Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az előző szakaszban kapott eredmények alkalmazhatók a pozitróniumra – elektronból és pozitronból álló hidrogénatomszerű rendszerre.
A pozitróniumban az elektron és pozitron impulzusoperátora tömegközépponti
rendszerben: , ahol
a relatív mozgáshoz tartozó impulzusoperátor, mely az
relatív koordinátára hat. A pozitrónium teljes
Hamilton-operátora[294]
Itt a Bohr-magneton ,
a pálya-impulzusmomentum operátora ,
a rendszer teljes spinjének operátora [négyzete
]. Minden tisztán pálya jellegű korrekciós tagot
tartalmaz;
a spin–pálya kölcsönhatás;
a spin-spin és a szétsugárzási kölcsönhatást foglalja magában.
A „perturbálatlan” Hamilton-operátor,
természetesen csak abban különbözik a hidrogénatom
Hamilton-operátorától , hogy benne az elektrontömeg
helyett az redukált tömeg szerepel. A pozitrónium energiaszintjei ezért (abszolút
értékben) kétszer kisebbek a hidrogénatoménál:
(n a főkvantumszám).
(84,1) többi tagja a (84,2) szintek felhasadásához – finomszerkezethez vezet. A létrejövő nívókat
mindenekelőtt a teljes impulzusmomentum értékei szerint osztályozhatjuk. Azt is
látjuk, hogy a részecskék spinoperátorai a (84,1)
Hamilton-operátorban csak az
összeg formájában szerepelnek. Ez azt jelenti, hogy a
Hamilton-operátor felcserélhető
-tel, az eredő spin négyzetével, azaz a teljes spin a vizsgált
(
-ben második) közelítésben is megmarad. Így az energiaszinteket
osztályozni lehet a teljes spin értékei szerint is, ezek
és
. Az
állapotot parapozitróniumnak , az
állapotot ortopozitróniumnak nevezik.
A pozitrónium eredő spinjének megmaradása egzakt törvény, nem függ össze az
szerinti valahányadik közelítéssel, az elektromágneses kölcsönhatás
-invarianciájából következik. A pozitrónium valódi semleges rendszer,
ezért állapotait a töltésparitás és a kombinált paritás meghatározott értékei jellemzik.
A kombinált paritás
(l. a 27. § feladatát). Mivel
csak a 0 és 1 értékeket veheti fel, ezért a kombinált paritás
megmaradása a teljes spin megmaradásával ekvivalens.
Ha , a
teljes impulzusmomentum megegyezik a pálya-impulzusmomentummal.
és adott
mellett
a
,
értékeket veheti fel, ennek megfelelően az ortopozitrónium minden
szintje általában három szintre hasad fel. Mivel az
és
értékekhez különböző paritás tartozik, a Hamilton-operátornak nincs az
ilyen állapotokat összekötő, nem eltűnő mátrixeleme. A perturbáció operátorának
(
első tagjának) ezzel ellentétben általában van nemdiagonális, az
,
állapotokat összekötő, nullától különböző mátrixeleme;
magától értetődően nem tekinthető szigorúan
pálya-impulzusmomentumnak.
Egészen különleges vonásai vannak a pozitróniumbeli Zeeman-effektusnak (V. B. Bereszteckij , I. Ja. Pomerancsuk , 1949).
A pozitrónium pályamozgásból származó mágneses momentuma mindig nulla: mivel
, ezért
A spinhez tartozó mágneses momentum operátora,
nem arányos a teljes spin operátorával, az
és
operátorok nem cserélhetők fel egymással. Ezért azok az állapotok,
amelyekben az
teljes spin és annak
vetülete meghatározott értéket vesz fel, általában nem sajátállapotai
a mágneses momentumnak.
Adott és
kvantumszámú állapotokat a
spinfüggvények írják le, ezek
ahol és
az egyrészecske spinfüggvények
és
spinvetülettel (a
és
indexek, a pozitronra és elektronra utalnak). Az első kettő
(
és
) egyidejűleg a
oprátornak is sajátfüggvénye, a sajátérték ,
. A
és
függvények
-nek nem sajátfüggvényei; azok viszont az
kombinációk. Könnyen látható, hogy az egyetlen, nullától
különböző mátrixelem a következő:
Gyenge mágneses tereknél (ahol ;
az
és
energiaszintek különbsége) a Zeeman-felhasadás kiszámítására közelítésként a meghatározott teljes spinű
állapotokból indulunk ki. A felhasadást első közelítésben a
perturbációs energiaoperátor átlagértéke adja. A (és ezzel együtt a
) operátor (84,4) függvényekkel
számolt diagonális mátrixelemei azonban mind eltűnnek. Gyenge tereknél tehát a
pozitróniumban nincs lineáris Zeeman-effektus.
A másik határesetben, erős tereknél () a spinek közötti kölcsönhatás elhanyagolható, azaz
nem vesz fel meghatározott értéket. Egy felhasadt szint komponensei ez
esetben meghatározott
értékekkel jellemezhető állapotoknak [melyeket a (84,5) függvények írnak le] felelnek meg, az eltolódás
nagysága
.
1. Határozzuk meg a parapozitrónium energiaszintjeinek finomszerkezetét (V. B. Bereszteckij , 1949).[295]
Megoldás. A keresett energiaeltolódásokat a (84,1) Hamilton-operátor korrekciós tagjainak
átlagértékei adják, ezeket a különböző értékekhez tartozó állapotok perturbálatlan hullámfüggvényeivel
kell kiszámítani.
esetén nullától különböző járulékot csak
és
második tagja ad.
A perturbálatlan hullámfüggvények (ezeket -vel jelöljük) a
Schrödinger-egyenletet elégítik ki.[296] Ezért
Az átlagérték:
Az utolsó integrál éppen ; mivel
csak
esetben különbözik nullától, az
-állapotok hullámfüggvénye pedig gömbszimmetrikus, ezért az integrál
, ami a második taggal együtt nullát ad.
A pálya-impulzusmomentum operátorát
felhasználva, írhatjuk, hogy
Innen a másik szükséges várható érték:
( esetén az utolsó tag eltűnik).
A hidrogénatom elméletéből ismert képletek szerint [l. III. (36,14), (36,16)] az
elektron tömegének helyébe
-t írva,
Ezek segítségével a parapozitrónium keresett energiaszintjei:
2. Határozzuk meg az orto- és parapozitrónium
alapállapotainak (,
) energiakülönbségét.
Megoldás. Az energia az teljes spintől
esetén csak
második tagjának átlagértékén keresztül függ (az első tag a szög
szerinti átlagolás következtében gömbszimmetrikus
-állapotokban eltűnik).[297]
Az ortopozitrónium alapállapota () magasabban fekszik a parapozitrónium (
) alapállapotánál. A különbség:
[294] A szokásos egységekben.
[295] Az ortopozitrónium finomszerkezetére vonatkozó számításra nézve 1. V. B. Bereszteckij , ZSETF 19, 1130 (1949); R. Ferrell , Phys. Rev. 84, 858 (1951); A. A. Szokolov és V. N. Citovics , ZSETF 24, 253 (1953).
[296] A számítás során célszerű atomi egységeket használni.