Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

88.§. Elektron–pozitron pár szétsugárzása két fotonra

88.§. Elektron–pozitron pár szétsugárzása két fotonra

Elektron és pozitron (négyesimpulzusok p–és p+) két fotonra (k1 és k2) való szétsugárzásának a következő két diagram felel meg:

10.47. egyenlet - (88,1)


Ezek a foton–elektron szórás diagramjaiból a

10.48. egyenlet - (88,2)

pp,pp+,kk1,kk2


helyettesítéssel kaphatók. A két folyamat ugyanazon (általánosított) reakciónak két keresztezett csatornája. A (86,2)-beli kinematikai invariánsok a (88,2) helyettesítés után:

10.49. egyenlet - (88,3)

s=(pk1)2,t=(p+p+)2=(k1+k2)2,u=(pk2)2.(88,3)


Ha a foton–elektron szórás az s-csatorna, akkor a szétsugárzás a t-csatorna.

A szétsugárzási szórásamplitúdó négyzetének, |Mfi|2-nek (az elektronok polarizációjára átlagolva, a fotonokéra összegezve) az s, u invariánsokkal kifejezett alakja megegyezik a foton–elektron szórás hasonló mennyiségével, csak az invariánsok jelentése más.[313] A hatáskeresztmetszet (65,23) kifejezésében az s↔t helyettesítést kell végezni, az I mennyiségre ekkor (65,15a)-ból I2=(1/4)t(t–4m2) adódik. Elvégezve (86,6)-ban a megfelelő változtatásokat, megkapjuk a szétsugárzás hatáskeresztmetszetét:

10.50. egyenlet - (88,4)

dσ=8πre2m2dst(t4m2)m2sm2+m2um22+m2sm2+m2um214sm2um2+um2sm2.(88,4)


A szétsugárzás fizikai tartománya a   68. §-beli 9. ábrán II-vel jelölt rész.Adott t (adott tömegközépponti rendszerbeli energia) mellett az s változó fizikai tartományát az su=m4 egyenlet határozza meg. Az s+t+u=2m2 összefüggéssel együtt ez azt adja, hogy

10.51. egyenlet - (88,5)

t212t(t4m2)sm2t2+12t(t4m2).


A (88,4) kifejezés integrálása elemi; az eredményt osztani kell kettővel, mivel a végállapotban levő részecskék (fotonok) azonosak. Így kapjuk, hogy

10.52. egyenlet - (88,6)

σ=2πre2τ2(τ4)(τ2+4τ8)lnτ+τ4ττ4(τ+4)τ(τ4),


ahol τ=t∕m2 (P. A. M. Dirac , 1930).

Nemrelativisztikus határesetben (τ→4)

10.53. egyenlet - (88,7)

σ=πre2τ4.


Ultrarelativisztikus esetben (τ→∞)

10.54. egyenlet - (88,8)

σ=2πre2τ(lnτ1).


Laboratóriumi rendszerben, melyben az egyik részecske (mondjuk az elektron) ütközés előtt nyugalomban van, a τ invariáns a következő alakban írható:

10.55. egyenlet - (88,9)

τ=2(1+γ),γ=𝜀+m.


A (88,6)…(88,8) képletek megadják a teljes hatáskeresztmetszetnek a berepülő pozitron energiájától való függését:

10.56. egyenlet - (88,10)

σ=πre2γ+1γ2+4γ+1γ21ln(γ+γ21)γ+3γ21.


Speciálisan, nemrelativisztikus határesetben[314]

10.57. egyenlet - (88,11)

σ=πre2v+(nemrelativisztikus)


ahol v+ a pozitron sebessége.

Tömegközépponti rendszerben az elektron, a pozitron és a két foton energiája azonos, ε=ω. Az invariánsok:

10.58. egyenlet - (88,12)

m2s=2𝜀(𝜀|p|cos𝜃),m2u=2𝜀(𝜀+|p|cos𝜃),t=4𝜀2,(88,12)


ahol az elektron és az egyik foton impulzusa által bezárt szög. (88,4)-be helyettesítve a szétsugárzási fotonok szögeloszlására azt kaptuk, hogy

10.59. egyenlet - (88,13)

dσ=re2m24𝜀|p|𝜀2+p2(1+ sin2𝜃)𝜀2p2 cos2𝜃2p4 sin4𝜃(𝜀2p2 cos2𝜃)2dΩ.


Ultrarelativisztikus esetben a szögeloszlásnak szimmetrikus maximuma van a =0és =π irányokban. =0 közelében

10.60. egyenlet - (88,14)

dσre2m2dΩ2𝜀2(𝜃2+m2𝜀2)(ultrarelativisztikus).


A teljes hatáskeresztmetszet (88,6)-ból

10.61. egyenlet - (88,15)

σ=πre21v24v3v4vln1+v1v2(2v2),


ahol v=|p|∕ε=√(ε2–m2)∕ε az ütköző részecskék sebessége.

Nem vizsgáljuk részletesen a szétsugárzásnál fellépő polarizációs effektusokat;[315] ezeknek néhány kvalitatív tulajdonságát tárgyaljuk két határesetben, mikor az ütköző részecskék v sebessége nagy, ill. kicsi. Tömegközépponti rendszerben dolgozunk.

A v→0 határesetben csak olyan állapotok adnak járulékot a hatáskeresztmetszethez, amelyekben a relatív mozgáshoz tartozó pálya-impulzusmomentum l=0. Az „elektron + pozitron” rendszer S-állapotainak paritása negatív (l. a   27. § feladatát). Negatív paritású állapotban a két foton polarizációja egymásra merőleges (  9. §). Következésképpen ez az állítás nemrelativisztikus esetben a szétsugárzásban keletkező két fotonra is igaz.

Ha az elektron és pozitron polarizált, akkor nemrelativisztikus esetben csak akkor sugárzódhatnak szét két fotonra, ha spinjeik antiparalel állásúak. Mivel a szétsugárzás S-állapotból történik, a rendszer teljes impulzusmomentuma a részecskék teljes spinjével egyezik meg, ami párhuzamos spinállás esetén 1. Két fotonból álló rendszernek viszont nincs olyan állapota, melyben a teljes impulzusmomentum 1 (  9. §).

Ultrarelativisztikus határesetben (v→1) longitudinálisan polarizált (határozott helicitású) elektron és pozitron csak abban az esetben sugárzódhat szét, ha helicitásaik előjele ellentétes.[316] E határesetben az adott helicitású részecskék úgy viselkednek, mint a neutrino (l. a   81. § végét), és ezért a szétsugárzó elektronnak és pozitronnak analógnak kell lennie a neutrinóval és antineutrinóval; ebből következik a fenti állítás.

Azonos helicitású elektron és pozitron szétsugárzása esetén ultrarelativisztikus esetben csak az m-et tartalmazó tagok adnak járulékot. E folyamat amplitúdója m∕ε-szor kisebb, mint a párhuzamos spinállású pár szétsugárzási amplitúdója; a hatáskeresztmetszet ennek megfelelően (m∕ε)2-szer kisebb.

Feladat

Határozzuk meg a γ+γ→e++e– folyamat hatáskeresztmetszetét (G. Breit , J. A. Wheeler , 1934)

Megoldás. Ez a folyamat az elektron-pozitron kétfotonos szétsugárzás inverz folyamata. Az amplitúdó négyzete a két folyamatban azonos, a hatáskeresztmetszetekben annyi a különbség, hogy most I2=(k1k2)2=t2∕4. Ezért

dσform=dσannih(t–4m2/t).

Tömegközépponti rendszerben (t=4ε2=4ω2)

dσform=v2dσannih,

ahol v az elektron (vagy pozitron) sebessége. A teljes hatáskeresztmetszet kiszámításakor figyelembe kell venni, hogy most a két végállapotbeli részecske nem azonos, ezért az eredményt nem kell osztani 2-vel, mint szétsugárzás esetén. így (tömegközépponti rendszerben)

10.62. egyenlet - (1)

σform=2v2σannih=πre22(1v2)(3v4)ln1+v1v2v(2v2).


Tetszőleges K vonatkoztatási rendszerben, melyben a két, k1 és k2 foton egymással szembe repül (k1k2 invarianciája miatt)

ω1ω2=ω2,

ahol ω a fotonok energiája tömegközépponti rendszerben. Mivel tömegközépponti rendszerben a fotonok és az elektron-pozitron pár tagjainak energiája egyenlő, ω=ε=m∕√(1–v2). Így a K rendszerbe való átmenetnél (1)-be a

v=√(1–(m2/ω1ω2))

kifejezést kell írni.



[313] Emellett még figyelembe kell venni, hogy a fotonnak és az elektronnak egyaránt két független polarizációs állapota van, ezért lényegtelen, hogy |Mfi|2-t melyik szerint átlagoljuk, és melyik szerint összegezzük.

[314] E képlet nem alkalmazható, ha v+≾α, és az elektron és pozitron közötti Coulomb-kölcsönhatás nem hanyagolható el (vö. a   92. § végével).

[315] Vö. L. A. Page, Phys. Rev. 106, 394 (1957); W. H. McMaster , Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).

[316] Mivel ugyanakkor impulzusaik iránya ellentétes (tömegközépponti rendszerben), ezért ellentétes előjelű helicitás párhuzamos spinállásnak felel meg.