Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

87.§. Foton szóródása elektronon. Polarizációs effektusok

87.§. Foton szóródása elektronon. Polarizációs effektusok

Visszatérünk az előző szakasz kiinduló képleteihez, és megmutatjuk, hogyan kell elvégezni a számításokat, ha a kezdeti és a végső elektronok és fotonok polarizáltak.

A foton polarizációs sűrűségmátrixa (8,17) szerint kifejezhető az e(1), e(2) négyes egységvektorok segítségével, amelyek kielégítik a (8,16) feltételeket. Esetünkben a két fotonhoz tartozó vektorokat azonosan választhatjuk meg; ezek a   71. §-ban bevezetett négyesvektorok:[306]

10.20. egyenlet - (87,1)

e(1)=NN2,e(2)=PP2,


ahol

10.21. egyenlet - (87,2)

Pλ=(pλ+pλ)KλpK+pKK2,Nλ=eλμνϱPμqνKϱ,Kλ=kλ+kλ,qλ=kλkλ=pλpλ.(87,2)


A (86,5)-beli Qμν-t a (86,4) képlet adja meg. Az u′Qμνu mennyiségek egy négyestenzor komponensei (abban az értelemben, hogy az u′Qμνu mennyiségek alkotnak négyestenzort). Ezek kifejezhetők négy, páronként ortogonális négyesvektor segítségével, az utóbbiak lehetnek az előbb definiált P, N, q, K. Mivel a ϱμν(γ)′ és ϱμν(γ) tenorok csak a P és az N vektorokat tartalmazzák, ezért Qμν-nek is csak a P és N vektorok szerinti komponenseire van szükségünk. Másképpen fogalmazva, elegendő a következő tagokat megtartani:

10.22. egyenlet - (87,3)

Qμν=Q0(eμ(1)eν(1)+eμ(2)eν(2))+Q1(eμ(1)eν(2)+eμ(2)eν(1))iQ2(eμ(1)eν(2)eμ(2)eν(1))+Q3(eμ(1)eν(1)eμ(2)eν(2));(87,3)


a többi a (86,5)-be való helyettesítéskor úgyis kiesik. Q0és Q3 skaláris mennyiségek – ugyanolyan értelemben, ahogy a Qμν négyestenzor; ezek a γ mátrixokat csak „invariáns” kombinációkban tartalmazzák: K̂ stb. Q1és Q2 pszeudoskalárok (N pszeudovektor!), ezért tartalmazniuk kell a γ5 mátrixot.

A Qμν tenzor közvetlen projekciójával kaphatjuk, hogy

Q0=(1/2)Qμν(eμ(1)eν(1)+eμ(2)eν(2))

stb. A számítás megkönnyítése érdekében célszerű a Qμν tenzort az egymásra ortogonális P, N, q, K négyesvektorokkal kifejezni:

Qμν=γμ((1/2)P̂+m/s–m2)γν+γν((1/2)P̂+m/u–m2)γμ–(1/t)(γμK̂γν–γνK̂γμ).

A továbbiakban tisztán algebrai átalakításokat kell végezni a   22. §-ban levezetett képletek segítségével. Ezenkívül végezhetünk Qμν-ben olyan helyettesítéseket, amelyek ū′Qμνu értékét nem befolyásolják. Mivel például

ū′(p̂+p̂′)u=2mū′u,
ū′γ5q̂u=ū′(γ5p̂+p̂′γ5)u=2mū′γ5u,

ezért ū′Qμνu nem változik, ha Qμν-ben a

10.23. egyenlet - (87,4)

p̂+p̂2m,γ5q̂2mγ5


átalakításokat végezzük.

A számítás részleteit elhagyva, megadjuk a végeredményt:[307]

10.24. egyenlet - (87,5)

Q0=ma+,Q1=i2a+γ5K̂,Q2=ma+γ5,Q3=ma++12aK̂,(87,5)


ahol

a±=(1/s–m2)±(1/u–m2).

A Qμν további számításaiban célszerű ugyanazt a formális eljárást alkalmazni, mint amit a   8. §-ban írtunk le a foton sűrűségmátrixával kapcsolatban: a (87,3) tenzornak az e(1) és e(2) bázisbeli négy komponensét egy 2×2-es Q mátrixban foglaljuk össze, amit a Pauli-mátrixok szerint kifejtünk. A (8,18) képlethez hasonló módon

10.25. egyenlet - (87,6)

Q=Q01+Qσ,Q=(Q1,Q2,Q3).


A (86,5)-ben fellépőQ̄μν=γ0Qμν+γ0 tenzor komponenseit illetően (87,3)-ból és (87,5)-ből [a (66,2a) szabályok segítségével] könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezeket Qμν komponenseiből a

10.26. egyenlet - (87,7)

Q̄0=Q0,Q̄1=Q1,Q̄2=Q2,Q̄3=Q3


helyettesítéssel és a μν indexek felcserélésével kaphatjuk.[308] Mátrix formában ez azt jelenti, hogy

10.27. egyenlet - (87,8)

Q̄=Q̄01+Q̄σ̃.


A következőkben pontosan megfogalmazzuk az e(1), e(2) négyesvektorok és a foton polarizációja közötti összefüggést. A független polarizációs irányokat az e(1), e(2) hármasvektorok (a foton k impulzusára nézve) transzverzális komponensei határozzák meg.[309] Könnyen látható, hogy mind tömegközépponti, mind laboratóriumi rendszerben (melyben a kezdeti elektron nyugalomban van) a P vektor a k, k′ síkban van, az N pedig erre merőleges. Ezért az e(1) irány a szórási síkra merőleges, az e(2) a szórási síkbeli polarizációt jelenti. Figyelembe kell még venni, hogy a ξ1, ξ2, ξ3 Stokes-paramétereket egy jobbsodrású xyz koordináta-rendszerben definiáltuk (a k vektor a z tengely irányába mutat). Ilyen koordináta-rendszert feszítenek ki az N, P⊥, k vektorok a kezdeti, az N, –P⊥′, k′ vektorok a végső fotonra vonatkozóan (P⊥, ill. P⊥′ a P-nek k-ra, ill. k′-re merőleges összetevői). e(2) előjelváltása a (8,17) sűrűségmátrixban ξ1 és ξ2 előjelváltásával ekvivalens.Ezért a kezdeti és a végső fotonnak az e(1), e(2) négyes egységvektorokra vonatkóztatott sűrűségmátrixa a következő alakú:

10.28. egyenlet - (87,9)

ϱ(γ)=12(1+ξσ),ξ=(ξ1,ξ2,ξ3);ϱ(γ)=12(1+ξσ),ξ=(ξ1,ξ2,ξ3).(87,9)


A

ϱλμ(γ)′Qμνϱνϱ(γ)Q̄̃ϱλ

tenzorspurt mint a (87,6)-(87,9) mátrixok szorzatának nyomát számíthatjuk. Felhasználva (33,5)-öt, a következő végeredményt kapjuk:

10.29. egyenlet - (87,10)

|Mfi|2=8π2e4 Sp(ϱ(e)Q0ϱ(e)Q̄0+ϱ(e)Qϱ(e)Q̄)++(ξ+ξ)(ϱ(e)Q0ϱ(e)Q̄+ϱ(e)Qϱ(e)Q̄0)i(ξξ)[ϱ(e)Qϱ(e)Q̄]++(ξξ)(ϱ(e)Q0ϱ(e)Q̄0ϱ(e)Qϱ(e)Q̄)++ϱ(e)(ξQ)ϱ(e)(ξQ̄)+ϱ(e)(ξQ)ϱ(e)(ξQ̄)i(ξ×ξ)(ϱ(e)Q0ϱ(e)Q̄ϱ(e)Qϱ(e)Q̄0).(87,10)


Szóródás polarizálatlan elektronokon

Kiszámítjuk polarizált fotonok polarizálatlan elektronokon történő szóródásának hatáskeresztmetszetét, a végállapotbeli elektron polarizációjára összegezünk. (87,10)-be beírjuk a

ϱ(e)=(1/2)(p̂+m), ϱ(e)′=(1/2)(p̂′+m)

sűrűségmátrixokat, majd az így kapott |Mfi|2 kétszeresét írjuk a hatáskeresztmetszetet megadó (65,22) képletbe:

dσ=(1/32π2)(dtdφ/(s–m2)2)|Mfi|2

φ az azimutszög tömegközépponti vagy laboratóriumi rendszerben ). (87,10) néhány tagja azonosan eltűnik (a 3. és 6. sor tagjai, valamint a 2. és 5. sor néhány tagja).A többi a következő végeredményhez vezet [a (86,15) jelöléseket használjuk]:

10.30. egyenlet - (87,11)

dσ=12dσ̄+2re2dydφx2(ξ3+ξ3)1x1y21x1y++ξ1ξ11x1y+12+ξ2ξ214xy+yx1+2x2y++ξ3ξ31x1y2+1x1y+12.(87,11)


dσ̄ a polarizálatlan fotonok (86,9) szóródási hatáskeresztmetszete; az 1∕2 tényező azért jelent meg, mert (87,11)-ben a végső foton polarizációjára nem összegeztünk.

Laboratóriumi rendszerben (87,11) alakja a következő:

10.31. egyenlet - (87,12)

dσ=re24ωω2dΩ{F0+F3(ξ3+ξ3)+F11ξ1ξ1+F22ξ2ξ2+F33ξ3ξ3},dΩ= sin𝜗d𝜗dφ,(87,12)


ahol

10.32. egyenlet - (87,13)

F0=ωω+ωω sin2𝜗,F3=sin2𝜗,F11=2cos𝜗,F22=ωω+ωωcos𝜗,F33=1+ cos2𝜗(87,13)


(U. Fano , 1949). Megjegyezzük, hogy a (87,12) kifejezés bár explicit módon nem tartalmazza a szórási síkbeli φ azimutszöget, implicit módon mégis függ tőle, mert a ξ1, ξ2, ξ3 paramétereket a szórási síkkal kapcsolatban levőxyz koordináta-rendszerben definiáltuk. Emlékeztetőül: az x tengely a két fotonra azonos és merőleges a szórási síkra:

x∥k×k′,

az y tengelyek pedig a szórási síkban fekszenek:

y∥k×(k×k′), y′∥k′×(k×k′).

Polarizált foton polarizálatlan elektronon történő szóródásának teljes hatáskeresztmetszetét (a végállapotbeli foton polarizációjára összegezve) úgy kapjuk, hogy a ξ′ előjelében különböző járulékokat összeadjuk (ξ′ helyébe zérust írunk, és kettővel szorozzuk). Jelöljük ezt dσ(ξ)-vel, ekkor

10.33. egyenlet - (87,14)

dσ(ξ)=12re2ωω2FdΩ,


ahol

10.34. egyenlet - (87,15)

F=F0+ξ3F3=ωω+ωω(1ξ3)sin2𝜗.


Látszik, hogy a szórás síkjára merőleges polarizációjú (ξ3=1) fotonok szóródási hatáskeresztmetszete nagyobb, mint a szórási síkban polarizáltaké (ξ3=–1). A cirkulációs polarizációtól a hatáskeresztmetszet nem függ. Nem függ továbbá a ξ1 paramétertől sem. Ezért a hatáskeresztmetszet a polarizálatlan fotonokéval egyezik meg, ha nincs x vagy y tengely menti lineáris polarizáció (ξ3=0), vagy ha a polarizáció tengelye az xés y tengelyekkel45∘-os szöget zár be.

Hasonló tulajdonságokat találunk abban az esetben, ha polarizálatlan fotonok szóródását mérjük, de a szórt foton polarizációját is észleljük. Ezt a hatáskeresztmetszetet [dσ(ξ′)-vel jelöljük] (87,12)-ből ξ=0 helyettesítéssel kapjuk:

10.35. egyenlet - (87,16)

dσ(ξ)=14re2ωω2FdΩ,F=F0+ξ3F3.


(87,12)-ből megkaphatjuk a másodlagos foton polarizációját is; ennek paramétereitξ(f)-fel jelöljük, megkülönböztetve a ξ′ detektált polarizációtól. A  66. §-ban megmutatott szabályok szerint a ξi(f)mennyiségek ξi′ együtthatóinak és a ξ′-t nem tartalmazó tagoknak hányadosai:

10.36. egyenlet - (87,17)

ξ1(f)=F11Fξ1,ξ2(f)=F22Fξ2,ξ3(f)=F3+F33ξ3F.


Polarizálatlan fotonok szóródása esetén

10.37. egyenlet - (87,18)

ξ1(f)=ξ2(f)=0,ξ3(f)=sin2𝜗ωω+ωω sin2𝜗.


Itt ξ3(f)>0, azaz a másodlagos foton a szórási síkra merőlegesen polarizált. Cirkuláris polarizációja csak akkor van, ha a kezdeti foton is cirkulárisan polarizált:ξ2(f)≠0, csak ha ξ2≠0.

Vizsgáljuk azt az esetet, mikor a bejövő foton lineárisan polarizált (ξ2=0, ξ12+ξ32=1), és határozzuk meg olyan szórás differenciális hatáskeresztmetszetét, amelynél a másodlagos foton lineáris polarizációját detektáljuk. Ha a ξi, ξi′ paramétereket kifejezzük a fotonok e és e′ polarizációs vektorainak komponenseivel, a szórási hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk:

10.38. egyenlet - (87,19)

dσ=re24ωω2ωω+ωω2+4cos2ΘdΩ,


ahol Θ a bejövőés szórt foton polarizációs vektorai által bezárt szög.[310]

A fenti képlet szerint a hatáskeresztmetszet lényegesen különböző abban a két esetben, amikor az e és e′ polarizációs vektorok merőlegesek egymásra, valamint amikor egy síkban fekszenek. E két esetet a ⊥és ∥ indexekkel jelöljük; nemrelativisztikus határesetben (ω≪m, ω′≈ω)

10.39. egyenlet - (87,20)

dσ=0,dσ=re2 cos2ΘdΩ,


a klasszikus képletnek megfelelően. Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben ω≫m,ω′≈m∕(1–cosϑ). Itt a kis és a nagy szögek tartományát (ω∕ω′ kicsi vagy nagy) külön kell választani:

10.40. egyenlet - (87,21)

dσ=dσ=14re2ωωdΩ=14re2mdΩω(1 cos𝜗),ha𝜗2mω;dσ=0,dσ=re2 cos2ΘdΩ,ha𝜗2mω.(87,21)


Látjuk, hogy nagyon kis szögeknél a hatáskeresztmetszet a klasszikussal megegyezik. A nem túl kis szögek esetén érvényes dσ⊥≈ dσ∥ egyenlőség azt jelenti, hogy ebben a tartományban ultrarelativisztikus esetben a szórt sugárzás polarizálatlan; hangsúlyozzuk azonban, hogy mindez lineárisan polarizált bejövő foton esetében igaz: (87,17)-ből látható, hogy cirkulárisan polarizált fotonra ultrarelativisztikus esetbenξ2(f)≈cosϑ⋅ξ2.

Szóródás polarizált elektronokon

Polarizált elektronok esetében (87,10) kiszámítása igen hosszadalmas, bár elvi nehézségbe nem ütközik. Itt most csak néhány eredményt írunk le.[311]

Általános esetben a hatáskeresztmetszet függ mind a kezdeti és a végső foton ξ és ξ′ polarizációs paramétereitől, mind a kezdeti és a végső elektron polarizációjától, amit a ζ és ζ′ vektorok jellemeznek. A hatáskeresztmetszet valamennyi paraméterben lineáris, alakja a következő:

10.41. egyenlet - (87,22)

dσ=12dσ(ξ,ξ)+re28ωω2dΩ{fζξ2+fζξ2+gζξ2+gζξ2+Gikζiζk+}.


Itt dσ(ξ,ξ′) a (87,12) hatáskeresztmetszet. Kiírtunk minden tagot, mely két polarizációs paraméter szorzatát tartalmazza. A három vagy négy paraméter szorzatát tartalmazó tagokat elhagytuk; ezek nem lényegesek, ha csak két részecske polarizációja közötti korrelációt vizsgáljuk: eltűnnek, ha a másik két részecske polarizációs paraméterei zérusok. Megadunk néhány együtthatót laboratóriumi rendszerben:

10.42. egyenlet - (87,23)

f=1m(1 cos𝜗)(kcos𝜗+k),f=1m(1 cos𝜗)(k+kcos𝜗),g=1m(1 cos𝜗)(kcos𝜗+k)(1+ cos𝜗)ω+ωωω+2m(kk),g=1m(1 cos𝜗)(k+kcos𝜗)(1+ cos𝜗)ω+ωωω+2m(kk).(87,23)


A hatáskeresztmetszet (87,22) kifejezésében nincs Gζ alakú tag; ez azt jelenti, hogy az elektron polarizációja nem befolyásolja a polarizálatlan fotonok teljes (ξ′és ζ′ szerint összegezett) szóródási hatáskeresztmetszetét. Ugyancsak nincs G′ζ′ alakú tag; ez azt jelenti, hogy polarizálatlan fotonok szóródásakor a visszalökött elektron nem polarizálódik.

Azt is láthatjuk, hogy az elektron és foton polarizációjában bilineáris tagokban csak a foton cirkuláris polarizációjára jellemző ξ2, ξ2′ paraméterek szerepelnek. Az elektronok ζ és ζ′ polarizációs vektorai fζ,… skalárszorzat alakjában jönnek be, az utóbbiak a vektoroknak csak a szórási síkra eső vetületeit tartalmazzák. Ezért például polarizált foton polarizált elektronon való szóródásának

10.43. egyenlet - (87,24)

dσ(ξ,ζ)=dσ(ξ)+12re2ωω2ξ2fζdΩ


hatáskeresztmetszete dσ(ξ)-től csak akkor különbözik, ha a foton cirkulárisan polarizált, az elektronspin átlagértékének a szórási síkra eső vetülete pedig zérustól különböző. Ugyanilyen oknál fogva a visszalökött elektron csak akkor polarizálódik, ha a foton cirkulárisan polarizált; az elektron polarizációs vektora ilyenkor a szórási síkban fekszik:

10.44. egyenlet - (87,25)

ζ(f)=1Fξ2g.


Szimmetria-összefüggések

Befejezésül megmutatjuk, hogy a foton-elektron szórásban fellépő polarizációs effektusok kvalitatív vonásai már általános szimmetriakövetelményekből adódnak.

A cirkuláris polarizáció ξ2 paramétere pszeudoskalár (l.  8. §). Ezért a P-invariancia miatt a szórási hatáskeresztmetszetben ξ2 (vagy ξ2′) csak valamilyen pszeudoskalár mennyiséggel szorozva léphet fel, az utóbbi a k és k′ vektorokból állhat elő.[312] Két poláris vektorból azonban pszeudoskalár nem képezhető. Következésképpen ilyen tag nem szerepelhet a hatáskeresztmetszetben.

A lineáris polarizáció ξ1, ξ3 paraméterei az

Sαβ=(1/2)(ϱαβ(γ)+ϱβα(γ))=(1/2)(1+ξ3ξ1 / ξ1 1–ξ3)

szimmetrikus, kétdimenziós (k-ra merőleges síkbeli) tenzor komponenseivel függnek össze. Az adott esetben a polarizációs tengelyek egyike a ν=k×k′ vektorral párhuzamos, a másik a k, k′ síkban fekszik (a k×ν vektorral párhuzamos az egyik, a k′×ν-vel a másik foton esetén). ξ1-gyel arányos tagok a hatáskeresztmetszetben csak az Sαβνα(k′×ν)β (vagy ami ugyanaz, Sαβναkβ′) stb. szorzat formájában léphetnek fel. De mivel ν axiális vektor, k poláris vektor, Sαβ pedig valódi tenzor, az ilyen szorzat tükrözéssel szemben nem invariáns. Ezért ξ1-gyel (vagy ξ1′-vel) arányos tagok sem lehetnek a hatáskeresztmetszetben. ξ3-mal (vagy ξ3′-vel) arányos tagok az Sαβνανβ stb. szorzat formájában léphetnek fel, ezt a szimmetriakövetelmények nem tiltják.

A paritásmegmaradás nem tiltja, hogy az elektron ζ polarizációs vektorával arányos tagok legyenek a hatáskeresztmetszetben: ilyet ad a két axiális vektor szorzata: ζν. A perturbációszámítás általunk vizsgált közelítésében ezek azonban nem jelenhetnek meg, ez annak következménye, hogy a szórásmátrixnak az adott közelítésben hermitikusnak kell lennie (  72. §).

A hermiticitás értelmében a szórásamplitúdó négyzete (és ezzel a hatáskeresztmetszet) nem változik, ha a kezdeti és végállapotot felcseréljük. Ugyanakkor a hatáskeresztmetszetnek invariánsnak kell lennie az időtükrözéssel szemben, amikor is a kezdeti és a végállapot felcserélésével egyidejűleg minden részecske impulzus- és impulzusmomentum-vektorának előjelét is megváltoztatjuk (a ξ1, ξ2, ξ3 Stokes-paraméterek e transzformáció során nem változnak – l.  8. §). E két követelményt együtt alkalmazva arra jutunk, hogy a hatáskeresztmetszet az adott közelítésben nem változik, ha minden impulzus és impulzusmomentum előjelét egyidejűleg megváltoztatjuk a kezdeti és a végállapot változtatása nélkül, azaz a

10.45. egyenlet - (87,26)

kk,kk,ζζ,ζζ


transzformációt végezzük, miközben a ξ, ξ paraméterek nem változnak.

A (87,26) átalakítás a ζν szorzat előjelét megváltoztatja, ezért ilyen tag a hatáskeresztmetszetben nem lehet. Hangsúlyozuk azonban, hogy ez nem egzakt szimmetriakövetelmény következménye, így a perturbációszámítás következő közelítésében sérülhet.

A tükrözési szimmetria a két foton polarizációja közötti korrelációt leíró tagok közül csak ξ1ξ3 és ξ2ξ3 alakúakat zárja ki, a foton és elektron polarizációja közötti korrelációs tagok közül pedig semmit. Első közelítésben azonban a (87,26) transzformációval szemben mutatott invariancia minden ξ1ξ2, ξ1ζ, ξ3ζ alakú tag megjelenését tiltja. A ξ1ξ2′ és ξ1ζ tagok (a paritásmegmaradás miatt) skalárként jöhetnének be, mint pl. ξ2′Sαβkα′νβ és (Sαβkα′νβ)(ζk); ezek a kifejezések azonban a (87,26) transzformáció során előjelet váltanak.

A megengedett ξ2ζ alakú korrelációs tagok ξ2(ζk) típusú szorzatként léphetnek fel. Ebben az elektron polarizációs vektorának csak a szórás síkjába eső vetülete szerepel.

Végül egész sor összefüggés adódik a megengedett tagok együtthatói között a keresztezési invariancia követelményéből. Azok a reakciócsatornák, amelyek egymástól csak a kezdeti és a végső foton felcserélésében különböznek, ugyanazt a folyamatot írják le – a foton-elektron szórást. A szórásamplitúdó abszolút értékének négyzete és ezzel együtt a hatáskeresztmetszet invariáns kell, hogy legyen az ilyen csatornák közötti átmenetnek megfelelő

k↔–k′, e↔e′∗

transzformációval szemben; az elektronok impulzusa és polarizációja változatlan. Háromdimenziós alakban e transzformáció az

10.46. egyenlet - (87,27)

ωω,kk,ξ1ξ1,ξ2ξ2,ξ3ξ3(87,27)


helyettesítésnek felel meg. Hogy a ξ2 paraméter előjelet vált, az a ξ2=i(e×e∗)n kifejezésből látható, az (e×e∗) vektor az e↔e∗ helyettesítés során előjelet vált, az n=k∕ω vektor a k↔–k, ω↔–ω helyettesítés esetén nem változik. A (87,27) transzformáció az elektronok impulzusát nem befolyásolva, a laboratóriumi rendszert sem változtatja meg. Ezért a (87,22) hatáskeresztmetszet a transzformáció során nem változhat; a (87,12), (87,22), (87,23) képletek ezt a feltételt valóban kielégítik.



[306] Egy másik lehetséges eljárás a következő: elejétől kezdve rögzített (pl. laboratóriumi) vonatkoztatási rendszerben dolgozunk; e(1) és e(2) a tisztán térszerű [e=(0,e)], a foton impulzusára merőleges egységvektorok: e(1)=(k×k′/|k×k′|), e(2)=(1/ω)k×e(1)a k impulzusú, e(1)=(k×k′/|k×k′|), e(2)=(1/ω′)k′×e(1)a k′ impulzusú fotonra. Így azonban az egész számítást háromdimenziós formában kell végezni, az eredményt nem kovariáns alakban kapjuk.

[307] (87,3) és (87,5) együtt az általános meggondolásokból levezetett (71,11)…(71,13) kifejezéseknek felel meg. A T-invarianciából következik, hogy f3=f6=0, ezenkívül most még egy amplitúdó (f2) eltűnik. Ez a perturbációszámítás vizsgált közelítésének tulajdonsága, és a magasabb közelítésekben már nem jelentkezik.

[308] A Qμν mátrix eredeti (86,4) formájában fennáll az egyszerű Q̄μν=Qνμ összefüggés. Ez a tulajdonság azonban bizonyos átalakítások során, mint amilyen a (87,4) típusú helyesbítés is, elvész.

[309] Az e vektor longitudinális komponense (csakúgy, mint az e négyesvektor időszerű komponense) figyelmen kívül hagyható: ez a mértékinvariancia következménye.

[310] A (87,19) képletet egyszerűbben megkaphatjuk, ha a szórási amplitúdó (86,3) kifejezésébe az e=(0,e), e′=(0,e′) négyesvektorokat írjuk, és a további számításokat háromdimenziós alakban végezzük (ti. szétválasztva a négyesvektorok időszerű és térszerű komponenseit). Átlagolva a cos2Θ=(ee′)2 kifejezést e és e′ iránya szerint [(45,4a) segítségével] és a hatáskeresztmetszetet kettővel szorozva (e′ szerint összegezve), (86,9)-et kapjuk vissza.

[311] A részletes eredmények az eredeti cikkekben megtalálhatók: F. Lipps, H. A. Tolhoek, Physica 20, 85, 395 (1954). Összefoglaló cikkek: H. A. Tolhoek , Rev. Mod. Phys. 28, 277 (1956); W. H. McMaster , Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).

[312] A folyamatot a laboratóriumi rendszerben vizsgáljuk, ahol p=0, p′=k–k′. Nyilvánvaló, hogy a szimmetriakövetelmények bennünket érdeklő következményei (az, hogy ilyen vagy olyan tag a hatáskeresztmetszetben fellép-e vagy sem) függetlenek a vonatkoztatási rendszer megválasztásától.