Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

90.§. Elektron fékezési sugárzása atommag terében. A nemrelativisztikus eset

90.§. Elektron fékezési sugárzása atommag terében. A nemrelativisztikus eset

Ebben és néhány következő szakaszban egy fontos jelenséggel foglalkozunk, a részecskék ütközését kísérő fékezési sugárzással. Először elektron és atommag nemrelativisztikus ütközését tárgyaljuk. Az atommagot mozdulatlannak tekintjük, azaz rögzített centrum Coulomb-terében történő szórásnál fellépő sugárzást vizsgáljuk (A. Sommerfeld , 1931).

A dipólussugárzás valószínűségének (45,5) képletéből indulunk ki:

10.77. egyenlet - (90,1)

dw=ω32π|edfi|2dΩk.


Esetünkben az elektron kezdeti és végállapota egyaránt a folytonos spektrumhoz tartozik, a foton frekvenciája

10.78. egyenlet - (90,2)

ω=12m(p2p2),


ahol p=mv, p′=mv′ az elektron kezdeti és végső impulzusa. Ha az elektron kezdeti és végállapotbeli hullámfüggvényének normálása „V=1 térfogatban egy részecske”, akkor a (90,1) kifejezést d3p′∕(2π)3-nel szorozva és av∕V=v bejövőáramsűrűséggel osztva, kapjuk annak dσkp′ differenciális hatáskeresztmetszetét, hogy k impulzusú foton emittálódik a dΩk térszögbe, az elektron pedig egy d3p′ intervallumba esőállapotba kerül. A d=er dipólusmomentum mátrixelemét

dfi=–(1/iω)(e/m)pfi

szerint az impulzus mátrixelemével helyettesítjük, ezzel a hatáskeresztmetszet kifejezését a

10.79. egyenlet - (90,3)

dσkp=ωe2(2π)4mp|epfi|2dΩkd3p


alakban írhatjuk,[319] ahol

pfi=∫ψf∗pψid3x=–i∫ψf∗∇ψid3x.

ψ i és ψf a vonzó Coulomb-térbeli egzakt hullámfüggvények, ezek közül is azokat kell használni, amelyek aszimptotikusan egy sík- és egy gömbhullámot tartalmaznak; ψf-ben befutó, ψi-ben kifutó gömbhullámnak kell lennie (l. III. 136. §). Ezek alakja

10.80. egyenlet - (90,4)

ψi=AieiprF(iν,1,i(prpr)),ν=Ze2mp;ψf=AfeiprF(iν,1,i(pr+pr)),ν=Ze2mp.(90,4)


Az együtthatók normálása:

10.81. egyenlet - (90,5)

Ai=eπν2Γ(1iν),Af=eπν2Γ(1+iν).


A

∇F(iν,1,i(pr–pr))=i(p(r/r)–p)F′=–(p/r)((∂F/∂p))ν

összefüggés segítségével ∇ψi a következő alakban írható:

∇ψi=ipψi–Aieipr(p/r)((∂F/∂p))ν

A ψf∗-gal való szorzás és integrálás során az első tag ψi és ψf ortogonalitása következtében eltűnik. Ezért az impulzus mátrixeleme

10.82. egyenlet - (90,6)

pfi=iAiAfpJp,


ahol

10.83. egyenlet - (90,7)

J=eiqrrF(iν,1,i(pr+pr))F(iν,1,i(prpr))d3x,q=pp.


A ∂∕∂p szerinti differenciálás és az integrálás sorrendjét felcseréltük, természetesen J differenciálásakor a ν, ν′és q mennyiségeket független paramétereknek kell tekinteni, és csak differenciálás után kell ν-t és q-t p-vel kifejezni.

Az integráláshoz célszerű elfajult, hipergeometrikus függvényt vonalintegrálként előállitani. Csak a végeredményt adjuk meg:[320]

10.84. egyenlet - (90,8)

J=BF(iν,iν,1,z),B=4πeπν(q22qp)iν(q22qp)iν(q2)iν+iν1,z=2q2(pp+pp)2(qp)(qp)(q22qp)(q2+2qp).(90,8)


Itt F(iν′,iν,1,z) a teljes hipergeometrikus függvény.

A differenciálás elvégzése után (90,6)-ba q=p′–p helyettesíthető; ezzel

10.85. egyenlet - (90,9)

z=2pppp(pp)2,q2=(pp)2(1z)


(z<0). Megjegyezzük még, hogy

–q2–2qp=q2–2qp′=p2–p′2>0.

A mátrixelemre végeredményben a következő kifejezést kapjuk:

10.86. egyenlet - (90,10)

pfi=AiAf8πieπν(pp)3(p+p)p+pppi(ν+ν)××(1z)i(ν+ν)1[iνpqF(z)+(1z)F(z)(pppp)],(90,10)


ahol a rövidség kedvéért az

10.87. egyenlet - (90,11)

F(z)=F(iν,iν,1,z)


jelölést használtuk.

(90,10)-et (90,3)-ba helyettesítve, kapjuk a hatáskeresztmetszetet. A végső képlet igen terjedelmes és nehezen áttekinthető. Ezért áttérünk a spektrális eloszlás kiszámítására, azaz a hatáskeresztmetszetet a foton és a végállapotbeli elektron iránya szerint integráljuk.

A dΩk szerinti integrálás és a foton polarizációja szerinti összegezés az e irányok szerinti átlagolást és 2⋅4π-vel való szorzást jelent, azaz az

eiek∗dΩk→(8π/3)δik

helyettesítést kell elvégezni. Ezek után a hatáskeresztmetszet:

10.88. egyenlet - (90,12)

dσp=4ωe23pm|pfi|2d3p(2π)3=ωe2p6π3p|pfi|2dωdΩp.


|pfi|2-et (90,9)…(90,11) felhasználásával számítjuk, figyelembe véve, hogy

|Γ(1–iν)|2=(πν/shπν).

Az eredmény a következő:

10.89. egyenlet - (90,13)

|pfi|2=32π(Ze2)2m3p(p+p)2(pp)4(1e2πν)(e2πν1)××νν1z|F|2z|F|2+iν+ν2z1z(FFFF).(90,13)


A (90,12) kifejezésben a dΩp′=2πsinϑdϑ szerinti integrálban a ϑ (szórásszög) változóról a

z=–(2pp′/(p–p′)2)(1–cosϑ), dΩp′→(π(p–p′)2/pp′) dz

változóra térünk át. A dz szerinti integráláshoz célszerű a (90,13) kapcsos zárójelében levő kifejezést átalakítani. A hipergeometrikus függvényekre vonatkozó differenciál egyenlet szerint [l. III. (e,2)]:

z(1–z)F″+[1–(1+iν+iν′)z]F′+νν′F =0, z(1–z)F′′∗+[1–(1–iν–iν′)z]F′∗+νν′F∗ =0.

E két egyenletet rendre F∗-gal és F-fel szorozva és összeadva, azt kapjuk, hogy

(1–z)[(d/dz)z(F′F∗+F′∗F)–2z|F′|2+(i(ν+ν′)z/1–z)(F′∗F–F′F∗)+(2νν′/1–z)|F|2]=0.

Innen látható, hogy (90,13)-ban a kapcsos zárójelben álló kifejezés:

10.90. egyenlet - (90,14)

{}=12ddzz(FF+FF),


ami közvetlenül integrálható.

A kapott képleteket összegyűjtve a következő kifejezést kapjuk a dω frekvenciatartományba eső fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetére :[321]

10.91. egyenlet - (90,15)

dσω=64π23Z2αre2m2c2(pp)2pp1(1e2πν)(e2πν1)ddξ|F(ξ)|2dωω,


ahol

ν=(Zαmc/p) =(Ze2/ℏν), ν′=(Ze2/ℏν′), p′=√(p2–2mℏω), F(ξ) =F(iν′,iν,1,ξ), ξ=–(4pp′/(p–p′)2).

A (90,15) kvantummechanikai képletnek át kell mennie a klasszikus eredménybe (l. II. 70. §) abban a határesetben, amikor ν≫1 és ℏω≪p2∕2m (az első egyenlőtlenség az elektron Coulomb-térben való kváziklasszikus mozgásának feltétele, a második annak, hogy az átmeneti mátrixelem kváziklasszikus legyen). Ennek megállapításához szükségünk lenne a hipergeometrikus függvények aszimptotikus kifejezéseire az argumentum és a paraméterek nagy értékeinél, amivel itt nem foglalkozunk.

Vizsgáljuk azt a határesetet, mikor a v és v′ sebességek olyan nagyok, hogy ν≪1, ν′≪1 (de természetesen az előzőek szerint v≪1, úgyhogy Zα≪ν≪1, ami csak kis Z esetén lehetséges). F′(ξ) kiszámításához a

(d/dz)F(α,β,γ,z)=(αβ/γ)F(α+1,β+1,γ+1,z)

képletet használjuk, amit a hipergeometrikus sor differenciálásával könnyen igazolhatunk Így

F′(ξ)≈iν⋅iν′F(1,1,2,ξ)=(νν′/ξ)ln(1–ξ)

(a második egyenlőség a sorfejtett alakok összehasonlításából látható). Maga az F(ξ) függvény:

F(ξ)≈F(0,0,1,ξ)=1

(90,15)-ből a következő eredményt kapjuk:

10.92. egyenlet - (90,16)

dσω=163Z2αre2c2v2 lnv+vvvdωω,Ze2v1,Ze2v1.(90,16)


ν és ν′ kicsinysége éppen a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele Coulomb-kölcsönhatás esetén. Ezért a (90,16) képlet a perturbációszámítás segítségével egyszerűen megkapható (l. az 1. feladatot).

Vizsgáljuk most azt az esetet, mikor egy gyors (ν≪1) elektron a sugárzás során energiájának nagy részét elveszti, úgyhogy v′≪v, és ν′-nek nem kell kicsinek lennie. Ekkor

–ξ ≈(4p′/p)=(4ν/ν′)≪1, F(ξ)≈F(iν′,0,1,ξ)=1, F′(ξ) ≈–νν′F(1+iν′,1,2,ξ)≈–νν′,

és a hatáskeresztmetszet

10.93. egyenlet - (90,17)

dσω=64π3Z3α2re2cv311 exp(2πZe2v)dωω,Ze2v1,Ze2v1.(90,17)


Ha ν′≪1, akkor

dσω=(32/3)Z2αre2(c2v′/v3)(dω/ω),

ugyanezt adja a (90,16) képlet is a v′≪v esetben. Így (90,16), (90,17) együtt lefedik ν′ lehetséges értékeit (ν≪1).

ω→ω0 esetén (ahol ℏω0=mv2∕2) v→0 és ν′→∞. Ebben a határesetben (90,17) alakja a következő:

10.94. egyenlet - (90,18)

dσω=128π3Z2α2re2cv3dωmv2


dσω∕ dω tehát véges értékhez tart ω→ω0 esetén. Ez a tény megmagyarázható olyan általános meggondolásokból kiindulva, mint amilyeneket a III. 147. §-ban fejtettünk ki. Fizikailag azzal függ össze, hogy az ω=ω0 frekvencia csak a folytonos fékezési spektrumra nézve határfrekvencia. Az elektron ω>ω0 frekvenciájú fotont is kisugározhat, miközben kötött állapotba kerül. A Coulomb-tér magasan gerjesztett kötött állapotai azonban, tulajdonságaikat tekintve, kevéssé különböznek a kötött állapotok közelében levő szabad állapotoktól. Ezért a folytonos és diszkrét spektrum határa fizikailag nem kitüntetett.

A leírt összes kifejezés vonzó Coulomb-térre vonatkozik. A taszító térbeli sugárzás hatáskeresztmetszetét (90,15)-ből a ν→–ν, ν′→–ν′ helyettesítéssel kapjuk. A (90,16) közelítő Born-képlet egyáltalán nem változik. A ν≪1, ν′→∞ határesetben (90,18) helyett a

10.95. egyenlet - (90,19)

dσω=128π3Z2α2re2cv3 exp2mc2πZα(ω0ω)dωmv2


összefüggést kapjuk, azaz a differenciális hatáskeresztmetszet ω→ω0 esetén exponenciálisan eltűnik. Ez az eredmény is természetes: taszító térben kötöttállapotok nincsenek, az ω=ω0 frekvencia ténylegesen a spektrum határa.

Feladatok

1. Határozzuk meg Born-közelítésben a fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetét két olyan részecske nemrelativisztikus ütközésénél, amelyekre nézve az e∕m hányados értéke különböző.

Megoldás. Az e1, e2 töltésű, m1, m2 tömegű részecskékből álló rendszer dipólusmomentuma a tömegközépponti rendszerben

d=μ((e1/m1)–(e2/m2))r,

ahol μ=(m1m2/m1+m2), r=r1–r2. Innen

d̈=((e1/m1)–(e2/m2))μr̈=–((e1/m1)–(e2/m2))∇(e1e2/r).

A mátrixelem

dp′p=–(1/ω2)(d̈)p′p′, ω=(p2–p′2/2μ)

(p=μv,p′=μv′ a relatív mozgás impulzusai). Ezt a

ψp=eipr, ψp′=eip′r

síkhullámokkal számítjuk ki,[322] felhasználjuk közben a

(∇(1/r))p′p=(4πiq/q2), q=p′–p

összefüggést. Az eredmény a következő:

dσkp′=(e12e22/π2)((e1/m1)–(e2/m2))2(v′/v)(μ2/q4)(eq)(e∗q)(dω/ω) dΩp′dΩk.

A polarizációra való összegezés után a sugárzás szögeloszlását a sin2Θ tényező határozza meg, ahol Θ a foton k iránya és a szórás síkjában fekvő q vektor által bezárt szög [l. (45,4a)].

A foton irányára való integrálás után

dσω=(16/3)e12e22((e1/m1)–(e2/m2))2(v′/v)(dω/ω)(sind/v2+v′2–2vv′cos),

ahol a szórásszög. Végül a d szerinti integrálás után,

dσω=(16/3)e12e22((e1/m1)–(e2/m2))2(1/v2)ln(v+v′/v–v′)(dω/ω).

Mozdulatlan Coulomb-centrum terében való sugárzás esetében ez megegyezik a (90,16) képlettel.

2. Határozzuk meg Born-közelítésben két elektron nemrelativisztikus ütközésekor fellépő fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetét.[323]

Megoldás. Ebben az esetben nincs dipólussugárzás, tehát a kvadrupólussugárzást kell vizsgálnunk. A klasszikus elméletben a kvadrupólussugárzás teljes intenzitását az

Iω=(1/90)|(D...ik)ω|2

képlet határozza meg, ahol Dik=∑e(3xixk–r2δik) a töltésrendszer kvadrupólusmomentum tenzora .[324] Két elektronra tömegközépponti rendszerükben

Dik=(e/2)(3xixk–r2δik), r=r1–r2.

A kvantumelméletre való áttéréskor a Fourier-komponens helyébe a mátrixelemet kell írni (vö. a dipólussugárzásról a 45. §-ban elmondottakkal), és a hullámfüggvényeket (síkhullámokat) megfelelően normálva – a foton ω energiájával való osztás után -, kapjuk a sugárzás hatáskeresztmetszetét (az elektronok a d3p′ intervallumban levő állapotba kerülnek):

dσp′=(1/90ω)|(D...ik)p′p|2(d3p′/v(2π)3),

ahol v=2p∕m a relatív mozgás kezdeti sebessége; a sugárzás frekvenciája ω=(p2–p′2)∕m.

A D...ik operátort úgy számíthatjuk ki, hogy képezzük a Dik operátor és a

H=(p2/m)+(e2/r)

Hamilton-operátor háromszoros kommutátorát :[325]

D...ik =(2e3/m)[6((xi/r3)pk+pk(xi/r3))+6((xk/r3)pi+pi(xk/r3))– –9((xixkxl/r5)pl+pl(xixkxl/r5))–δik((xl/r3)pl+pl(xl/r3))].

Szem előtt tartva, hogy a két részecske azonos, a mátrixelemet a

ψp=(1/√2)(eipr±e–ipr), ψp′=(1/√2)(eip′r±e–ip′r)

hullámfüggvényekkel számítjuk ki, ahol a + vagy – előjel annak felel meg, hogy az elektronok együttes spinje 0 vagy 1 (az elektronok felcserélését az r→–r helyettesítés jelenti).

Hosszadalmas számítás[326] vezet a sugárzás spektrális eloszlását megadó képletre:

dσω=(4/15)αre2{17–(3x2/(2–x)2)+(12(2–x)4–7(2–x)2x2–3x4/(2–x)3√(1–x))arch(1/√x)}(√(1–x)/x) dx,

ahol x=ω∕ε, ε=p2∕m az elektronok relatív mozgásának energiája a kezdeti állapotban; a hatáskeresztmetszet az elektronok teljes spinjének lehetséges értékeire átlagolt. A sugárzási energiaveszteségre vonatkozó hatáskeresztmetszet:

(1/ε)∫0εωdσω=8,1αre2.

3. Határozzuk meg atommag által kibocsátott s állapotú nemrelativisztikus elektron fékezési sugárzásának energiáját .

Megoldás. A mag által kibocsátott elektron hullámfüggvénye kifutó s-gömbhullám, a teljes áramsűrűséget 1-re normáljuk:

ψi=(1/√(4πv))(eipr/r)

[l. III. (33,14)]. Az elektron végállapotbeli (a fotonemisszió utáni) hullámfüggvényét síkhullámnak választjuk:

ψf=eip′r.

Az átmeneti mátrixelem

pfi=(pif)∗=(∫ψi∗pψfd3x)∗=(p′/√(4πv))∫e–ip′r+ipr(d3x/r)=√((4π/v))(p′/p′2–p2)=–√((π/v))(v′/ω)

[az integrált (57,6a) szerint számíthatjuk ki]. A sugárzás energiáját a (45,8) képletből kapjuk, azt d3p′∕(2π)3-nel szorozva és p′ iránya szerint integrálva (az utóbbi 4π szorzótényezőt jelent). A kisugárzott energia spektrális eloszlása

dEω=(2e2v′3/3πv) dω.

ω→0 esetén v′→v, és a fenti képlet a klasszikus eredmény nemrelativisztikus határesetével egyezik meg (l. a II. S.69. § feladatát). A teljes kisugárzott energia (a szokásos egységekben):

E=(4/15π)α((v/c))2ε,

ahol ε=mv2∕2 az elektron kezdeti energiája.

4. Határozzuk meg annak a fékezési sugárzásnak az energiáját, mely elektronnak végtelen magas „potenciálfalról” való visszaverődésekor keletkezik.

Megoldás. Az elekron mozgásának iránya legyen merőleges a falra. Bár a foton tetszőleges irányban emittálódhat, minthogy nemrelativisztikus esetben a foton impulzusa kicsi az elektronéhoz képest, feltehetjük, hogy a visszaverődött elektron mozgásiránya is merőleges a falra. Legyen a fal az x=0 síkban, az elektron az x>0 oldalon. Az egydimenziós mozgás stacionárius állapotának δ(p)-re (p=px), normált hullámfüggvénye állóhullám (l. III. 21. §):

ψi=√((2/π))sinpx, ψf=√((2/π))sinp′x.

A p=px operátor mátrixeleme:[327]

pfi=–(2i/π)∫0∞sinp′x(d/dx)sinpxdx=–(2ip/π)∫0∞sinp′xcospxdx=–(2i/π)(pp′/p2–p′2).

Az egyszeri visszaverődéskor kisugárzott energiát (45,8)-ból kapjuk, azt dp′=dω∕v′-vel szorozva és v∕2π-vel osztva (az utóbbi a fal felé futó hullám áramsűrűsége, ha a hullámfüggvény ψi):

10.96. egyenlet - (1)

dEω=4ω2e23m2|pfi|22πdωvv=83πe2vvdω.


Kis frekvenciáknál (ω≪ε=mv2∕2) v′≈v, és (90.4.3) a II. (69,5) klasszikus képletbe megy át (melyet szögek szerint kell integrálni, és amelyben v=Δv∕2, ahol Δv az elektron sebességváltozása visszaverődés esetén); ennek így is kell lennie, mivel a falról való visszaverődésre minden esetben teljesül a II. (69,1) feltétel, vagyis azütközési idő kicsi. Az (1) kvantummechanikai összefüggés segítségével kiszámíthatjuk a teljes kisugárzott energiát:

E=∫0ε(dEω/dω) dω=(16/9π)αε(v2/c2)

(a szokásos egységekben).



[319] Ebben a szakaszban a p=|p|, p′=|p′| jelöléseket használjuk.

[320] A levezetést illetően l. A. Nordsieck , Phys. Rev. 93, 785 (1954).

[321] A (90,15)(90,19) összefüggéseket a szokásos egységekben írtuk fel.

[322] A két részecskének egyetlen, redukált tömegű részecskével való helyettesítése csak nemrelativisztikus közelítésben megengedett.

[323] A v ütközési sebesség kielégíti az α≪(e2/ℏv)≪1 feltételt. A klasszikus esetet ((e2/ℏv)≫1) a II. 71. § feladatában vizsgáltuk.

[324] Ezt a képletet II. (71,5)-ből kapjuk, ugyanúgy, ahogyan II. (67,11)-et II. (67,8)-ból.

[325] E kifejezés a klasszikus D...ik=(4e3/m2)[6(xi/r3)pk+6(xk/r3)pi–9(xixk/r5)pr–(1/r3)δikpr]képlettel analóg, az utóbbit úgy kaphatjuk, hogy Dik-t differenciáljuk, és figyelembe vesszük az (m/2)r̈=(e2r/r3)klasszikus mozgásegyenletet.

[326] A levezetésre vonatkozóan l. B. K. Fegyusin, ZSETF 22, 140, 1952.

[327] Az ilyen alakú integrálokat úgy kell érteni, hogy az integrandust e–δx-szel szorozzuk, és integrálás után a δ→0 határesetet vizsgáljuk.