Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

84.§. A pozitrónium

84.§. A pozitrónium

Az előző szakaszban kapott eredmények alkalmazhatók a pozitróniumra – elektronból és pozitronból álló hidrogénatomszerű rendszerre.

A pozitróniumban az elektron és pozitron impulzusoperátora tömegközépponti rendszerben: p–=–p+≡p, ahol p=–iℏ∇ a relatív mozgáshoz tartozó impulzusoperátor, mely az r=r––r+ relatív koordinátára hat. A pozitrónium teljes Hamilton-operátora[294]

9.95. egyenlet - (84,1)

H=p2me2r+V1+V2+V3,V1=p44m3c2+4πμ02δ(r)e22m2c2rp2+r(rp)pr2,V2=6μ021r31S,V3=6μ021r3(Sr)(Sr)r213S2+4πμ0273S22δ(r).(84,1)


Itt μ0=eℏ∕2mc a Bohr-magneton , ℏ1=r×p a pálya-impulzusmomentum operátora , S=(σ++σ–)∕2 a rendszer teljes spinjének operátora [négyzeteS2=(1/2)(3+σ1σ2)]. Minden tisztán pálya jellegű korrekciós tagot V1 tartalmaz; V2 a spin–pálya kölcsönhatás; V3 a spin-spin és a szétsugárzási kölcsönhatást foglalja magában.

A „perturbálatlan” Hamilton-operátor,

H=(p2/m)–(e2/r)

természetesen csak abban különbözik a hidrogénatom Hamilton-operátorától , hogy benne az elektrontömeg helyett az m∕2 redukált tömeg szerepel. A pozitrónium energiaszintjei ezért (abszolút értékben) kétszer kisebbek a hidrogénatoménál:

9.96. egyenlet - (84,2)

E=me442n2


(n a főkvantumszám).

(84,1) többi tagja a (84,2) szintek felhasadásához – finomszerkezethez vezet. A létrejövő nívókat mindenekelőtt a j teljes impulzusmomentum értékei szerint osztályozhatjuk. Azt is látjuk, hogy a részecskék spinoperátorai a (84,1) Hamilton-operátorban csak az S összeg formájában szerepelnek. Ez azt jelenti, hogy a Hamilton-operátor felcserélhető S2-tel, az eredő spin négyzetével, azaz a teljes spin a vizsgált (1∕c-ben második) közelítésben is megmarad. Így az energiaszinteket osztályozni lehet a teljes spin értékei szerint is, ezek S=0 és S=1. Az S=0 állapotot parapozitróniumnak , az S=1 állapotot ortopozitróniumnak nevezik.

A pozitrónium eredő spinjének megmaradása egzakt törvény, nem függ össze az 1∕c szerinti valahányadik közelítéssel, az elektromágneses kölcsönhatás CP-invarianciájából következik. A pozitrónium valódi semleges rendszer, ezért állapotait a töltésparitás és a kombinált paritás meghatározott értékei jellemzik. A kombinált paritás (–1)S+1 (l. a 27. § feladatát). Mivel S csak a 0 és 1 értékeket veheti fel, ezért a kombinált paritás megmaradása a teljes spin megmaradásával ekvivalens.

Ha S=0, a j teljes impulzusmomentum megegyezik a pálya-impulzusmomentummal. S=1 és adott j mellett l a j, j±1 értékeket veheti fel, ennek megfelelően az ortopozitrónium minden (n,j) szintje általában három szintre hasad fel. Mivel az l=j és l=j±1 értékekhez különböző paritás tartozik, a Hamilton-operátornak nincs az ilyen állapotokat összekötő, nem eltűnő mátrixeleme. A perturbáció operátorának (V3 első tagjának) ezzel ellentétben általában van nemdiagonális, az l=j+1, l=j–1 állapotokat összekötő, nullától különböző mátrixeleme; l magától értetődően nem tekinthető szigorúan pálya-impulzusmomentumnak.

Egészen különleges vonásai vannak a pozitróniumbeli Zeeman-effektusnak (V. B. Bereszteckij , I. Ja. Pomerancsuk , 1949).

A pozitrónium pályamozgásból származó mágneses momentuma mindig nulla: mivel (r+×p+)=(r–×p–), ezért

μl=μ0(r+×p+–r–×p–)=0

A spinhez tartozó mágneses momentum operátora,

9.97. egyenlet - (84,3)

μs=μ0(σ+σ)=0


nem arányos a teljes spin S=(1/2)(σ++σ–) operátorával, az S2és μ2 operátorok nem cserélhetők fel egymással. Ezért azok az állapotok, amelyekben azS teljes spin és annak Sz vetülete meghatározott értéket vesz fel, általában nem sajátállapotai a mágneses momentumnak.

Adott S és Sz kvantumszámú állapotokat a χSSz spinfüggvények írják le, ezek

9.98. egyenlet - (84,4)

χ11=α+α,χ11=β+β,χ10=12(α+β+αβ+),χ00=12(α+βαβ+),(84,4)


ahol αés β az egyrészecske spinfüggvények 1∕2és –1∕2 spinvetülettel (a+és – indexek, a pozitronra és elektronra utalnak). Az első kettő (χ11és χ1–1) egyidejűleg a μz oprátornak is sajátfüggvénye, a sajátérték ,μz=0. Aχ10és χ00 függvények μz-nek nem sajátfüggvényei; azok viszont az

9.99. egyenlet - (84,5)

12(χ10+χ00)=α+β,12(χ10χ00)=αβ+


kombinációk. Könnyen látható, hogy az egyetlen, nullától különböző⟨S′Sz′|μz|SSz⟩ mátrixelem a következő:

9.100. egyenlet - (84,6)

00|μz|10=10|μz|00=2μ0.


Gyenge mágneses tereknél (ahol μ0H≪Δ; Δ az S=0 és S=1 energiaszintek különbsége) a Zeeman-felhasadás kiszámítására közelítésként a meghatározott teljes spinű állapotokból indulunk ki. A felhasadást első közelítésben a

VH=–μzH

perturbációs energiaoperátor átlagértéke adja. A μz (és ezzel együtt a VH) operátor (84,4) függvényekkel számolt diagonális mátrixelemei azonban mind eltűnnek. Gyenge tereknél tehát a pozitróniumban nincs lineáris Zeeman-effektus.

A másik határesetben, erős tereknél (μ0H≫Δ) a spinek közötti kölcsönhatás elhanyagolható, azaz S nem vesz fel meghatározott értéket. Egy felhasadt szint komponensei ez esetben meghatározott μz=±2μ0 értékekkel jellemezhető állapotoknak [melyeket a (84,5) függvények írnak le] felelnek meg, az eltolódás nagysága ±2μ0H.

Feladatok

1. Határozzuk meg a parapozitrónium energiaszintjeinek finomszerkezetét (V. B. Bereszteckij , 1949).[295]

Megoldás. A keresett energiaeltolódásokat a (84,1) Hamilton-operátor korrekciós tagjainak átlagértékei adják, ezeket a különböző j=l(0,1,…,n–1) értékekhez tartozó állapotok perturbálatlan hullámfüggvényeivel kell kiszámítani. S=0 esetén nullától különböző járulékot csak V1 és V3 második tagja ad.

A perturbálatlan hullámfüggvények (ezeket ψ-vel jelöljük) a

p2ψ=–Δψ=(E+(1/r))ψ, E=–(1/4n2)

Schrödinger-egyenletet elégítik ki.[296] Ezért

p4ψ =p2(E+(1/r))ψ=(E+(1/r))2ψ–ψΔ(1/r)–2(∇(1/r))(∇ψ)= =(E+(1/r))2ψ+4πδ(r)ψ+(2/r2)(∂ψ/∂r).

Az átlagérték:

p4¯=(E+(1/r))2¯+4π|ψ(0)|2+∬0∞(∂|ψ|2/∂r) drdΩ.

Az utolsó integrál éppen –∫|ψ(0)|2dΩ; mivel ψ(0) csak l=0 esetben különbözik nullától, az S-állapotok hullámfüggvénye pedig gömbszimmetrikus, ezért az integrál –4π|ψ(0)|2, ami a második taggal együtt nullát ad.

A pálya-impulzusmomentuml=(r×p) operátorát felhasználva, írhatjuk, hogy

–p2ψ=(∂2ψ/∂r2)+(2/r)(∂ψ/∂r)–(l2ψ/r2)=–(E+(1/r))ψ.

Innen a másik szükséges várható érték:

∫ψ∗(r/r3)(rp)pψd3x =–∫ψ∗(1/r)(∂2ψ/∂r2) d3x=(1/r)(E+(1/r))¯– –4π|ψ(0)|2–l(l+1)r–3¯

(l=0 esetén az utolsó tag eltűnik).

A hidrogénatom elméletéből ismert képletek szerint [l. III. (36,14), (36,16)] az elektron m tömegének helyébe m∕2-t írva,

|ψ(0)|2 =(1/8πn3)δl0, r–1¯=(1/2n2), r–2¯=(1/2n3(2l+1)), r–3¯ =(1/4n3l(l+1)(2l+1)) (l≠0).

Ezek segítségével a parapozitrónium keresett energiaszintjei:

Enl=–(1/4n2)–α2(me4/ℏ2)(1/2n3)((1/2l+1)–(11/32n)).

2. Határozzuk meg az orto- és parapozitrónium alapállapotainak (n=1, l=0) energiakülönbségét.

Megoldás. Az energia az S teljes spintől l=0 esetén csak V3 második tagjának átlagértékén keresztül függ (az első tag a szög szerinti átlagolás következtében gömbszimmetrikus S-állapotokban eltűnik).[297]

Az ortopozitrónium alapállapota (3S1) magasabban fekszik a parapozitrónium (1S0) alapállapotánál. A különbség:

E( 3S1)–E( 1S0)=(7/12)α2(me4/ℏ2)=8,2⋅10–4eV.



[294] A szokásos egységekben.

[295] Az ortopozitrónium finomszerkezetére vonatkozó számításra nézve 1. V. B. Bereszteckij , ZSETF 19, 1130 (1949); R. Ferrell , Phys. Rev. 84, 858 (1951); A. A. Szokolov és V. N. Citovics , ZSETF 24, 253 (1953).

[296] A számítás során célszerű atomi egységeket használni.

[297] A szögekre való átlagolást az r szerinti integrálás előtt kell elvégezni, amint az nyilvánvaló a (83,14) integrál kiszámításából. Az utóbbiból kaptuk V3 első tagját.