a kapott képletekben a frekvencia lehetséges értékeit csak a végső elektron sebességére kirótt feltétel (Ze2∕v′≪1) korlátozza: az elektron nem adhatja le energiájának nagy részét. A sugárzás hatáskeresztmetszete ω→0 esetén dω∕ω-ként divergál; ez egy általános szabály megnyilvánulása, melyet a 95. §-ban tárgyalunk.

Nemrelativisztikus határesetben (p≪m) a foton impulzusa kicsi az elektron impulzusához képest, úgyhogy

ω=(p′2–p2/2m)≪p.

Ezért q2≈(p′–p)2. (91,8)-ba ε=ε′=m-et helyettesítve és p-t, p′-t, ω-t m mellett elhanyagolva, azt kapjuk, hogy

dσ =(2/π)Z2αre2(dω/ω)(p′m2/pq4)sindsin′d′dφ× ×(p2sin2+p′2sin2′–2pp′sinsin′cosφ),

vagy

10.106. egyenlet - (91,10)

dσ=Z2α3π2pp(n×q)2dΩkdΩq4dωω,


ami megegyezik a 90. § 1. feladatában Born-közelítéssel kapott képlettel. A sugárzás spektrális eloszlására is a már ismert (90,16) eredmény adódik.[331]

Ultrarelativisztikus esetben, amikor az elektron energiája mind a kezdeti, mind a végállapotban nagy (ε,ε′≫m), a foton és a másodlagos elektron szögeloszlása igen jellegzetes tulajdonságot mutat. Kis , ′ szögeknél a (91,8) nevezőiben szereplő ϰ, ϰ′ mennyiségek:

10.107. egyenlet - (91,11)

ϰ𝜀2m2𝜀2+𝜃2,ϰ𝜀2m2𝜀2+𝜃2,


ezek a ≾m∕ε tartományban nagyon kicsinyek. Ugyancsak kicsi e tartományban a q vektor hossza (q∼m). Így ultrarelativisztikus esetben a foton és az elektron előrerepül egy szűk ∼m∕ε nyílásszögű kúpon belül.

Ultrarelativisztikus esetben a szögeloszlás konkrét alakját (91,8)-ból könnyen megkaphatjuk, ha behelyettesítjük ϰ, ϰ′(91,11) alakját, p, p′ helyébe mindenhol ε-t, ε′-t írunk, és q2-et ε2 mellett elhanyagoljuk. Célszerű bevezetni a

10.108. egyenlet - (91,12)

δ=𝜀m𝜃,δ=𝜀m𝜃


változókat, ezekkel

10.109. egyenlet - (91,13)

dσ=8πZ2αre2𝜀m4𝜀q4dωωδdδδdδdφ××δ2(1+δ2)2+δ2(1+δ2)2+ω22𝜀𝜀δ2+δ2(1+δ2)(1+δ2)𝜀𝜀+𝜀𝜀δδcosφ(1+δ2)(1+δ2).(91,13)


Mivel könnyen belátható, hogy q2=(n×q)2+(nq)2(n=k∕ω), ezért kis szögekre

10.110. egyenlet - (91,14)

q2m2=(δ2+δ22δδcosφ)+m21+δ22𝜀1+δ22𝜀2.


Ha δ∼δ′∼1, a második tag az elsőhöz képest kicsi. Még kisebb szögeknél lesz a két tag egyenlő, abban a tartományban, ahol δ∼m∕ε. Bár itt q igen kicsi (q∼m2∕ε≪m), e tartomány integrális járuléka a hatáskeresztmetszethez kicsi a teljes δ≾1 tartomány járulékához képest (könnyen látható, hogym2∕ε2-szerese). Azonban q a q∼m2∕εértékeket akkor is felveheti, ha δ∼δ′∼1és emellett

10.111. egyenlet - (91,15)

|δδ|m𝜀,φm𝜀.


E tartomány járuléka a teljes integrális hatáskeresztmetszet nagyságrendjével azonos (vagy éppen ez a fő járulék – l. alább).

A (91,13) képlet dφ és dδ′ szerinti integrálja megadja az (adott frekvenciájú) fotonok szögeloszlását a másodlagos elektron irányától függetlenül:[332]

10.112. egyenlet - (91,16)

dσ=8Z2αre2dωω𝜀𝜀δdδ(1+δ2)2××𝜀𝜀+𝜀𝜀4δ2(1+δ2)2 ln2𝜀𝜀mω12𝜀𝜀+𝜀𝜀+216δ2(1+δ2)2.(91,16)


d δ szerint integrálva, kapjuk a sugárzás spektrális eloszlását ultrarelativisztikus esetben:

10.113. egyenlet - (91,17)

dσω=4Z2αre2dωω𝜀𝜀𝜀𝜀+𝜀𝜀23ln2𝜀𝜀mω12


[ez természetesen (91,9)-ből közvetlenül megkapható].

(91,16)-ban és (91,17)-ben egy nagy mennyiség logaritmusa szerepel (még ω∼ε esetén is (εε′/mω)∼(ε′/m)≫1). Ha ez a mennyiség olyan nagy, hogy logaritmusa is nagy, akkor a fenti képletekben a logaritmust tartalmazó tagok adják a fő járulékot. Ez a (91,15) tartományra vett integrálból származik.[333] Ily módon „logaritmikus közelítésben ” (ti. a nagy logaritmikus tényezőt nem tartalmazó tagokat elhagyva) a másodlagos elektron iránya a beesés irányával ∼(m∕ε)2 szöget zár be.

Végül a spektrum ún. kemény részét vizsgáljuk, azt az esetet, mikor az ultrarelativisztikus elektron majdnem teljes energiáját kisugározza: ω≈ε≫ε′. (91,9)-ből könnyen kaphatjuk, hogy

10.114. egyenlet - (91,18)

dσω=2Z2αre2dω𝜀e2p2 ln𝜀+p𝜀pm2𝜀4p3 ln2𝜀+p𝜀p𝜀p.


A (91,17)és (91,18) képletek ultrarelativisztikus kezdeti elektron esetén a teljes ω tartományt lefedik; ha ω≈ε≫ε′≫m, a két képlet egybeesik. Ha a másodlagos elektron nemrelativisztikus (p′≪m), akkor

10.115. egyenlet - (91,19)

dσω=2Z2αre22m(𝜀ω)mdω𝜀.


Polarizációs effektusok

A fékezési sugárzás polarizációs effektusait a 66. §-ban leírt általános módszerrel vizsgálhatjuk. Az e(1), e(2) négyesvektorok megválasztása az adott esetben igen egyszerű. Mivel a folyamatot ténylegesen csak egy meghatározott koordinátarendszerben (a mag nyugalmi rendszerében) célszerű vizsgálni, ezért írhatjuk, hogy e(1)=(0,e(1)), e(2)=(0,e(2)), ahol e(1), e(2)k-ra merőleges egységvektorok, az egyik a (k,p) síkban fekszik, a másik merőleges arra.

Nem mutatjuk be sem a meglehetősen hosszadalmas levezetéseket, sem a számszerű végeredményeket.[334] A polarizációs effektusok néhány kvalitatív tulajdonságával foglalkozunk csak. Ezek különböző szimmetria-összefüggések segítségével származtathatók, hasonlóan, mint a 87. §-ban tárgyalt Compton-effektusnál.

A folyamatot a perturbációszámítás első nem eltűnő közelítésében tárgyaltuk. Ebben a közelítésben a hatáskeresztmetszet nem tartalmazhat olyan tagokat, amelyek egyedül az elektron kezdeti (ζ) vagy végső (ζ′) polarizációs vektorával arányosak. Hogy ζ-val arányos tagok nincsenek, ez azt jelenti, hogy a teljes (a foton és a másodlagos elektron polarizációjára összegzett) hatáskeresztmetszet nem függ a bejövő elektron polarizációjától.

Nem szerepelhet olyan tag, mely a foton (ξ1′,ξ2′,ξ3′) polarizációs paraméterei közül egyedül ξ2′-vel arányos. Ez azt jelenti, hogy polarizálatlan elektron által kisugárzott foton nem lehet cirkulárisan polározott. Itt azonban különbség van a Compton-effektusra levezetett analóg eredménnyel szemben. Ott a ξ2′-vel arányos tagok megjelenését a tértükrözési invariancia tiltotta, ugyanis a rendelkezésre álló független k, k′ vektorokból nem lehetett pszeudoskalár mennyiséget képezni. Fékezési sugárzásnál három független impulzus van (p,p′,k), ezekből a k(p×p′) pszeudoskalár képezhető. Egy ξ2′k(p×p′) típusú tag a tértükrözési invarianciát nem sérti és ezért szigorúan véve nem is nulla. Nem invariáns azonban az összes impulzus előjelének megváltoztatásával szemben [vö. (87,26)], és ezért az első Born-közelítésben nem szerepelhet.

A k(p×p′) pszeudoskalár létezése ahhoz vezet, hogy a ξ3′-vel arányos tag mellett egy ξ1′ arányos tag is felléphet (ellentétben a Compton-effektussal ), mégpedig az

Sαβνα(k×ν)β[k(p×p′)]

szorzat formájában (ahol ν=k×p), ez mind a tértükrözéssel szemben, mind az impulzusok előjelének egyidejű megváltoztatásával szemben invariáns. Így a kisugárzott foton lineáris polarizációja kétféle lehet (az e(1) és e(2) tengelyek irányában vagy az ezekkel a tengelyekkel 45∘-os szöget bezáró „diagonális” irányokban). Ez azonban csak abban az esetben érvényes, ha a másodlagos elektron irányát is észleljük. A p′ irányai szerinti integráláskor a ξ1′-vel arányos tag eltűnik. Ez a szimmetriakövetelményekből közvetlenül látható: integrálás után a két különböző „diagonális” irány ekvivalens egymással, ξ1′≠0 valamelyiket kitüntetné a másikkal szemben, ami nem lehetséges.

A lineáris polarizáció foka a beeső elektron polarizációs állapotától független: ξ1′ζ és ξ3′ζ típusú korrelációs tagok az első Born-közelítésben nem jelenhetnek meg. A ξ2′ζ típusú tag megengedett, így a polarizált elektron által kisugárzott foton cirkulárisan polarizált (J. B. Zeldovics, 1952).

Árnyékolás

Az előbbiekben levezetett képletek tiszta Coulomb-térre vonatkoznak. Ha a sugárzás nem „meztelen” maggal, hanem atommal való ütközés során keletkezik, akkor figyelembe kell venni, hogy az elektronok az atommag terét leárnyékolják , ez a körülmény csökkenti a hatáskeresztmetszetet. A külső tér A(e)(q) potenciáljába ekkor be kell vezetni az F(q) atomi alakfaktort (l. III. 139. §). A III. (139,2) szerint ez úgy történik, hogy Z helyébe Z–F(q)-t írunk. Megkeressük azokat a feltételeket, amelyek teljesülése esetén az árnyékolás lényeges.

Az F(q) alakfaktor az elektronfelhő térbeli töltéseloszlásával van összefüggésben, meghatározott q értékhez az r∼1∕q karakterisztikus méret tartozik. Az alakfaktor értéke Z-hez tart (teljes árnyékolás), ha q≾1∕a, ahol a az atom mérete.

Láttuk másrészt, hogy a sugárzás hatáskeresztmetszetéhez ultrarelativisztikus esetben lényeges járulékot adnak a qmin közelébe eső q értékek. Ultrarelativisztikus esetben

qmin=p–p′–ω=√(ε2–m2)–√(ε′2–m2)–(ε–ε′)≈(m2ω/2εε′).

Az árnyékolás lényeges, ha qmin≾1∕a vagy

10.116. egyenlet - (91,20)

𝜀𝜀mωa1m.


Ez a feltétel mindig teljesül, ha a beeső elektron energiája elég nagy.

Ha qmin≪1∕a („teljes árnyékolás”), a sugárzás spektrális eloszlása logaritmikus pontossággal azonnal felírható. Valóban, (91,17)-ben éppen az (εε′/mω)≫ma egyenlőtlenség bal oldalának logaritmusa áll. Ha az egyenlőtlenség teljesül, akkor a logaritmust adó dq szerinti integrált az egyenlőtlenség jobb oldalának nagyságrendjébe eső értéknél kell levágni. A Thomas–Fermi modell szerint a∼a0Z–1∕3, ahol a0∼(1/me2) meg a Bohr-sugár (l. III. 70. §); ekkor am∼(1/αZ1∕3). Így teljes árnyékolás esetén a logaritmikus tényezőt (91,17)-ben ln(1/αZ1∕3)-nal kell helyettesíteni.[335]

Az energiaveszteség

Az elektron sugárzási energiaveszteségére a

10.117. egyenlet - (91,21)

ϰsug=0𝜀mωdσω


„effektív fékezés” jellemző. dσω kifejezését (91,17) adja meg, az integrálás eredménye a következő:[336]

10.118. egyenlet - (91,22)

ϰsug=Z2αre2𝜀12𝜀2+4m23𝜀pln𝜀+pm(8𝜀+6p)m23𝜀p2 ln2𝜀+pm43++2m2𝜀pF2p(𝜀+p)m2,(91,22)


ahol az F(x) függvény definíciója:

F(x)=∫0x(ln(1+y)/y) dy.

Kis x-ekre

F(x)=x–(x2/4)+(x3/9)–(x4/16)+…

Nagy x-ekre használható a következő egzakt összefüggés:

F(x)=(π2/6)+(1/2)ln2x–F((1/x)).

Nemrelativisztikus esetben (91,22) a következő alakba megy át:

10.119. egyenlet - (91,23)

ϰsug=163Z2αre2m.


Ez az eredmény természetesen a (90,16) nemrelativisztikus Born-képlet közvetlen integrálásával is megkapható.

Ultrarelativisztikus esetben

10.120. egyenlet - (91,24)

ϰsug=4Z2αre2𝜀ln2𝜀m13.


A ϰsug∕ε hányadost a sugárzási energiaveszteség hatáskeresztmetszetének nevezik. Nagy ε-ra ez logaritmikusan nő. A növekedés megszűnik, ha az árnyékolást figyelembe vesszük. Teljes árnyékolásnál ϰsug∕ε a ≈4Z2αre2ln(1/αZ1∕3) állandó határértékhez tart.

Az atommal való ütközés tárgyalásakor gondolni kell arra is, hogy a sugárzás egy része az elektronokkal való kölcsönhatás során keletkezik. A későbbiekben (94. §) látni fogjuk, hogy az utóbbi hatáskeresztmetszete ultrarelativisztikus esetben pusztán annyiban különbözik a magon való fékezési sugárzásétól, hogy a Z2 szorzótényező hiányzik. Ezért Z atomi elektron esetén a Z2→Z(Z+1) helyettesítéssel közelítőleg az elektronokkal való kölcsönhatást is figyelembe vesszük.



[328] Az itt tárgyalt eredmények nagy részét először H. A. Bethe és W. Heitler (1934) és tőlük függetlenül F. Sauter (1934) vezette le.

[329] Most és e szakasz további részeiben p, p′, q a háromdimenziós vektorok abszolút értékeit jelentik: p=|p|, p′=|p′|, q=|q|.

[330] A csupán a másodlagos elektron irányára integrált hatáskeresztmetszet is előállítható analitikus formában – l. R. L. Gluckstern , M. H. Hull , Phys. Rev. 90, 1030 (1953). Felhívjuk még a figyelmet H. W. Koch és J. W. Motz összefoglaló cikkére, Rev. Mod. Phys. 31, 920 (1959), melyben a fékezési sugárzás képleteit grafikusan ábrázolták.

[331] Ezt a képletet (91,9)-ből határátmenettel kapjuk, a levezetés azonban igen hosszadalmas.

[332] Először a dφ szerinti integrálást végezzük el (0-tól 2π-ig). A dδ′ szerinti integráláskor érdemes a |Δ|=|δ′–δ|új változót bevezetni, és az integrálási tartományt két részre osztani: 0-tól valamilyen Δ0-ig és Δ0-tól ∞-ig, ahol m∕ε≪Δ0≪1. Mindkét tartományban az integrandusban bizonyos tagok elhanyagolhatók.

[333] Erről könnyen meggyőződhetünk, ha azt a tartományt vizsgáljuk, melyben φ és Δ=δ′–δ kielégítik az m∕ε≪Δ, φ≪1 feltételeket. Itt q2∕m2≈Δ2+φ2δ2, a (91,13) kapcsos zárójelében álló kifejezés pedig φ2-tel vagy Δ2-tel arányos tagokat tartalmaz (ha φ=0 és Δ=0, akkor eltűnik). Az ∫(φ2dφdΔ/(Δ2+δ2φ2)2) vagy ∫(Δ2dφdΔ/(Δ2+δ2φ2)2)típusú integrálok logaritmikusan divergálnak; az adott integrálási tartomány határain „levágást” kell alkalmazni.

[334] Ezeket illetően l. az eredeti cikkeket. R. L. Gluckstern , M. H. Hull , G. Breit , Phys. Rev. 90, 1026, 1030 (1953); G. L. Viszockij , A. A. Kresznyin , L. N. Rosenzweig , ZSETF 32, 1078 (1957); K. McVoy, Phys. Rev. 106, 828 (1957); 111, 1333 (1958); H. Banerjee , Phys. Rev. 111, 532 (1958); C. Fronsdal , H. Überall , Phys. Rev. 111, 580 (1958). (E cikkekben további részletes utalások találhatók.) L. továbbá a következő összefoglaló cikket: W. H. McMaster , Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).

[335] A probléma részletesebb kifejtésére vonatkozóan l. H. A. Bethe , W. Heitler , Proc. Roy. Soc. A146, 83 (1934); H. A. Bethe , Proc. Camb. Phil. Soc. 30, 524 (1934).

[336] Bár a (91,17) képlet a felső határ közelében nem alkalmazható, az integrál konvergenciája miatt ez a körülmény lényegtelen.