ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

84.§. A pozitrónium

Az előző szakaszban kapott eredmények alkalmazhatók a pozitróniumra – elektronból és pozitronból álló hidrogénatomszerű rendszerre.

A pozitróniumban az elektron és pozitron impulzusoperátora tömegközépponti rendszerben: p–=–p+≡p , ahol p=–iℏ∇ a relatív mozgáshoz tartozó impulzusoperátor, mely az r=r––r+ relatív koordinátára hat. A pozitrónium teljes Hamilton-operátora^[294]

9.95. egyenlet - (84,1)

\begin{matrix} \begin{aligned} H & = \frac{p^{2}}{m} - \frac{e^{2}}{r} + V_{1} + V_{2} + V_{3}, \\ V_{1} & = - \frac{p^{4}}{4 m^{3} c^{2}} + 4 π μ_{0}^{2} δ (r) - \frac{e^{2}}{2 m^{2} c^{2} r} \{p^{2} + \frac{r (r p) p}{r^{2}}\}, \\ V_{2} & = 6 μ_{0}^{2} \frac{1}{r^{3}} 1 S, \\ V_{3} & = 6 μ_{0}^{2} \frac{1}{r^{3}} \{\frac{(S r) (S r)}{r^{2}} - \frac{1}{3} S^{2}\} + 4 π μ_{0}^{2} (\frac{7}{3} S^{2} - 2) δ (r) . \end{aligned} & (84,1) \end{matrix}

Itt μ0=eℏ∕2mc a Bohr-magneton , ℏ1=r×p a pálya-impulzusmomentum operátora , S=(σ++σ–)∕2 a rendszer teljes spinjének operátora [négyzete S2=(1/2)(3+σ1σ2) ]. Minden tisztán pálya jellegű korrekciós tagot tartalmaz; a spin–pálya kölcsönhatás; a spin-spin és a szétsugárzási kölcsönhatást foglalja magában.

A „perturbálatlan” Hamilton-operátor,

természetesen csak abban különbözik a hidrogénatom Hamilton-operátorától , hogy benne az elektrontömeg helyett az m∕2 redukált tömeg szerepel. A pozitrónium energiaszintjei ezért (abszolút értékben) kétszer kisebbek a hidrogénatoménál:

9.96. egyenlet - (84,2)

E = - \frac{m e^{4}}{4 ℏ^{2} n^{2}}

(n a főkvantumszám).

(84,1) többi tagja a (84,2) szintek felhasadásához – finomszerkezethez vezet. A létrejövő nívókat mindenekelőtt a teljes impulzusmomentum értékei szerint osztályozhatjuk. Azt is látjuk, hogy a részecskék spinoperátorai a (84,1) Hamilton-operátorban csak az összeg formájában szerepelnek. Ez azt jelenti, hogy a Hamilton-operátor felcserélhető -tel, az eredő spin négyzetével, azaz a teljes spin a vizsgált ( 1∕c -ben második) közelítésben is megmarad. Így az energiaszinteket osztályozni lehet a teljes spin értékei szerint is, ezek S=0 és S=1 . Az S=0 állapotot parapozitróniumnak , az S=1 állapotot ortopozitróniumnak nevezik.

A pozitrónium eredő spinjének megmaradása egzakt törvény, nem függ össze az 1∕c szerinti valahányadik közelítéssel, az elektromágneses kölcsönhatás -invarianciájából következik. A pozitrónium valódi semleges rendszer, ezért állapotait a töltésparitás és a kombinált paritás meghatározott értékei jellemzik. A kombinált paritás (–1)S+1 (l. a 27. § feladatát). Mivel csak a 0 és 1 értékeket veheti fel, ezért a kombinált paritás megmaradása a teljes spin megmaradásával ekvivalens.

Ha S=0 , a teljes impulzusmomentum megegyezik a pálya-impulzusmomentummal. S=1 és adott mellett a , j±1 értékeket veheti fel, ennek megfelelően az ortopozitrónium minden (n,j) szintje általában három szintre hasad fel. Mivel az l=j és l=j±1 értékekhez különböző paritás tartozik, a Hamilton-operátornak nincs az ilyen állapotokat összekötő, nem eltűnő mátrixeleme. A perturbáció operátorának ( első tagjának) ezzel ellentétben általában van nemdiagonális, az l=j+1 , l=j–1 állapotokat összekötő, nullától különböző mátrixeleme; magától értetődően nem tekinthető szigorúan pálya-impulzusmomentumnak.

Egészen különleges vonásai vannak a pozitróniumbeli Zeeman-effektusnak (V. B. Bereszteckij , I. Ja. Pomerancsuk , 1949).

A pozitrónium pályamozgásból származó mágneses momentuma mindig nulla: mivel (r+×p+)=(r–×p–) , ezért

A spinhez tartozó mágneses momentum operátora,

9.97. egyenlet - (84,3)

μ_{s} = μ_{0} (σ_{+} - σ_{-}) = 0

nem arányos a teljes spin S=(1/2)(σ++σ–) operátorával, az és operátorok nem cserélhetők fel egymással. Ezért azok az állapotok, amelyekben az teljes spin és annak vetülete meghatározott értéket vesz fel, általában nem sajátállapotai a mágneses momentumnak.

Adott és kvantumszámú állapotokat a χSSz spinfüggvények írják le, ezek

9.98. egyenlet - (84,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} χ_{11} & = α_{+} α_{-}, χ_{1 - 1} = β_{+} β_{-}, \\ χ_{10} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (α_{+} β_{-} + α_{-} β_{+}), \\ χ_{00} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (α_{+} β_{-} - α_{-} β_{+}), \end{aligned} & (84,4) \end{matrix}

ahol és az egyrészecske spinfüggvények 1∕2 és –1∕2 spinvetülettel (aés indexek, a pozitronra és elektronra utalnak). Az első kettő ( χ11 és χ1–1 ) egyidejűleg a oprátornak is sajátfüggvénye, a sajátérték , μz=0 . A χ10 és χ00 függvények -nek nem sajátfüggvényei; azok viszont az

9.99. egyenlet - (84,5)

\frac{1}{\sqrt{2}} (χ_{10} + χ_{00}) = α_{+} β_{-}, \frac{1}{\sqrt{2}} (χ_{10} - χ_{00}) = α_{-} β_{+}

kombinációk. Könnyen látható, hogy az egyetlen, nullától különböző ⟨S′Sz′|μz|SSz⟩ mátrixelem a következő:

9.100. egyenlet - (84,6)

⟨00 | μ_{z} | 10⟩ = ⟨10 | μ_{z} | 00⟩ = 2 μ_{0} .

Gyenge mágneses tereknél (ahol μ0H≪Δ ; az S=0 és S=1 energiaszintek különbsége) a Zeeman-felhasadás kiszámítására közelítésként a meghatározott teljes spinű állapotokból indulunk ki. A felhasadást első közelítésben a

perturbációs energiaoperátor átlagértéke adja. A (és ezzel együtt a ) operátor (84,4) függvényekkel számolt diagonális mátrixelemei azonban mind eltűnnek. Gyenge tereknél tehát a pozitróniumban nincs lineáris Zeeman-effektus.

A másik határesetben, erős tereknél ( μ0H≫Δ ) a spinek közötti kölcsönhatás elhanyagolható, azaz nem vesz fel meghatározott értéket. Egy felhasadt szint komponensei ez esetben meghatározott μz=±2μ0 értékekkel jellemezhető állapotoknak [melyeket a (84,5) függvények írnak le] felelnek meg, az eltolódás nagysága ±2μ0H .

Feladatok

1. Határozzuk meg a parapozitrónium energiaszintjeinek finomszerkezetét (V. B. Bereszteckij , 1949).^[295]

Megoldás. A keresett energiaeltolódásokat a (84,1) Hamilton-operátor korrekciós tagjainak átlagértékei adják, ezeket a különböző j=l(0,1,…,n–1) értékekhez tartozó állapotok perturbálatlan hullámfüggvényeivel kell kiszámítani. S=0 esetén nullától különböző járulékot csak és második tagja ad.

A perturbálatlan hullámfüggvények (ezeket -vel jelöljük) a

Schrödinger-egyenletet elégítik ki.^[296] Ezért

p4ψ =p2(E+(1/r))ψ=(E+(1/r))2ψ–ψΔ(1/r)–2(∇(1/r))(∇ψ)= =(E+(1/r))2ψ+4πδ(r)ψ+(2/r2)(∂ψ/∂r).

Az átlagérték:

p4¯=(E+(1/r))2¯+4π|ψ(0)|2+∬0∞(∂|ψ|2/∂r) drdΩ.

Az utolsó integrál éppen –∫|ψ(0)|2dΩ ; mivel ψ(0) csak l=0 esetben különbözik nullától, az -állapotok hullámfüggvénye pedig gömbszimmetrikus, ezért az integrál –4π|ψ(0)|2 , ami a második taggal együtt nullát ad.

A pálya-impulzusmomentum l=(r×p) operátorát felhasználva, írhatjuk, hogy

–p2ψ=(∂2ψ/∂r2)+(2/r)(∂ψ/∂r)–(l2ψ/r2)=–(E+(1/r))ψ.

Innen a másik szükséges várható érték:

∫ψ∗(r/r3)(rp)pψd3x =–∫ψ∗(1/r)(∂2ψ/∂r2) d3x=(1/r)(E+(1/r))¯– –4π|ψ(0)|2–l(l+1)r–3¯

( l=0 esetén az utolsó tag eltűnik).

A hidrogénatom elméletéből ismert képletek szerint [l. III. (36,14), (36,16)] az elektron tömegének helyébe m∕2 -t írva,

|ψ(0)|2 =(1/8πn3)δl0, r–1¯=(1/2n2), r–2¯=(1/2n3(2l+1)), r–3¯ =(1/4n3l(l+1)(2l+1)) (l≠0).

Ezek segítségével a parapozitrónium keresett energiaszintjei:

Enl=–(1/4n2)–α2(me4/ℏ2)(1/2n3)((1/2l+1)–(11/32n)).

2. Határozzuk meg az orto- és parapozitrónium alapállapotainak ( n=1 , l=0 ) energiakülönbségét.

Megoldás. Az energia az teljes spintől l=0 esetén csak második tagjának átlagértékén keresztül függ (az első tag a szög szerinti átlagolás következtében gömbszimmetrikus -állapotokban eltűnik).^[297]

Az ortopozitrónium alapállapota ( 3S1 ) magasabban fekszik a parapozitrónium ( 1S0 ) alapállapotánál. A különbség:

E( 3S1)–E( 1S0)=(7/12)α2(me4/ℏ2)=8,2⋅10–4eV.

^[294] A szokásos egységekben.

^[295] Az ortopozitrónium finomszerkezetére vonatkozó számításra nézve 1. V. B. Bereszteckij , ZSETF 19, 1130 (1949); R. Ferrell , Phys. Rev. 84, 858 (1951); A. A. Szokolov és V. N. Citovics , ZSETF 24, 253 (1953).

^[296] A számítás során célszerű atomi egységeket használni.

^[297] A szögekre való átlagolást az szerinti integrálás előtt kell elvégezni, amint az nyilvánvaló a (83,14) integrál kiszámításából. Az utóbbiból kaptuk első tagját.