Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

9. fejezet - IX. fejezet ELEKTRONOK KÖLCSÖNHATÁSA

9. fejezet - IX. fejezet ELEKTRONOK KÖLCSÖNHATÁSA

81.§. Elektronszóródás külső téren

Elektronnak állandó külső téren történő rugalmas szóródása a legegyszerűbb folyamat, mely a perturbációszámítás első közelítésében (első Born-közelítés ) végbemehet. Ennek a

9.1. egyenlet - (81,1)


egycsúcspontú diagram felel meg, ahol p és p′ az elektron négyesimpulzusa a kezdeti és végállapotban, q=p′–p. Mivel állandó térben való szóródásnál az elektron energiája nem változik (ε=ε′), ezért q=(0,q).[275]

A megfelelő szórásamplitúdó

9.2. egyenlet - (81,2)

Mfi=eū(p)Â(e)(q)u(p),


ahol A(e)(q) a külső tér háromdimenziós Fourier-transzformáltja. A szórási hatás-keresztmetszet [(65,26) szerint]

9.3. egyenlet - (81,3)

dσ=116π2|Mfi|2dΩ.


Elektrosztatikus térnél A(e)=(Ao(e),0), tehát

9.4. egyenlet - (81,4)

Mfi=eū(p)γ0u(p)Ao(e)(q)=eu(p)u(p)Ao(e)(q).


Nemrelativisztikus esetben az u(p) bispinor amplitúdók a nemrelativisztikus (kétkomponensű) amplitúdókba mennek át. Olyan szórásnál, amelyben a polarizáció nem változik, ez p-től független mennyiség, az általunk használt normálás u∗u=2m. Ezt figyelembe véve,

dσ=|–(m/2π)U(q)|2dΩ′,

ahol U(q)=aA0(e)(q) a külső térben mozgó elektron potenciális energiájának Fourier-transzformáltja; e kifejezés megegyezik az ismert Born-képlettel [III. (126,4)].

Az általános, relativisztikus esetben a polarizálatlan elektronok szórási hatáskeresztmetszetét úgy kapjuk, hogy |Mfi|2-et átlagoljuk a kezdeti, és összegezzük a végső polarizációs állapotokra. Képezni kell tehát az

(1/2)∑polar|Mfi|2

kifejezést, ahol összegezni kell a kezdeti és végállapotbeli elektronok spinjeinek lehetséges irányaira; az 1/2 tényező az egyik összegezésből átlagolást csinál. A   66. §-ban leírt szabályok szerint

(1/2)∑polar|Mfi|2=2SpϱÂ(e)∗ϱ′Â(e)=(1/2)|A0(e)(q)|2Sp(m+p̂)γ0(m+p̂′)γ0.

A nyom kiszámításakor felhasználjuk, hogy γ0p̂′γ0=p̄̂′, ahol p̄′=(ε′,–p′), és ezzel

(1/4)Sp(m+p̂)γ0(m+p̂′)γ0=(1/4)Sp(m+p̂)(m+p̄̂′)=m2+pp̄′=ε2+m2+pp′=2ε2–(q2/2).

Innen a hatáskeresztmetszet

9.5. egyenlet - (81,5)

dσ=e2|A0(e)(q)|24π2𝜀21q24𝜀2dΩ.


A ϱ(r) töltéssűrűséggel adott sztatikus töltéseloszlás tere

9.6. egyenlet - (81,6)

A0(e)(q)=4πϱ(q)q2,


ahol ϱ(q) a ϱ(r) eloszlás Fourier-transzformáltja (alakfaktor). Ze nagyságú ponttöltésre: ϱ(q)=Ze. A szórási hatáskeresztmetszet

9.7. egyenlet - (81,7)

dσ=dΩ4(Ze2)2𝜀2q41q24𝜀2


(N. F. Mott, 1929). q2=4p2sin2(∕2), ahol a szórásszög . Ezért a zárójel előtt álló kifejezés éppen a Rutherford-hatáskeresztmetszet

9.8. egyenlet - (81,8)

dσR=dΩ4(Ze2)2𝜀2q4=dΩ(Ze2)2𝜀24p4 sin4𝜃2


(nemrelativisztikus határesetben ε2∕p4→1∕m2v4).így[276]

9.9. egyenlet - (81,9)

dσ=dσR1v2 sin𝜃2.


Ultrarelativisztikus esetben a nemrelativisztikustól eltérően a hátraszórás erősen elnyomott (→π: dσ∕ dσR→m2∕ε2).

Ultrarelativisztikus esetben a kis szögekben történő szóródásra (81,7)-ből

9.10. egyenlet - (81,10)

dσ=4(Ze2)2𝜀2𝜃4dΩ.


Bár erre a képletre Born-közelítésben (azaz Ze2≪1 feltevéssel) jutottunk,Ze2∼1 mellett is érvényes marad (≾m∕ε szögekre). Erről meggyőződhetünkúgy, hogy a (39,10) pontos (Ze2-ben) ultrarelativisztikus ψεp+ hullámfüggvényt használjuk. Ez a (39,2) tartományban érvényes megoldás természetesen tetszőlegesen nagy r mellett érvényes marad. Itt

F∼1+const⋅ei(pr–pr), (α∇F/ε)∼1–cos∼2≪1,

úgyhogy a korrekciós tag, amint annak lennie kell, kicsi. Az eiprF alakú hullámfüggvény ugyanolyan, mint a nemrelativisztikus (a paraméterek megfelelő megváltoztatása mellett), aszimptotikus alakjuk is megegyezik, így a hatáskeresztmetszetre a Rutherford-féle kifejezést kapjuk.

A tetszőlegesen polarizált elektronokra érvényes hatáskeresztmetszet kiszámításához a (29,13) sűrűségmátrixra vonatkozó általános szabályokat kellene felhasználni. Az adott esetben azonban rövidebb úton is célhoz érhetünk, ha az u(p′), u(p) bispinor amplitúdók (23,9) alakját használjuk; szorzatukra a következő kifejezést kapjuk:

u∗(p′)u(p)=w′∗{ε+m+(ε–m)(n′σ)(nσ)}w,

vagy a (33,5) összefüggést felhasználva,

9.11. egyenlet - (81,11)

u(p)u(p)=wfw,


ahol[277]

f=A+Bνσ,

9.12. egyenlet - (81,12)

A=(𝜀+m)+(𝜀m)cos𝜃,B=i(𝜀m)sin𝜃,


ν=(n×n′/sin).

A kétkomponensű w mennyiség (háromdimenziós spinor) az elektron nemrelativisztikus spinhullámfüggvénye. Részlegesen polarizált állapotokra úgy térhetünk át, hogy a wαwβ∗ szorzatot (α,β spinorindexek) a nemrelativisztikus 2×2-es ϱαβ sűrűségmátrixszal helyettesítjük. El kell végezni tehát az

|Mfi|2→e2|A0(e)(q)|2Spϱ(A–Bνσ)ϱ′(A+Bνσ)

helyettesítést, ahol

ϱ=(1/2)(1+σζ), ϱ′=(1/2)(1+σζ′),

ζ és ζ′ pedig a polarizációs vektor a kezdeti és végállapotban, ezeket a detektorok regisztrálják. A nyom kiszámítása a következő eredményre vezet:

9.13. egyenlet - (81,13)

dσ=dσ01+(A2|B|2)ζζ+2|B|2(νζ)(νζ)+2A|B|ν(ζ×ζ)A2+|B|2,


ahol dσ0 a polarizálatlan elektronokra vonatkozó szórási hatáskeresztmetszet.

A (81,13)-ban levő zárójeles kifejezést {1+ζ(f)ζ′} alakban írjuk fel, és leolvassuk a végállapotbeli elektron ζ(f) polarizációját (ez eltér a detektált ζ′ polarizációtól – I.  66. §.):[278]

9.14. egyenlet - (81,14)

ζ(f)=(A2|B|2)ζ+2|B|2(νζ)ν+2A|B|ν×ζA2+|B|2.


Látható, hogy a szórt elektronok csak akkor polarizáltak, ha a beeső elektronok is azok. Ez a tény az első Born-közelítésáltalános jellemzője (vö. III. 140. §).

Nemrelativisztikus esetben (ε→m) (81,14)-ből ζ(f)=ζ adódik, azaz az elektron polarizációját a szóródás során megtartja (ez a spin–pálya kölcsönhatás elhagyásának természetes következménye).

Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben

A=ε(1+cos), B=–iεsin

a (38,2) általános képlettel összhangban.

Ha emellett a beeső elektron helicitása meghatározott (ζ=2λn,λ=±1∕2), akkor (81,14)-ből egyszerű átalakítással kapjuk, hogy

ζ(f)=2λn′.

Más szóval, az elektron helicitása a szóródás során nem változik.

Ez a körülmény, mint azt a   38. §-ban már kifejtettük, azzal van kapcsolatban, hogy a tömeget elhanyagolva, a Dirac-egyenlet spinorreprezentációbeli alakja két független, ξ-re és η-ra vonatkozó egyenletre esik szét. Ennek általánosabb jelentése is van, mivel a

j=(ξ∗ξ+η∗η, ξ∗σξ–η∗ση)

áram és ezzel együtt az elektromágneses kölcsönhatás V=ejA operátora ξ-ben és η-ben vegyes tagot nem tartalmaz, és így a ξ és η állapotok között nincs nem eltűnő mátrixeleme. Ebből következik az, hogy ha az ultrarelativisztikus elektron helicitása meghatározott (vagy ξ vagy η különbözik zérustól), akkor a folyamat során ez megmarad, ha az elektron tömegét elhanyagoljuk.



[275] Külső térben való szóródásnál ezt a diagramot a négyesimpulzus-megmaradás tetmészetesen nem tiltja [a valódi fotonra vonatkozó (74,19) diagrammal ellentétben]: q2-nek, a valódi foton impulzusnégyzetétől eltérően, nem kell zérusnak lennie, a külső térre vonatkozó Fourier-integrálból automatikusan kiválasztódik a megkövetelt q-val rendelkező komponens.

[276] A dσ és dσR, közötti eltérés a feles spinű részecskékre jellemző. 0 spinű részecskék szórására (ha elektromágneses térben való mozgásukat hullámegyenlettel írnánk le) azt kapnánk, hogy dσ=dσR. Első pillantásra érthetetlennek tűnik, hogy ez a tisztán kvantumos effektust leíró kifejezés nem tartalmazza a ℏ tényezőt. Arra kell azonban gondolnunk, hogy a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele ((e2/hv)≪1) ellentétben van a Coulomb-térben való kváziklasszikus mozgás feltételével, és ezért a (81,9) képletben nem térhetünk át klasszikus esetre.

[277] f definíciója a   38. §-belitől általános szorzótényezőben különbözik.

[278] (81,14) a III 140. § 1. feladatában kapott képletnek felel meg, és az A valós, B képzetes esetre adódik.