Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

10. fejezet - X. fejezet ELEKTRONOK KÖLCSÖNHATÁSA FOTONOKKAL

10. fejezet - X. fejezet ELEKTRONOK KÖLCSÖNHATÁSA FOTONOKKAL

86.§. Foton szóródása elektronon

Fotonnak szabad elektronon történő szóródása (Compton-effektus ) során a négyesimpulzus megmaradását a

10.1. egyenlet - (86,1)

p+k=pk,


egyenlőség fejezi ki, ahol pés k az elektron és foton ütközés előtti, p′és k′ az ütközés utáni négyesimpulzusai. A  67. §-ban bevezetett kinematikai invariánsok a következők:

10.2. egyenlet - (86,2)

s=(p+k)2=(p+k)2=m2+2pk=m2+2pk,t=(pp)2=(kk)2=2(m2pp)=2kk,u=(pk)2=(pk)2=m22pk=m22pk,s+t+u=2m2.(86,2)


A folyamatot a (75,14) Feynman-diagramok írják le, az amplitúdó

10.3. egyenlet - (86,3)

Mfi=4πe2eμeν(ūQμνu),


ahol

10.4. egyenlet - (86,4)

Qμν=1sm2γμ(p̂+k̂+m)γν+1um2γν(p̂k̂+m)γμ


Itt e, e′ a kezdeti és a végső foton polarizációs négyesvektorai ; u, u′ a kezdetiés a végső elektron bispinor amplitúdói.

A   66. §-ban tárgyalt szabályok szerint a részecskék tetszőleges polarizációs állapotára:

10.5. egyenlet - (86,5)

|Mfi|216π2e4 Sp{ϱ(e)ϱλμ(γ)Qμνϱ(e)ϱνσ(γ)Q̄λσ}.


Itt ϱ(e), ϱ(e)′ a kezdeti és végső elektron sűrűségmátrixa, ϱ(γ), ϱ(γ)′ ugyanaz a fotonokra; a fotonra vonatkozó (tenzor-) indexeket explicit módon kiírtuk, az elektronra vonatkozó (bispinor) indexeket nem; á nyom képzése éppen az utóbbiak szerinti. Ezekre vonatkozik a + jel is a Qμν=γ0Qμν+γ0 definícióban.

Polarizálatlan foton polarizálatlan elektronon való szóródását vizsgáljuk, az ütközés utáni polarizációra sem vagyunk kíváncsiak. A polarizációra a

ϱλμ(γ)=ϱλμ(γ)′=–(1/2)gλμ, ϱ(e)=(1/2)(p̂+m), ϱ(e)′=(1/2)(p̂′+m)

sűrűségmátrixok segítségével átlagolhatunk, a végállapotbeli részecskék polarizációjára való összegezés egy további 2⋅2=4 szorzótényezőt jelent.

A (65,23) képlet szerint [amelyben most I2=(1/4)(s–m2)2 – l. (65,15a)] a hatáskeresztmetszet :

dσ=(πe4/4)(dt/(s–m2)2)Sp{(p̂′+m)Qλμ(p̂+m)Q̄λμ}.

A (66,2a) összefüggéseket felhasználva megállapíthatjuk, hogy Q̄μλ=Qλμ. Szétválasztva azokat a tagokat, amelyek a k↔–k′ (ennek megfelelően s↔u) helyettesítéskor egymásba mennek át, a hatáskeresztmetszetet a

dσ=dt(πe4/(s–m2)2)[f(s,u)+g(s,u)+f(u,s)+g(u,s)].

alakban írhatjuk, ahol

f(s,u)=(1/4(s–m2)2)Sp{(p̂′+m)γμ(p̂+k̂+m)γν(p̂+m)γν(p̂+k̂+m)γμ},
g(s,u) =(1/4(s–m2)(u–m2))× ×Sp{(p̂′+m)γμ(p̂+k̂+m)γν(p̂+m)γμ(p̂–k̂′+m)γν},

(e jelölésekkel kapcsolatban már előrevetítjük, hogy az eredmény csak az invariáns mennyiségektől függ).

A μ, ν indexekre a (22,6) képletek segítségével összegezhetünk, a páratlan számú γ mátrixot tartalmazó tagokat elhagyva, a következő eredményt kapjuk:

f(s,u)=(1/(s–m2)2)Sp{p̂′(p̂+k̂)p̂(p̂+k̂)+4m2(p̂+k̂)(k̂–p̂′)+m2p̂p̂′+4m4}.

A nyomképzést a (22,13) képletek segítségével végezzük és minden mennyiséget az s, u invariánsokkal kifejezve, egyszerű átalakítások után adódik, hogy

f(s,u)=(2/(s–m2)2){4m4–(s–m2)(u–m2)+2m2(s–m2)}.

Hasonló módon számíthatjuk g-t:

g(s,u)=(2m2/(s–m2)(u–m2)){4m2+(s–m2)+(u–m2)}.

Végeredményben a hatáskeresztmetszet ,

10.6. egyenlet - (86,6)

dσ=8πre2m2dt(sm2)2m2sm2+m2um22++m2sm2+m2um214sm2um2+um2sm2,(86,6)


ahol re=e2∕m. A hatáskeresztmetszetet most az invariáns mennyiségekkel fejezzük ki. Ebből könnyen megadható tetszőleges konkrét koordináta-rendszerbeli ütközési paraméterekkel kifejezett alakja.

A laboratóriumi rendszerben , amelyben az elektron az ütközés előtt nyugalomban van: p=(m,0). Itt

10.7. egyenlet - (86,7)

sm2=2mω,um2=2mω.


A négyesimpulzus-megmaradást p+k–k′=p′ alakban írjuk, és az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük. Azt kapjuk, hogy

pk–pk′–kk′=0,

amiből (laboratóriumi rendszerben)

m(ω–ω′)–ωω′(1–cosϑ)=0,

ahol ϑ a foton szóródási szöge. Ez az egyenlőség szabja meg a foton energiaváltozása és a szóródási szög közötti kapcsolatot:

10.8. egyenlet - (86,8)

1ω1ω=1m(1 cos𝜗).


A t invariáns mennyiség kifejezése e rendszerben:

t=–2kk′=2ωω′(1–cosϑ).

Adott ω energia mellett [(86,8)-at felhasználva]:

dt=2ω′2dcosϑ=(1/π)ω′2dΩ′ ( dΩ′=2πsinϑdϑ).

A felírt kifejezéseket (86,6)-ba helyettesítve, a szórási hatáskeresztmetszetre laboratóriumi rendszerben a következő kifejezést kapjuk:

10.9. egyenlet - (86,9)

dσ=re22ωω2ωω+ωω sin2𝜗dΩ


(O. Klein , Y. Nishina , 1929; I. E. Tamm , 1930).

Mivel a ϑ szög (86,8) szerint egyértelműen kifejezhető ω′-vel, a hatáskeresztmetszetet kifejezhetjük a szórt foton ω′ energiájával:

10.10. egyenlet - (86,10)

dσ=πre2mdωω2ωω+ωω+mωmω22m1ω1ω


ω′ lehetséges értékei:

10.11. egyenlet - (86,11)

ω1+2ωmωω.


Ha ω≪m, akkor (86,9)-ben ω′≈ω írható, és amint az várható, a klasszikus, nemrelativisztikus Thomson-képletet kapjuk:

10.12. egyenlet - (86,12)

dσ=12re2(1+ cos2𝜗)dΩ


[l. II. (78,7)].

A teljes hatáskeresztmetszetet(86,6)-ból számítjuk ki. A benne szereplő s, t, u invariánsok értelmezési tartományát az

10.13. egyenlet - (86,13)

sm2,t0,usm4


egyenlőtlenségek szabják meg. Ezt már a  68. §-ban láttuk (az ehhez tartozó fizikai tartomány a 9. ábránI-gyel jelölt rész). Közvetlenül is meggyőződhetünk róla, ha az invariánsokat a tömegközépponti rendszerben írjuk fel. Itt p+k=0, az elektron εés a foton ω energiája között az ε=√(ω2+m2)összefüggés áll fenn. Az invariánsok:

10.14. egyenlet - (86,14)

s=(𝜀+ω)2=m2+2ω(ω+𝜀),u=m22ω(𝜀+ωcos𝜃),t=2ω2(1cos𝜃),(86,14)


ahol a szórásszög (pés p′ vagy kés k′által bezárt szög). A (86,13) egyenlőtlenségek az ω≥0, –1≤cos≤1 feltételekből nyerhetők.

Adott s (azaz adott részecskeenergia) mellett t helyett u=2m2–s–t szerint integrálhatunk az

(m4/s)≤u≤2m2–s

intervallumban.

s és u helyett az

10.15. egyenlet - (86,15)

x=sm2m2,y=m2um2


változókat bevezetve kapjuk, hogy

σ=(8πre2/x2)∫x∕(x+1)x[((1/x)–(1/y))2+(1/x)–(1/y)+(1/4)((x/y)+(y/x))] dy,

majd elemi integrálás után:

10.16. egyenlet - (86,16)

σ=2πre21x14x8x2 ln(1+x)+12+8x12(1+x)2.


Ha x≪1 (nemrelativisztikus eset), a sorfejtés első tagjai azt adják, hogy

10.17. egyenlet - (86,17)

σ=8πre23(1x).


Az első tag a klasszikus Thomson-hatáskeresztmetszet. Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben x≫1, és (86,16) sorfejtése a

10.18. egyenlet - (86,18)

σ=2πre21xlnx+12


eredményt adja.

Laboratóriumi rendszerben

10.19. egyenlet - (86,19)

x=2ωm,


így a (86,16)(86,18) képletek közvetlenül megadják, hogyan függ a nyugvó elektronon való szóródás hatáskeresztmetszete a foton energiájától. A 15. ábránσ-tábrázoltuk ω∕m függvényében.

15. ábra.

Ultrarelativisztikus esetben a hatáskeresztmetszet az energia növekedtével mind laboratóriumi (σ∝ω–1lnω), mind tömegközépponti (x≈4ω2∕m2, σ∝ω–2lnω) rendszerben csökken. A szögeloszlás ultrarelativisztikus esetben a két vonatkoztatási rendszerben egészen különböző.

Laboratóriumi rendszerben a differenciális hatáskeresztmetszetnek előreszórásnál éles maximuma van. A szűk ϑ≾√(m∕ω) térszögben ω′∼ω, és dσ∕ dΩ′∼re2 (az re2 értéket ϑ→0 esetén éri el). E kúpon kívül a hatáskeresztmetszet csökken, és a ϑ2≫m∕ω tartományban [ahol ω′≈m∕(1–cosϑ)]:

(dσ/dΩ′)=(re2/2)(m/ω(1–cosϑ)),

azaz ω∕m-szer kisebbé válik.

Tömegközépponti rendszerben a differenciális hatáskeresztmetszetnek hátraszórásnál van maximuma. π–ϑ≪1 esetén (86,14)-ből

(s–m2/m2)≈(4ω2/m2), (m2–u/m2)≈1+(ω2/m2)(π–)2.

(86,6) legnagyobb tagja

dσ≈8πre2(m2dt/4(s–m2)(m2–u)),

amiből

dσ=(re2/2)(dΩ′/1+(π–)2ω2∕m2).

A szűk π–ϑ≾m∕ω nyílásszögű kúpon belül dσ∕ dΩ′∼re2, ezen kívül ∼ω2∕m2-szer kisebb ennél.