Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

89.§. A pozitrónium szétsugárzása

89.§. A pozitrónium szétsugárzása

A pozitróniumban levő elektron és pozitron szétsugárzásakor legalább két fotonnak kell keletkeznie az impulzusmegmaradás törvénye miatt. Ez a folyamat (alapállapotból) csak parapozitróniumnál mehet végbe. A   9. §-ban megmutattuk, hogy két fotonból álló rendszer teljes impulzusmomentuma nem lehet 1. Ezért a 3S1 állapotú ortopozitrónium nem bomolhat el két fotonra. A pozitrónium töltésparitása 3S1 állapotban negatív (l. a   27. § feladatát), ezért a Furry-tétel80. §) értelmében páros számú fotonra egyáltalán nem bomolhat. Ezzel szemben az 1S0 állapotban a töltésparitás pozitív, ezért a parapozitrónium páratlan számú fotonra nem bomolhat.

A pozitrónium élettartamát meghatározó alapvető folyamat tehát parapozitróniumnál a kétfotonos, ortopozitróniumnál a háromfotonos szétsugárzás (I. Ja. Pomerancsuk , 1948). A bomlás valószínűsége kapcsolatba hozható a szabad elektron–pozitron pár szétsugárzási hatáskeresztmetszetével.

Az elektron és pozitron impulzusa a pozitróniumban me2∕ℏ nagyságrendű, azaz mc-hez képest kicsi. Ezért a szétsugárzás valószínűségét olyan határesetben számíthatjuk, amikor a két részecske a koordináta-rendszer kezdőpontjában nyugalomban van. Legyen σ̄2γ a szabad pár kétfotonos szétsugárzásának hatáskeresztmetszete, átlagolva a két részecske spinjeinek irányaira. Nemrelativisztikus határesetben (88,11) szerint[317]

10.63. egyenlet - (89,1)

σ̄2γ=πe2mc22cv,


ahol v a részecskék relatív sebessége. A szétsugárzás w̄2γ, valószínűségétúgy kapjuk, hogy σ̄2γ-t a v|ψ(0)|2áramsűrűséggel szorozzuk. Itt ψ(r) a pozitrónium alapállapotának 1-re normált hullámfüggvénye,

10.64. egyenlet - (89,2)

ψ(r)=1πa3era,a=22me2


(a pozitrónium a Bohr-sugara a hidrogénatoménak kétszerese, mert a redukált tömeg kétszer kisebb). Így a kezdeti állapot spinjei szerint átlagolt valószínűséget kapjuk. A pozitróniumban azonban a kétrészecske-rendszer négy lehetséges spinállapota közül csak egyikből mehet végbe a kétfotonos szétsugárzás (amikor a teljes spin 0). Ezért a bomlás w̄2γátlagolt valószínűsége és a parapozitrónium w0 bomlási valószínűsége között a w̄2γ=w0∕4összefüggés áll fenn. Így

10.65. egyenlet - (89,3)

w0=4|ψ(0)|2(vσ̄2γ)v0.


Behelyettesítve a (89,1), (89,2) kifejezéseket, a parapozitróniumélettartamára a

10.66. egyenlet - (89,4)

τ0=2mc2α5=1,231010s


értéket kapjuk.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a Γ0=ℏ∕τ0 nívószélesség az

|Ealap|=(me4/4ℏ2)=mc2(α2/4)

energiához képest kicsi. Éppen ez az, amiért a pozitróniumot kvázistacionárius rendszerként vizsgálhatjuk.

Hasonló módon számíthatjuk ki az ortopozitrónium bomlási valószínűségét , ez a szabad elektron–pozitron pár háromfotonos szétsugárzásának spinre átlagolt hatáskeresztmetszetével a következő összefüggésben áll:

10.67. egyenlet - (89,5)

w1=43w̄3γ=43|ψ(0)|2(vσ̄3γ)v0


(3∕4 az 1 spinűállapot statisztikus súlya). A háromfotonos szétsugárzás hatáskeresztmetszete , mint később látni fogjuk,

10.68. egyenlet - (89,6)

σ̄3γ=4(π29)c3vαe2mc22.


Ezért az ortopozitróniumélettartama

10.69. egyenlet - (89,7)

τ1=9π2(π29)mc2α6=1,4107s.


A Γ1≪|Ealap| egyenlőtlenség most természetesen még inkább teljesül, mint a parapozitrónium esetében.

A következőkben a szabad pár háromfotonos szétsugárzásának hatáskeresztmetszetét számítjuk ki (A. Ore, J. L. Powell, 1949).[318]

Tömegközépponti rendszerben (65,18) szerint

10.70. egyenlet - (89,8)

dσ3γ=(2π)4|Mfi|24Iδ(k1+k2+k3)δ(ω1+ω2+ω32m)d3k1d3k2d3k3(2π)92ω12ω22ω3,


emellett (65,16) szerint I=2m⋅(m/2)v=m2v, ahol v a pozitron és elektron relatív sebessége (ez feltevés szerint kicsi); k1, k2, k3és ω1, ω2, ω3 a keletkező fotonok hullámszámvektorai és energiái; a δ-függvények az energia és impulzus megmaradását fejezik ki. Ezek szerint az ω1, ω2, ω3 frekvenciák egy 2m kerületű háromszög oldalai hosszainak tekinthetők. Más szavakkal kifejezve, két frekvencia a k1, k2, k3 impulzusok nagyságát és a közöttük levő szögeket teljesen meghatározza. A háromfotonos szétsugárzáshoz a

diagram tartozik, és még további öt, melyeket a fentiből a k1, k2, k3 fotonok felcserélésével kaphatunk. Az amplitúdót ezért az

10.71. egyenlet - (89,9)

Mfi=(4π)32eλ(3)eμ(2)eν(1)ū(p+)Qλμνu(p)


alakban írhatjuk fel, ahol

10.72. egyenlet - (89,10)

Qλμν=permutγλG(k3p+)γμG(pk1)γν,


az 1, 2, 3 fotonok összes permutációjára kell összegezni; egyidejűleg a megfelelőλμν tenzorindexeket is permutálni kell. Az amplitúdó abszolút értékének négyzete az elektron és pozitron polarizációja szerint átlagolva, a fotonokéraösszegezve:

10.73. egyenlet - (89,11)

14polar|Mfi|2=(4π)3 Sp{ϱ+QλμνϱQ̄λμν},


ahol

ϱ–=(1/2)(p̂–+m), ϱ+=(1/2)(p̂+–m).

A Q̄λμν mátrix Qλμν-től annyiban különbözik, hogy az összeg minden egyes tagjában fordított a tényezők sorrendje. A bennünket érdeklő határesetben, amikor az elektron és a pozitron sebessége kicsi, a p–, p+ hármasimpulzusokat nullának vehetjük, azaz írhatjuk, hogy p–=p+=(m,0). Ekkor az elektron Green-függvényei:

G(p––k1)=(p̂–k̂1+m/(p–k1)2–m2)≈(–k1+m(γ0+1)/–2mω1)

stb., a sűrűségmátrixok pedig

ϱ∓=(m/2)(γ0±1).

A szorzásokat elvégezve, (89,11)-ben igen sok tag lesz. A ténylegesen kiszámítandó tagok számát nagymértékben csökkenteni lehet, ha a fotonok felcserélésével szembeni invarianciát teljes mértékben kihasználjuk. Ekkor Qλμν(89,10) kifejezésének hat tagját elegendő Q̄λμν egy tetszőleges tagjával beszorozni. Az így maradó hat nyom között is találhatók olyanok, amelyek egymástól csak a fotonok felcserélésében különböznek. A nyom számítása során bejövő p, kl, k2, k3 négyesvektorok szorzatai mind kifejezhetők az ω1, ω2, ω3 frekvenciákkal. Mivel p=(m,0), így pk1=mω1,…. A k1k2,… szorzatok is meghatározhatók a négyesimpulzus megmaradást kifejező 2p=k1+k2+k3 egyenletből; az utóbbit a 2p–k3=k1+k2 alakban írva és négyzetre emelve, azt kapjuk, hogy

10.74. egyenlet - (89,12)

k1k2=2m(mω3),


Elég hosszú számítás a következő végeredményt adja:

(1/4)∑polar|Mfi|2=(4π)3e6⋅16[((m–ω1/ω2ω3))2+((m–ω2/ω1ω3))2+((m–ω3/ω1ω2))2].

Ezt (89,8)-ba helyettesítve, kapjuk a háromfotonos szétsugárzás differenciális hatáskeresztmetszetét :

10.75. egyenlet - (89,13)

dσ̄3γ=e6π2m2vmω1ω2ω32+mω2ω1ω32+mω3ω1ω22××δ(k1+k2+k3)δ(ω1+ω2+ω32m)d3k1d3k2d3k3ω1ω2ω3.(89,13)


Még a δ-függvényekkel kell egy kicsit foglalkoznunk. Az első a d3k3 szerinti integráláskor eltűnik, utána a

d3k1d3k2→4πω12dω1⋅2πω22d(cos12) dω2

helyettesítést végezzük, ahol 12 a k1 és k2 vektorok által bezárt szög; k1 iránya és k2-nek k1-hez viszonyított azimutszöge szerint már integráltunk. Az

ω3=√(ω12+ω22+ω1ω2cos12)

egyenlőséget differenciálva kapjuk, hogy

dcos12=(ω3/ω1ω2) dω3.

A dω3 szerinti integrálás eltünteti a második δ-függvényt. Így adódik az adott energiájú fotonokra való szétsugárzás differenciális hatáskeresztmetszetére a következő képlet:

10.76. egyenlet - (89,14)

dσ̄3γ=168e6vm2mω3ω1ω22+mω2ω1ω32+mω1ω2ω32dω1dω2


(mivel a továbbiakban a frekvenciák szerint kell integrálni, ezért beírtuk a fotonok azonosságát figyelembe vevő1∕6 tényezőt – vö. a VII. fejezet 5. lábjegyzetével).

Az ω1, ω2, ω3 frekvenciák a 0 és m közötti értékeket vehetik fel (közülük kettő m, ha a harmadik 0). Ha ω1 adott, akkor ω2 az m–ω1 és m között változhat. (89,14)-et dω2 szerint e határok között integrálva, a fotonok spektrális eloszlását kapjuk:

dσ̄3γ =(8e6/3vm2)F(ω1) dω1F(ω1) =(ω1(m–ω1)/(2m–ω1)2)+(2m–ω1/ω1)+[(2m(m–ω1)/ω12)–(2m(m–ω1)2/(2m–ω1)3)]ln(m–ω1/m).

16. ábra.

Az (Fω1) függvény ω1=0-nál 0, ω1=m-nél 1, közben monoton növekszik; a függvénygörbe a 16. ábrán látható.

A szétsugárzás teljes hatáskeresztmetszetét úgy kapjuk, hogy (89,14)-et mindkét frekvencia szerint integráljuk:

σ̄3γ=(4e6/3vm2)3∫0m∫m–ω1m((ω1+ω2–m)2/ω12ω22) dω1dω2.

Az itt szereplő integrál értéke (π2–9)∕3, így kapjuk a korábbi (89,6) képletet.



[317] A (89,1)…(89,7) képleteket a szokásos egységekben írtuk fel.

[318] A reakció egy másik csatornájának az e+γ→e+γ+γ kettős Compton-szórás felel meg [e folyamat hatáskeresztmetszetét illetően l. F. Mandl, T. H. R. Squirme, Proc. Roy. Soc. A215, 497 (1952)].