Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

83.§. A Breit-egyenlet

83.§. A Breit-egyenlet

Ismeretes, hogy kölcsönható részecskék rendszere a klasszikus elektrodinamikában leírható a részecskék koordinátáitól és sebességeitől függő Lagrange-függvénnyel , amely ∼1∕c2 rendű tagokig pontos (II. 65. §). Ez a tény azzal függ össze, hogy a sugárzás ∼1∕c3 nagyságrendű effektus.

A kvantumelméletben ennek az felel meg, hogy a rendszer Schrödinger-egyenlettel írható le, mely a másodrendű effektusokat tartalmazza. A külső elektromágneses térben mozgó elektronra vonatkozó egyenletet a 33. §-ban adtuk meg. Most az ennek megfelelő egyenletet szeretnénk felállítani kölcsönható részecskék rendszerére.

Két részecske szórásamplitúdójának relativisztikus kifejezéséből indulunk ki. Nemrelativisztikus közelítésben ez a szokásos Born-amplitúdóba megy át, amely a két töltés elektromágneses kölcsönhatását megadó potenciál Fourier-transzformáltjával arányos. Az amplitúdót másodrendig pontosan számolva, a megfelelő potenciált ∼1∕c2 rendű tagokig tudjuk pontosan meghatározni.

Először tételezzük fel, hogy a két részecske különböző, tömegük m1 és m2 (például elektron és müon). A szórást egy diagram adja meg, ez a következő:

A hozzá tartozó amplitúdó

9.71. egyenlet - (83,1)

Mfi=e2(ū1γμu1)Dμν(q)(ū2γνu2),q=p1p1=p2p2(83,1)


(feltételeztük, hogy a részecskék töltése azonos; az ellenkező esetben e2 helyett–e2-et kell írni).

A további számítások jelentősen egyszerűsödnek, ha a fotonpropagátornak nem a szokásos, hanem a Coulomb-mértékben felírt (77,12), (77,13) alakját használjuk:[291]

9.72. egyenlet - (83,2)

D00=4πq2,D0i=0,Dik=4πq2ω2c2δikqiqkq2.


A szórásamplitúdó

9.73. egyenlet - (83,3)

Mfi=e2{(ū1γ0u1)(ū2γ0u2)D00+(ū1γiu1)(ū2γku2)Dik}.


Minden 1∕c-t tartalmazó tagot elhanyagolva, a kapcsos zárójel második tagja eltűnik, az első járuléka pedig

9.74. egyenlet - (83,4)

Mfi=2m12m2(w1(0)w1(0))(w2(0)w2(0))U(q),


ahol

9.75. egyenlet - (83,5)

U(q)=4πe2q2,


w1(0)és w2(0) pedig a 23. §-ban bevezetett nemrelativisztikus síkhullámok (kétkomponensű) spinoramplitúdóit jelölik. Az U(q) függvény a Coulomb-kölcsönhatás U(r)=e2∕r potenciális energiájának Fourier-transzformáltja.

A (1∕c szerinti) következő közelítésben a szabad részecske (∫|φSchr|2d3x) integrál által normált) φSchr „Schrödinger”-hullámfüggvénye a

9.76. egyenlet - (83,6)

H(0)φSchr=(𝜀mc2)φSchr,H(0)=p22mp48m3c2,p=i(83,6)


egyenletet elégíti ki, amelyben figyelembe vettük a relativisztikus kinetikus energia sorfejtésének második tagját. Az ilyen síkhullám (spinor) amplitúdóját jelöljük w-vel (1∕c→0 esetén megy ez át w(0)-ba). Éppen ezekkel az amplitúdókkal kell a keresett szórásamplitúdót kifejezni ahhoz, hogy alakjából meghatározhassuk a részecskék kölcsönhatásának „Schrödinger”-potenciálját a vizsgált közelítésben.

A (33,11) képletnek megfelelően a szabad részecske bispinor amplitúdója a w „Schrödinger”-amplitúdóval – a most előírt pontossággal – az

9.77. egyenlet - (83,7)

u=2m1p28m2c2wσp2mcw


alakban fejezhető ki.

Ennek segítségével

ū1′γ0u1 =u1′∗u1=2m1(1–(p1′2+p12/8m12c2))w1′∗w1+(1/2m1c2)w1′∗(σp1′)(σp1)w1= =2m1w1′∗{1–(q2/8m12c2)+(iσ(q×p1)/4m12c2)}w1, ū1′γu1 =u1′∗αu1=(1/c)w1′∗{σ(σp1)+(σp1′)σ}w1=(1/c)w1′∗{i(σ×q)+2p1+q}w1

(ahol q=p1′–p1=p2–p2′). Az (ū2′γ0u2)-re és (ū2′γu2)-re vonatkozó analóg kifejezések az 1 és 2 indexek cseréjében és ennek megfelelően a q→–q cserében különböznek a fentiektől.

Helyettesítsük e kifejezéseket (83,3)-ba. Mivel az (ū1′γu1)(ū2′γu2) szorzat 1∕c2 tényezőt már tartalmaz, ezért Dik nevezőjében az ω2∕c2 tag elhanyagolható. Így kapjuk a szórásamplitúdóra az

9.78. egyenlet - (83,8)

Mfi=2m12m2(w1w2U(p1,p2,q)w1w2)


kifejezést, ahol

9.79. egyenlet - (83,9)

U(p1,p2,q)=4πe21q218m12c218m22c2+(qp1)(qp2)m1m2q4p1p2m1m2q2++iσ1(q×p1)4m12c2q2iσ1(q×p2)2m1m2c2q2iσ2(q×p2)4m22c2q2+iσ2(q×p1)2m1m2c2q2++(σ1q)(σ2q)4m1m2c2q2σ1σ24m1m2c2(83,9)


(a Pauli-mátrixok 1, 2 indexei azt mutatják, hogy melyik spinorra hatnak: σ1 a w1-re,σ2 a w2-re).

Az U(p1,p2,q) függvény a részecskék kölcsönhatásának operátora impulzusreprezentációban. A koordinátareprezentációbeli U(p1,p2,r) operátorral való összefüggését az

9.80. egyenlet - (83,10)

e(p1r1+p2r2)U(p1,p2,r)ei(p1r1+p2r2)d3x1d3x2==(2π)3δ(p1+p2p1p2)U(p1,p2,q)(83,10)


képlet adja meg. Ha az U operátor egyszerűU(r) függvény (r=r1–r2), akkor U(p1,p2,q) nem függ p1-től és p2-től, és (83,10) a szokásos Fourier-transzformációs képletbe megy át:

∫e–iqrU(r) d3x=U(q).

Most már látható, hogy U(p1,p2,r) meghatározásához az

∫eiqrU(p1,p2,q)(d3q/(2π)3)

integrált kell kiszámítani, majd p1, p2 helyébe a p1=–i∇1, p2=–i∇2 operátorokat kell írni, ezek az összes többi tényezőtől jobbra helyezkednek el.

A szükséges integrálokat az

9.81. egyenlet - (83,11)

eiqr4πq2d3q(2π)3=1r


összefüggés differenciálása útján számíthatjuk ki. Képezzük mindkét oldal gradiensét:

9.82. egyenlet - (83,12)

eiqr4πqq2d3q(2π)3=i1r=irr3.


Igaz továbbá, hogy (a, bállandó vektorok)

∫(4π(aq)(bq)/q4)eiqr(d3q/(2π)3)=(i/2)(a(∂/∂r))∫eiqr(b(∂/∂q))(1/q2)(d3q/(2π)3);

a jobb oldal parciális integrálással (83,12)-re vezethető vissza, és így

9.83. egyenlet - (83,13)

4π(aq)(bq)q4eiqrd3q(2π)3=12(a)brr=12rab(ar)(br)r2.


Végül

∫(4π(aq)(bq)/q2)eiqr(d3q/(2π)3)=–(a∇)(b∇)(1/r).

Figyelembe kell venni, hogy a jobb oldalon álló kifejezés a δ(r) függvényt tartalmazza. Hogy ezt leválasszuk, átlagolunk r irányára:

–(a∇)(b∇)(1/r)¯=–(1/3)(ab)Δ(1/r)=(4π/3)(ab)δ(r).

Ezt tudva, most már elvégezhetjük a differenciálást. Azt kapjuk, hogy

9.84. egyenlet - (83,14)

4π(aq)(bq)q2eiqrd3q(2π)3=1r3ab3(ar)(br)r2+4π3abδ(r)


(r irányára valóátlagoláskor az első tag eltűnik, és csak a δ-függvényt tartalmazó tag marad meg).

A fenti képletek segítségével a részecskék kölcsönhatásának operátorára a következő végső kifejezést kapjuk:

9.85. egyenlet - (83,15)

U(p1,p2,r)=e2rπe222c21m12+1m22δ(r)e22m1m2c2rp1p2+r(rp1)p2r2e24m12c2r3(r×p1)σ1+e24m22c2r3(r×p2)σ2e22m1m2c2r3{(r×p1)σ2(r×p2)σ1}++e224m1m2c2σ1σ2r33(σ1r)(σ2r)r58π3σ1σ2δ(r).(83,15)


A két részecskéből álló rendszer teljes Hamilton-operátora ebben a közelítésben

9.86. egyenlet - (83,16)

H=H1(0)+H2(0)+U,


ahol H(0) a szabad részecske (83,6) Hamilton-operátora.

Két elektron

Ha a két részecske azonos (két elektron), a szórásamplitúdóban egy második tag is jelen van, mely a „kicserélődési” típusú diagramhoz tartozik:

Járulékát a kölcsönhatási operátorhoz nem szükséges kiszámítanunk. Ennek oka az, hogy az azonos részecskék rendszerét ugyanolyan Schrödinger-egyenlettel és ugyanolyan kölcsönhatási operátorral írhatjuk le, mint a különböző részecskékét, ha kikötjük, hogy az egyenlet megoldásait a kellő módon szimmetrizáljuk. A szimmetrizációval a szórásamplitúdóban automatikusan figyelembe vesszük mindkét Feynman-diagram járulékát.

Így a két elektronból álló rendszer Hamilton-operátorát a (83,15), (83,16) képletekből az m1=m2 helyettesítéssel kapjuk:[292]

9.87. egyenlet - (83,17)

H=12m(p12+p22)18m3c2(p14+p24)+U(p1,p2,r),U(p1,p2,r)=e2rπemc2δ(r)e22m2c2rp1p2+r(rp1)p2r2++e24m2c2r3{(σ1×2σ2)(r×p1)+(σ2×2σ1)(r×p2)}++14emc2σ1σ2r33(σ1r)(σ2r)r58π3σ1σ2δ(r).(83,17)


A δ(r)-et tartalmazó tag fellépése természetesen nem egy különlegesen erős kölcsönhatás jelenlétére utal. Minden korrekciós tag integrális nagyságrendje azonos, és az elvégzett sorfejtés értelmében mindegyiket kicsinek kell tekinteni az első taghoz, a Coulomb-kölcsönhatáshoz képest.

A (83,15) kölcsönhatási operátor egyes tagcsoportjai különböző jellegűek. Az U-ban az első sorban álló tagok tisztán pályamennyiségek. A második sorban a spin-operátorokban lineáris tagok állnak, ezek a spin–pálya kölcsönhatást írják le. Végül a harmadik sorban álló, a részecskék spinoperátoraiban kvadratikus tagok a spin–spin kölcsönhatásnak felelnek meg.[293]

Elektron és pozitron

Az elektronból és pozitronból álló rendszer külön vizsgálatot igényel. A szórás-amplitúdó ez esetben két tag összege:

9.88. egyenlet - (83,18)

Mfi=e2[ū(p)γμu(p)]Dμν(pp)[ū(p+)γνu(p+)]++e2[ū(p+)γμu(p)]Dμν(p+p+)[ū(p)γνu(p+)](83,18)


(az első a szórás típusú, a második a szétsugárzási diagramnak felel meg). Mivel az „elektron + pozitron” rendszer hullámfüggvényének nem kell antiszimmetrikusnak lennie, ezért a két tag járuléka a kölcsönhatási operátorhoz egymástól független.

Az első tag [melynek szerkezete a (83,1) amplitúdóéval egyezik meg] természetesen olyan operátorhoz vezet, amely (83,17)-től csak előjelben különbözik. A továbbiakban a második taggal foglalkozunk.

A fotonpropagátorra nézve a szokásos mértéket használjuk:

Dμν=(4π/k2)gμν=(4π/(ω2/c2)–k2)gμν.

Az adott esetben k=p++p–, és mivel a részecskék „kvázi-nemrelativisztikusak ”,

9.89. egyenlet - (83,19)

ω2c2(𝜀++𝜀)2c24m2c2(p++p)2k2.


Ezért a fotonpropagátor

Dμν≈(π/m2c2)gμν.

Ez már 1∕c2 tényezőt tartalmaz. Ezért az u(p) amplitúdókra a nulladik közelítést használhatjuk:

u(p–)=√(2m)(w–(0) / 0), u(–p+)=√(2m)(0 / w(0)),

ahol w–(0), w(0) a (23,12)-beli háromdimenziós spinorok [a továbbiakban a (0) indexet elhagyjuk]. Ezekkel

ū(–p+)γ0u(p–) =u∗(–p+)u(p–)=0, ū(–p+)γu(p–) =u∗(–p+)αu(p–)=2m(w∗σw–).

A szétsugárzási tagba való behelyettesítés után azt kapjuk, hogy

9.90. egyenlet - (83,20)

Mfi(an)=e2πm2c2(2m)2(wσw)(wσw).


Innen még nem szabad a kölcsönhatási operátor alakjára következtetni. Először is a w spinorok, melyekkel az u(–p+) amplitúdókat kifejeztük, még nem pozitron-függvények. A pozitronamplitúdókatu(–p+)-ból töltéskonjugációval kapjuk; (26,6) alapján a hozzájuk tartozó spinorokat (w+-szal jelöljük ezeket) w-vel a w+=σyw∗ egyenlőség köti össze, és ebből

9.91. egyenlet - (83,21)

w=σyw+=w+σy,w=σyw+.


Másodszor: a szórásamplitúdót olyan alakban kell felírni, amelyben az elektronspinorok (w–és w–′) és a pozitronspinorok (w+ és w+′) egymás mellett állnak. Ez a

9.92. egyenlet - (83,22)

(wσw)(wσw)=32(ww)(ww)12(wσw)(wσw)


összefüggés segítségével tehető meg, ami (28,17)-ből következik.

Végül w-t és w′-t w+-szal és w+′-szal fejezzük ki (83,21) szerint. Könnyen igazolható, hogy

9.93. egyenlet - (83,23)

(ww)=(w+w+),(wσw)=(w+σw+).(83,23)


(83,23)-at (83,22)-be majd (83,20)-ba helyettesítve, kapjuk a szórásamplitúdó szétsugárzási tagjának végső kifejezését:

Mfi(an)=–4m2(w–′∗w+′∗[(πe2/2m2c2)(3+σ+σ–)]w–w+)

(a σ–, σ+ mátrixok rendre a w–, w+ spinorokra hatnak). A szögletes zárójelben álló kifejezés a kölcsönhatási operátor impulzusreprezentációbeli alakja. Koordináta-reprezentációban

9.94. egyenlet - (83,24)

U(an)(r)=π2e22m2c2(3+σ+σ)δ(r),r=rr+


(Pirenne, 1947; V. B. Bereszteckijés L. D. Landau , 1949). A teljes kölcsönhatási operátor

–U+U(an),

U-t (83,17)-ből kell venni.



[291] Ebben a szakaszban minden közbenső képletben kiírjuk a c tényezőt, a végsőkben pedig a ℏ-t is.

[292] A (83,17) Hamilton-operátort tartalmazó hullámegyenletet először G. Breit (1929) állította fel, a pontos kvantummechanikai levezetés L. D. Landautól (1932) származik.

[293] E kölcsönhatásról a III. S.72. §-ban volt szó az atomi szintek finomszerkezetével kapcsolatban, az elektronok és a mag közötti spin-spin kölcsönhatást a III. S.121. §-ban tárgyaltuk a szintek hiperfinom szerkezetével kapcsolatban. A III. (121,9) képlet a spin–spin kölcsönhatás operátorában levő, δ-függvényt tartalmazó tagnak felel meg.