Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

82a.§. Gyors részecskék ionizációs veszteségei

82a.§. Gyors részecskék ionizációs veszteségei

Vizsgáljuk gyors, relativisztikus részecskék atommal való ütközéseit, amelyekben az utóbbi gerjesztődik vagy ionizálódik. Nemrelativisztikus esetben az ilyen rugalmatlan ütközéseket a III. kötet 148. §–150. §-aiban tárgyaltuk; most az ott kapott összefüggések relativisztikus általánosítását adjuk meg (H. A. Bethe , 1933).

Feltesszük, hogy az atommal ütköző részecske sebessége nagy az atomi elektronokéhoz képest (egyben mindenesetre azt is feltételezzük, hogy Zα≪1, azaz hogy az atomszám nem túl nagy). Ezek a feltételek biztosítják, hogy a vizsgált folyamatra nézve a Born-közelítés alkalmazható. A feladat megoldása kissé különbözik attól függően, hogy a gyors részecskék könnyűek (elektron, pozitron) vagy nehezek (mezon, proton, α-rész stb.). Itt az utóbbi, egyszerűbb esetet vizsgáljuk.

Legyen p=(ε,p) és p′=(ε′,p′) a gyors részecske kezdeti és végső impulzusa a laboratóriumi rendszerben, melyben az atom ütközés előtt nyugalomban van; a q=p′–p különbség az atomnak átadott energiát és impulzust jelenti. Az impulzusátadás lehetséges értékei által meghatározott tartományt ka részre osztjuk:

9.41. egyenlet - (82a,1)

I)q2mm,II)q2mI,


ahol m az elektron tömege, I pedig valamilyen átlagos atomi energia (az atom ionizációs potenciálja). A két rész I≪q2∕m≪m esetén átfedi egymást; ez lehetővé teszi, hogy a két esetben kapott eredményt pontosan illesszük egymáshoz.qértékeinek e két tartományáról mint kis és nagy impulzusátadásról beszélünk.

Kis impulzusátadás

Ebben az esetben az atomi elektronok az atomnak mind a kezdeti, mind a végállapotában nemrelativisztikusnak tekinthetők.

A folyamat amplitúdóját az

9.42. egyenlet - (82a,2)

Mfi(n)=e2Jn0μ(q)Jppν(q)Dμν(q)


kifejezés adja, ahol Jn0 az atom kezdeti állapotából (0) a végállapotba (n) valóátmenetének négyesárama, Jp′p pedig a gyors részecske átmeneti négyesárama; ezek az áramok helyettesítik most az (ū′γu) kifejezéséket, melyek például az elektron és müon, két „elemi rész”(74,17) szórásamplitúdójábanállnak [vö. (140,3)-mal is]. Az átmeneti áramok impulzusreprezentációban szerepelnek [l. (43,11)]. A folyamat hatáskeresztmetszete laboratóriumi rendszerben:

9.43. egyenlet - (82a,3)

dσn=2πδ(𝜀𝜀ωn0)|Mfi(n)|2d3p2|p|2𝜀(2π)3,


ahol ωn0=En–E0 az atom állapotai közötti átmenet frekvenciája. A végállapot a diszkrét és folytonos spektrumhoz egyaránt tartozhat; az első eset az atom gerjesztése, a második az atom ionizációja. Az energiamegmaradás törvényében [amit a (82a,3)-ban levőδ-függvény fejez ki] elhanyagoltuk az atom visszalökődésének energiáját, ami kis impulzusátadásoknál biztosan megtehető.

A fotonpropagátort az adott esetben a (77,14) mértékben célszerű felírni, ebben csak a térkomponensek különböznek nullától:

9.44. egyenlet - (82a,4)

Dik(q)=4πω2q2δikqiqkω2.


Ekkor a (82a,2)-ben szereplőátmeneti négyesáramoknak is csak a térkomponenseit kell használni.

A Jn0(q) atomi átmeneti áram az adott esetben a szokásos nemrelativisztikus kifejezés Fourier-transzformáltja:

9.45. egyenlet - (82a,5)

Jn0(q)=i2meiqr(ψ0ψnψnψ0)d3x,


ahol ψ0, ψn az atomi hullámfüggvények (az írásmód egyszerűsítéseérdekében itt és a továbbiakban elhagyjuk az atom elektronjaira valóösszegezés jelét, azaz a képleteket úgy írjuk, mintha az atomban csak egyetlen elektron lenne). Az első tagban parciálisan integrálva, a kifejezés mátrixelem formájábanírható:

9.46. egyenlet - (82a,6)

Jn0(q)=12(veiqr+eiqrv)n0,


ahol v=–(i/m)∇ az elektron sebességoperátora.

Ami a szóródó részecske áramának átmeneti mátrixelemét illeti, az az aránylag kis impulzusveszteség (|q|≪|p|) következtében egyszerűen a

9.47. egyenlet - (82a,7)

Jpp(0)=2pz


diagonális elemmel helyettesíthető, ami klasszikus egyenesvonalú mozgásnak felel meg [vö. (96,5)]; a z tényező abból ered, hogy a részecske töltése (ze) különbözhet az elektronétól.

Hogy q kicsi, az azt jelenti, hogy a részecske ϑ elhajlási szöge is kicsi. A q vektor (p-hez viszonyított) longitudinális és transzverzális komponensei:

9.48. egyenlet - (82a,8)

qdpd𝜀ωn0=ωn0v,q|p|𝜗,


úgyhogy qp≈–εωn0.

(82a,4) … (82a,8)-at (82a,2)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

Mfi(n)=–(4πze2/q2)⟨n|(ε/ωn0)(qve–iqr+e–iqrqv)+(pve–iqr+e–iqrpv)|0⟩.

Az első tagban

qvf+fqv=2iḟ,

ahol f≡e–iqr (l. III. S.149. §); ezért ennek az operátornak mátrixeleme 2i(ḟ)n0=2ωn0fn0. A második tagban e–iqr 1-gyel helyettesíthető, mivel q kicsi. Így

Mfi(n)=–(8πze2/q2){ε(e–iqr)n0–iprn0ωn0}.

E kifejezés abszolút értékének négyzete:

9.49. egyenlet - (82a,9)

|Mfi(n)|2=64π2(ze2)2(q2)2{𝜀2|(eiqr)n0|2+2(qrn0)(prn0)𝜀ωn0+(prn0)2ωn02}


(itt a második tagban az e–iqr≈1–iqr helyettesítést végeztük; ez az első tagban nem tehető meg, okát a továbbiakban fejtjük ki – l. a IX. fejezet 15. lábjegyzetét).

A gyors részecskének az atommal való rugalmatlan ütközése során fellépő energia-veszteségét[287] a

9.50. egyenlet - (82a,10)

ϰ=nωn0dσn=116π2nωn0|Mfi(n)|2dΩ


mennyiség határozza meg, ahol az összegezés az atom lehetséges végállapotaira, az integrálás a szórt részecske irányára vonatkozik; e mennyiséget effektív fékezésnek hívjuk (nevezik energiaveszteségi hatáskeresztmetszetnek is).

Az integrálás (82a,10)-ben két lépésben végezhető el: átlagolni kell p′-nek p-hez viszonyított iránya azimutszöge szerint, majd integrálni dΩ′≈2πϑdϑ szerint, ahol ϑ a kicsiny szóródási szög. Az első a

qrn0→q∥xn0=–(ωn0/v)xn0

helyettesítést jelenti, ahol xn0 az atomi elektronok egyik derékszögű koordinátájának mátrixeleme.[288] A dϑ szerinti integrálás q2 szerintivel helyettesíthető, mivel

9.51. egyenlet - (82a,11)

q2=ωn02+q2ωn02+ωn02v2+p2𝜗2=ωn02M2p2+p2𝜗2,


és így 2ϑdϑ=d|q2|∕p2 (M a gyors részecske tömege). Az eredmény a következő:

9.52. egyenlet - (82a,12)

ϰ=4π(ze2)2n|(eiqr)n0|2ωn0v2ωn03|xn0|2M2p2+1v2d|q2||q2|2.


A q2 szerinti integrál alsó határa:

9.53. egyenlet - (82a,13)

|q2|min=M2p2ωn02.


Felső határnak valamilyen |q2|1értéket választunk, melyre

9.54. egyenlet - (82a,14)

I|q2|1mm,


azaz az I és II tartományok egymást átfedő részébe esik.

Az integrálás és összegezés (82a,12)-ben hasonlóan végezhető el, mint a III. S.149. §.-ban, nemrelativisztikus esetben. A teljes integrációs tartományt két részre osztjuk: a) |q2|min-tól |q2|0-ig és b) |q2|0-tól |q2|1-ig, ahol |q2|0 értékére teljesül, hogy

9.55. egyenlet - (82a,15)

IM|p||q2|0mα


(a jobb oldalon állómα mennyiség az atomi elektronok impulzusainak nagyságrendjébe esik). Az a) részben sorba fejthetünk, e–iqr≈1–iqr, és e rész járuléka ϰ-hoz:

4π(ze2)2∑n∫|q2|min|q2|0{(1/v2)ωn0|xn0|2(1/|q2|)–(M2/p2)ωn03|xn0|2(1/|q2|2)} d|q2|≈ ≈(4π(ze2)2/v2)∑nωn0|xn0|2[ln(|q2|0p2/M2ωn02)–v2].

(A második tagban az integrálás kiterjeszthető végtelenig.) Az összegezést a

9.56. egyenlet - (82a,16)

nωn0|xn0|2=12mZ


képlet segítségével végezzük, ahol Z az atomban levő elektronok száma[l. III. (149,10)]. Az eredmény a következő:

9.57. egyenlet - (82a,17)

2π(ze2)2Zmv2ln|q2|0p2M2I2v2,


ahol I valamilyen közepes atomi energiaérték , melyet a

9.58. egyenlet - (82a,18)

lnI=nωn0|xn0|2 lnωn0nωn0|xn0|2=2mZnωn0|xn0|2 lnωn0


képlet határoz meg.

A b) részben (82a,11) szerint |q2|≈p2ϑ2, azaz |q2| nem függ az atom végállapotára jellemző n számtól; az integrálás határai ugyancsak függetlenek n-től. Ezért az n-re való összegezés (82a,12)-ben az integrandusban elvégezhető. Az első tagban ezt a

9.59. egyenlet - (82a,19)

n|(eiqr)n0|2ωn0=Z2mq2


képlet segítségével végezzük [l. III. (149,5)], az integrál értéke pedig[289]

(2πZ(ze2)2/mv2)ln(|q2|1/|q2|0).

Az integrál második tagja ebben a tartományban ϰ-hoz elhanyagolható járulékot ad.

ϰ teljes értéke kis impulzusátadásoknál tehát:

9.60. egyenlet - (82a,20)

2πZ(ze2)2mv2ln|q2|1p2M2I2v2.


Nagy impulzusátadás

A következőkben az olyan ütközéseket vizsgáljuk, amelyeknél nagy az impulzusátadás az atomi elektronok impulzusához képest (q2≫mI). Ekkor az atomban levő elektronok kötési energiája nyilvánvalóan elhanyagolható, azok szabadoknak tekinthetők. Ennek megfelelően a gyors részecske atommal való ütközése olyan, mint a Z számú atomi elektron mindegyikén való rugalmas szóródás. Emellett a részecske nagy sebessége következtében az atomi elektronok a kezdeti állapotban nyugvóna tekinthetők.

Jelöljük mΔ-val azt az energiát, melyet a gyors részecske az atomi elektronnak átad; legyen dσΔ az ilyen rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete. Az egész atomra vonatkozó differenciális effektív fékezés ekkor

9.61. egyenlet - (82a,21)

dϰ=ZmΔdσΔ.


A maximális energia, amit a vele ütköző M≫m tömegű részecske a nyugvó elektronnak átadhat:

mΔmax=(2mp2/m2+M2+2mε)≈(2mp2/M2+2mε),

ahol ε és p a bejövő részecske energiája és impulzusa [l. II. (13,13)]. A továbbiakban feltesszük, hogy bár az ε energia lehet ultrarelativisztikus (ε≫M), ugyanakkor azonban

9.62. egyenlet - (82a,22)

𝜀M2m.


Ekkor még a maximális átadott energia,

9.63. egyenlet - (82a,23)

mΔmax2mp2M2=2mv2γ2(γ=𝜀M=11v2)


is kicsi a bejövő részecske kezdeti kinetikus energiájához képest (mΔmax≪ε–M). Ennek megfelelően a q impulzusátadás is mindig kicsi a részecske kezdeti p impulzusához képest. Ez a tény lehetővé teszi, hogy az utóbbi mozgását az ütközés során változatlannak, azaz a bejövő részecskét végtelen nehéznek tekintsük. Ekkor a szórási hatáskeresztmetszet egyszerűenúgy kapható, hogy az elektronnak mozdulatlan centrumon való(81,7) szórási hatáskeresztmetszetét laboratóriumi rendszerbe transzformáljuk, melyben az elektron kezdetben nyugalomban van. Ez könnyen megtehető, ha észrevesszük, hogy a használt közelítésben

–q2≈q2=4p2sin2(ϑ/2), dΩ′=(πd|q2|/p2),

a relatív sebesség pedig mindkét rendszerben ugyanaz, v. A (81,7) összefüggés alakja most a következő:

dσ=(4π(ze2)2/v2)(1–(|q2|/4m2γ2))(d|q2|/|q2|2).

A Δ energiaátadás kifejezhető a q2 invariánssal, –q2=2m2Δ. Ezért[290]

9.64. egyenlet - (82a,24)

dσΔ=2π(ze2)2m2v21v2ΔΔmaxdΔΔ2.


Az impulzusátadás vizsgált tartományának járuléka az effektív fékezéshez úgy adódik, hogy (82a,21)-et a korábban bevezetett |q2|1-től |q2|max=2m2Δmax-ig integráljuk. Az eredmény

9.65. egyenlet - (82a,25)

2π(ze2)2Zmv2ln2Δmaxm2|q2|1v2.


Végül (82a,20)-at és (82a,25)-öt összegezve, kapjuk a gyors, nehéz részecske teljes ionizációs veszteségét:

9.66. egyenlet - (82a,26)

ϰ=4πZ(ze2)2mv2ln2mv2I1v2c2v2c2


(a szokásos egységekben). Nemrelativisztikus esetben innen a korábbi III. (150,10) képletet kapjuk:

9.67. egyenlet - (82a,27)

ϰ=4πZ(ze2)2mv2 ln2mv2I,


ultrarelativisztikus esetben pedig

9.68. egyenlet - (82a,28)

ϰ=4πZ(ze2)2mc2ln2mc2I1v2c21.


A fékezés csak a gyors részecske sebességétől függ (tömegétől nem). (82a,27) szerint a fékezés a sebesség növekedésével csökken, ez az ultrarelativisztikus tartományban lassú (logaritmikus) növekedésbe megy át.

Feladatok

1. Határozzuk meg a relativisztikus elektron effektív fékezését.

Megoldás. A kis impulzusátadások tartományának járulékát, ugyanúgy, mint előbb, (82a,20) adja. A nagy impulzusátadások tartományára (82a,24) helyett a (82,14) képletet kell használnunk. Ez figyelembe veszi a kicserélődési hatásokat. ΔdσΔ-t dΔ szerint |q2|1∕2m2-től (γ–1)∕2-ig integrálva és hozzáadva (82a,20)-hoz, a következőt kapjuk:

9.69. egyenlet - (1)

ϰ=2πZe4mv2lnm2(γ21)(γ1)c42I22γ1γ2 ln2+1γ2+(γ1)28γ2,


γ=(1–v2∕c2)–1∕2.

Nemrelativisztikus esetben a III. S.149. § feladatának képletét kapjuk, ultrarelativisztikus esetben (γ≫1)

9.70. egyenlet - (2)

ϰ=2πZe4mc2lnm2c4γ32I2+18.


2. Az előző feladat, pozitronra.

Megoldás. A nagy impulzusátadások tartományának járulékát dσΔ-hoz (82,23) adja meg, a dΔ szerinti integrálás felső határa pedig γ–1. Az eredmény ultrarelativisztikus esetben:

ϰ=(2πZe4/mc2)(ln(2m2c4γ3/I2)–(23/12)).



[287] Gyakran nevezik ionizációs veszteségeknek , bár nemcsak az ionizációval, hanem az atom gerjesztésével is összefügg.

[288] Mindegy, hogy melyiknek: a végállapotbeli atom impulzusának irányára való összegezés után az xn0 mátrixelem már független az x tengely irányától.

[289] Az integrál logaritmikus divergenciája a felső határon az oka annak, hogy (82a,12) első tagjában e–iqr nem fejthető sorba q hatványai szerint.

[290] E képletben természetesen nincsenek figyelembe véve az erős kölcsönhatás speciális effektusai, melyek fellépnek, ha a nehéz részecske hadron. Ezek (hadron-alakfaktor) azonban csak |q2|∝1∕M2 esetben válnak lényegessé, a (82a,22) feltétel pedig ezt kizárja.