Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

85.§. Nagy távolságban levő atomok kölcsönhatása

85.§. Nagy távolságban levő atomok kölcsönhatása

Két semleges, egymástól (az atomi méretekhez képest) nagy r távolságra levő atom között vonzóerő hat. Az erre vonatkozó szokásos kvantummechanikai számítás (l. III. 89. §) túl nagy távolságok esetén nem alkalmazható. A helyzet az, hogy a számítás során csak az elektrosztatikus kölcsönhatást vizsgálják, a retardálást nem veszik figyelembe. Az utóbbinak elhanyagolása csak addig jogos, amíg az r távolság a kölcsönható atomok spektrumában levő λ0 karakterisztikus hullámhosszhoz képest kicsi. A most következő számítások során ilyen kikötést nem teszünk.

Körülbelül ugyanúgy járunk el, mint a   83. §-ban, tehát két különböző atom rugalmas (a belső állapot nem változik) szóródási amplitúdóját számítjuk az első nem eltűnő közelítésben. A kapott kifejezést összevetjük azzal az amplitúdóval, amelyet akkor kapnánk, ha a két atom kölcsönhatását valamilyen U(r) potenciális energiával írnánk le.

Az utóbbi esetben az S-mátrixnak az adott folyamatot leíró első nem eltűnő elemét az

9.101. egyenlet - (85,1)

Sfi=iψ1(r1)ψ2(r2)U(r)ψ1(r1)ψ2(r2)d3xd3x2××exp{i(𝜀1+𝜀2𝜀1𝜀2)t}dt(85,1)


közelítés adja. Itt ψ1, ψ2, ill. ψ1′, ψ2′ a két atom haladó mozgását leíró hullámfüggvények (síkhullámok) időtől független része a kezdeti, ill. a végállapotban; εS1, ε2, ill. ε1′, ε2′ a megfelelő kinetikus energiák; az atomok egészének r1és r2 koordinátáit a magkoordinátáknak lehet tekinteni,r=|r1–r2|. Az idő szerinti integrál (85,1)-ben a szokásos, az energiamegmaradást kifejező, δ-függvényt adja. Az összehasonlításkor kényelmes azt a határesetet vizsgálni, amelyben az atomok tömege végtelen nagy; adott impulzus mellett az ε energia ekkor nulla. Másképpen azt is mondhatjuk, hogy a vizsgált időtartam1∕ε-hoz képest kicsi. (85,1) ekkor az

9.102. egyenlet - (85,2)

Sfi=itψ1ψ2U(r)ψ1ψ2d3x1d3x2


alakot veszi fel, ahol t az idő szerinti integrálás tartománya.

A rugalmas szórás amplitúdóját a megadott feltevések mellett két lépésben számíthatjuk ki. Először az S-operátor mátrixelemét számítjuk ki a két atom alapállapotának hullámfüggvényeivel (a magok koordinátái r1 és r2 adottak) foton-vákuumállapotok között – a folyamat elején és végén fotonok nincsenek. Eredményként egy, a magok egymástól való távolságától függő függvényt kapunk; jelöljük ezt ⟨S(r)⟩-rel.[298] Hogy a keresett átmeneti mátrixelemet megkapjuk, ezután az

9.103. egyenlet - (85,3)

Sfi=ψ1ψ2S(r)ψ1ψ2d3x1d3x2


integrált kell kiszámítanunk. (85,2)-vel összehasonlítva láthatjuk, hogy ha az ⟨S(r)⟩ kifejezést az

⟨S(r)⟩=–itU(r)

alakban tudjuk felírni, akkor U(r) az atomok keresett kölcsönhatási energiája.

Mivel az adott esetben nem elemi részecskék, hanem összetett rendszerek (atomok, melyek a közbenső állapotban gerjesztettek is lehetnek) ütközéséről van szó, a formális gráfszabályok közvetlenül nem alkalmazhatók, ezért az S-operátor eredeti, sorfejtett (73,10) alakjából indulunk ki.

Atomok kölcsönhatása esetén a térnek azok a komponensei lényegesek, amelyeknek frekvenciája az atomi nagyságrendbe esik (vagy annál kisebb). A megfelelő hullámhosszak az atomi méretekhez képest nagyok. Ezért az elektromágneses kölcsönhatás operátora a

9.104. egyenlet - (85,4)

V=E(r1)d1E(r2)d2


alakban írható, ahol d1és d2 az atomok dipólusmomentumainak operátorai (időtől függő Heisenberg-operátorok ), E(r) pedig az elektromos tér operátora, melynek argumentumában a megfelelő atom koordinátája áll.

Ismeretes, hogy az atom dipólusmomentumának várható értéke stacionárius állapotban nulla (l. III. 75. §). Így a szórásamplitúdó csak a perturbációszámítás negyedik közelítésében különbözik nullától, ez az

9.105. egyenlet - (85,5)

S(4)=(i)44!dt1dt4T{V(t1)V(t2)V(t3)V(t4)}


operátor mátrixeleme. Valóban, alacsonyabb rendekben a V operátorok szorzátának minden tagja a d1 vagy a d2 operátorban lineáris lenne, és a megfelelő atom alapállapotában várhatóértéke eltűnne.

Képezzük a (85,5) operátor várható értékét a foton–vákuum állapotok között. A Wick-tétel szerint a négy E téroperátor szorzatának várható értéke a lehetséges párosítások várható értékei szorzatának összege. Háromféle párosítás lehetséges, ezeket a következő diagramok szemléltetik:

9.106. egyenlet - (85,6)


a párokat a szaggatott vonalak kötik össze, a számjegyek a t1, t2, t3, t4 argumentumokat jelentik. Ezenkívül az egyes pontok térbeli koordinátája r1 vagy r2 (kettőé r1, kettőé r2; ellenkező esetben az összeg valamelyik tagja d1-ben vagy d2-ben lineáris, és a megfelelő atom alapállapotában a várható érték eltűnne). Nyilvánvaló, hogy a szaggatott vonalak két végéhez tartozó koordináták különbözőek, r1 és r2. Az ellenkező esetben a diagram (ti. a megfelelő tag a mátrixelemben) két, egymástól független, r1-től, ill. r2-től függő függvény szorzata, ahelyett, hogy az r1–r2 különbség függvénye lenne; ezek a tagok nincsenek kapcsolatban a szórással.[299] A feltételeknek megfelelően az r1 és r2 koordinátákat a diagram négy pontjában négy különböző módon lehet elhelyezni. Tekintetbe véve, hogy a d1 és d2 operátorok egymással felcserélhetők, és átlagolva az egyes atomok állapotaira, azt találjuk, hogy a kapott 3⋅4=12 tag azonos (csak az integrációs változók jelölése különböző). Az eredmény:

9.107. egyenlet - (85,7)

S(r)=12dt1dt4T(Ei(r1,t1)Ek(r2,t2))××T(El(r2,t3)Em(r1,t4))T(d1i(t1)d1m(t4))T(d2k(t2)d2l(t3)),(85,7)


ahol i, k háromdimenziós vektorindexek.

A

9.108. egyenlet - (85,8)

DikE(x1x2)=T(Ei(x1)Ek(x2))


mennyiségek kiszámításához olyan mértéket választunk, amelyben a skalárpotenciál Φ=0. Ekkor E=∂A∕∂tés

DikE(x1–x2)=(∂2/∂t1∂t2)⟨T(Ai(x1)Ak(x2))⟩=i(∂2/∂t2)Dik(x),

ahol x=x1–x2, Dik(x) pedig a fotonpropagátor az adott mértékben.[300] Ezért

9.109. egyenlet - (85,9)

DikE(x)=iω2Dik(k)eikxd4k(2π)4,


ahol Dik(k) a fotonpropagátor impulzusreprezentációban; (77,14) szerint

9.110. egyenlet - (85,10)

Dik(k)=4πω2k2+i0δikkikkω2.


Az

9.111. egyenlet - (85,11)

αik(t1t2)=iT(di(t1)dk(t2))


mennyiségeket Fourier-integrálkéntállítjuk elő:

αik(t)=∫–∞∞e–iωtαik(ω)(dω/2π).

Legyen, a kényelem kedvéért, t2=0, t1=t; a T-szorzat definíciója szerint

9.112. egyenlet - (85,12)

αik(ω)=eiωtαik(t)dt=i0eiωtdk(0),di(t)dt+i0eiωtdi(t),dk(0)dt.


Az itt fellépő (az atomok alapállapotában képzett) várhatóértékek kifejezhetők a dipólusmomentum mátrixelemeivel:

⟨dk(0),di(t)⟩ =∑n(dk)0n(di)n0eiωn0t, ⟨di(t),dk(0)⟩ =∑n(di)0n(dk)n0e–iωn0t.

Behelyettesítve e kifejezéseket (85,12)-be és elvégezve az integrálást, azt kapjuk, hogy[301]

9.113. egyenlet - (85,13)

αik(ω)=n(di)0n(dk)n0ωn0ω+(dk)0n(di)n0ωn0+ω.


Ha az atom alapállapota S-állapot, akkor αik(ω)=α(ω)δik. Ha az atomnak impulzusmomentuma van, akkor ugyanezt az eredményt kapjuk az impulzusmomentum irányára való átlagolás után, ezt mindig elvégezzük (olyan atomok kölcsönhatását vizsgáljuk, amelyeknek kölcsönös orientációjára átlagolunk). (85,13)-ból látható, hogy

α(–ω)=α(ω).

Az α(ω) mennyiség (ω>0-nál) nem más, mint az atom polarizálhatósága [vö. (60,17)].

A kapott kifejezéseket (85,7)-be helyettesítve,[302]

⟨S(r)⟩ =(1/2)∫ dt1… dt4⋅(dΩ1/2π)(dΩ2/2π)(d4k1/(2π)4)(d4k2/(2π)4)α1(Ω1)α2(Ω2)× ×ω12Dik(k1)ω22Dik(k2)× ×exp{i(k1–k2)(r1–r2)–iω1(t1–t2)–iω2(t3–t4)–iΩ1(t1–t4)–iΩ2(t2–t3)}.

Három időváltozó szerinti integrálás δ-függvényt ad (amely szerint –Ω1=Ω2=ω2=ω1=ω), a negyedik adja a t szorzótényezőt:

⟨S(r)⟩=–itU(|r1–r2|),

ahol

U(r) =(i/2(2π)7)∫ d3k1d3k2dω⋅ω4α1(ω)α2(ω)Dik(k1,ω)Dik(k2,ω)× ×exp{ir(k1–k2)},

vagy (85,10)-zel

9.114. egyenlet - (85,14)

U(r)=i16π5d3k1d3k2dωα1(ω)α2(ω)3ω4ω2(k12+k22)+(k1k2)2(ω2k12+i0)(ω2k22+i0)eir(k1k2).


Ez a képlet megadja két, az atomi a mérethez képest nagy, egyébként tetszőleges távolságban levő atom kölcsönhatási energiáját. Az integrál a két határesetben, „kis” (a≪r≪λ0) és „nagy” (r≫λ0) távolságokra explicit alakban kiszámítható.

Adott r távolság mellett az integrálban a hullámszámvektoroknak azok az értékei lényegesek, amelyekre |k|∼1∕r. Ha r≪λ0, akkor |k|≫ω0 (ω0 az atomi frekvencia), és (85,14) integrandusában az ω2-es tagok mindenütt [az α(ω) függvény kivételével] elhanyagolhatóak a k2-es tagok mellett. Ezt figyelembe véve, nem nehéz a szokásos London-képlethez eljutni (III. 89. §).

Vizsgáljuk most a másik esetet, mikor r≫λ0. Mindenekelőtt a dω szerinti integrálást végezzük el (85,14)-ben. A komplex ω sík felső félsíkjában zárjuk az integrációs görbét, így a reziduumtétel segítségével az integrált könnyen kiszámíthatjuk. Elegendő figyelembe venni a nevezőnek azokat a zérushelyeit, amelyeknél

ω∼|k|∼(1/r)≪ω0;

az α(ω) függvény pólusai az ω∼ω0 helyen vannak, így most nem lényegesek. Elvégezve így a dω szerinti integrálást, majd a k1, k2 integrációs változókat a q=k1–k2, k≡k2 változókkal helyettesítve, U(r)-et Fourier-integrálként állíthatjuk elő:

9.115. egyenlet - (85,15)

U(r)=U(q)eiqrd3q(2π)3,


ahol

9.116. egyenlet - (85,16)

U(q)=α1(0)α2(0)2πd3kkk1(kk1)2kk1(2k12+2k2+3kk1)k+k1


(itt és a továbbiakban k1=k+q, k1=|k1|, k=|k|). Az α1(ω), α2(ω) függvények argumentumában a kicsiny ω∼k (ω≪ω0) értékeket zérussal helyettesítettük, azaz a függvények helyébe az atomok sztatikus polarizálhatóságátírtuk.

A (85,16) integrál k→∞ esetén divergál, ami azzal függ össze, hogy az általunk használt dipólusközelítés k≿1∕a esetén nem alkalmazható. E divergencia azonban nem lényeges. A helyzet az, hogy U(r) aszimptotikus viselkedését r→∞ esetén U(q)-nak azok a tagjai határozzák meg, amelyeknek q=0-nál szingularitásuk van; ezek a szinguláris tagok U(r)-ben (1∕r szerinti hatvány) járulékot adnak. U(q) szinguláris részét viszont, mint azt látjuk, a (85,16) integrál konvergens része határozza meg.

(85,16)-ban d3k helyett 2πk2dkdcos-t írunk ( a k és q vektorok által bezárt szög), dcos pedig,

dcos=(k1dk1/qk),

ahol

k1=√(k2+q2+2kqcos), kk1=(1/2)(k12+k2–q2).

Így (85,16)-ban a

(d3k/kk1)→(2π/q) dkdk1

helyettesítést végezhetjük, a dk1 szerinti integrálás határai |k–q|és k+q. Az integrandus kifejezéséből arra következtethetünk, hogy szingularitás csak a nevező miatt léphet fel. Mivel bennünket csak a szinguláris tagok érdekelnek, ezért elvégezhetjük a következő egyszerűsítést. A számlálót k+k1 hatványai szerint sorba fejtjük, és csak a nulladik tagot tartjuk meg (másképp kifejezve, a számlálóban a k=–k1 helyettesítést végezzük el). Így azt kapjuk, hogy

9.117. egyenlet - (85,17)

U(q)=α1(0)α2(0)4q0(8k44k2q2+q4)ln2k+qk+|kq|dk.


A (q→0 esetén) szinguláris tag alakja q5lnq. Ezzel számolva a kölcsönhatási energia Fourier-transzformáltja :[303]

9.118. egyenlet - (85,18)

U(q)=23α1(0)α2(0)120q4 lnq.


Az inverz Fourier-transzformációt az

9.119. egyenlet - (85,19)

eiqrq4 lnqd3q(2π)3=30πr7.


képlet szerint végezhetjük.[304] Ezzel kapjuk a következő végeredményt:

9.120. egyenlet - (85,20)

U(r)=23c4πα1(0)α2(0)r7,


ezzel meghatároztuk két, egymástól nagy távolságra (r≫λ0) levő atom kölcsönhatási energiáját.[305]



[298] Ez helyettesíti a diagonálismátrixelemek terjedelmesebb jelölését, mind az atom, mind a foton-tér állapotaira nézve.

[299] Ezek az egyes atomok sajátenergiás korrekcióit adják, amivel most nem foglalkozunk.

[300] A (∂/∂t)Dik(t) első differenciálhányadosnak t=0-nál ugrása van. Így a második derivált, ti. a DikE(t) függvény, egy további tagot is tartalmaz, melyben a δ4(x2–x1) függvény szerepel. Ez a tag azonban r1≠r2 esetén mindig nulla, így itt nem kell figyelembe vennünk.

[301] A konvergencia szempontjából a (85,12)-ben levő első integrálban ω→ω–i0, a másodikban ω→ω+i0. Ebből világos, hogyan kell a (85,13) kifejezést a pólusok körül értelmezni.

[302] * Megjegyzés: Az itt szereplő Ω-t ne tévesszük össze a térszög jelével. (A szerk.).

[303] A (85,17) integrál, bár némi fáradsággal, de elemi úton számítható. A felső határ végtelenje helyébe a nagy N számot írjuk, és csak a lnq-t tartalmazó tagokat tartjuk meg, így kapjuk (85,18)-at. Ennél jóval egyszerűbb úton is célhoz érhetünk, ha észrevesszük, hogy az integrál bennünket érdeklő részének q→0 esetén logaritmikus szingularitása van, így ezt a részt a k≫q tartomány határozza meg. A logaritmikus tényezőt (q/2k) szerint sorba fejtjük: ln(2k+q/2k–q)≈2[(q/2k)+(1/3)((q/2k))3+(1/5)((q/2k))5], leválasztjuk az ∫(dk/k) alakú divergens részt, amelyet alulról k∼q körül kell levágni (a felső határ nem lényeges).

[304] A q-térben gömbkoordinátákban közvetlenül integrálhatunk: limδ→+0∫eiqr–qδqν(d3q/(2π)3)=–(Γ(ν+2)sin(πν/2)/2π2rν+3). Ezt a ν paraméter szerint differenciálva, majd ν helyébe 4-et írva, kapjuk (85,19)-et

[305] Ezt a képletet először H. B. Casimir és D. Polder (1948) vezette le. Az itt bemutatott levezetés I. E. Dzjalosinszkijtől származik.