Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

78.§. A diagramtechnika általános szabályai

78.§. A diagramtechnika általános szabályai

74. § és  75. §-ban néhány egyszerű esetben kiszámítottuk a szórásmátrix elemeit. A számítás az általános módszer minden lényeges lépését tartalmazta. Nem okoz nehézséget, hogy megfelelő általánosításokkal megállapítsuk a mátrixelemek kiszámítására vonatkozó általános szabályokat a perturbációszámítás tetszőleges rendjében.

Már láttuk, hogy az S szórásoperátor mátrixeleme tetszőleges kezdeti és végállapot között megegyezik annak az operátornak vákuumbeli várható értékével, melyet úgy kapunk, hogy S-et jobbról a kezdeti állapotban levő részecskék keltő, balról a végállapotokban levő részecskék eltüntető operátoraival szorozzuk.

Ilyen redukció után az S-mátrix eleme a perturbációszámítás n-edik rendjében a következő:

8.83. egyenlet - (78,1)

fS(n)i=(ie)nn!0b2fb1fa1fc1fd4x1d4xn××T{(Ψ̄1Â1Ψ1)(Ψ̄nÂnΨn)}c1i+a1i+b1i+0(78,1)


[az 1i,2i,… indexek a kezdeti részecskéket (pozitronokat, elektronokat és fotonokat külön-külön), az 1f,2f,… indexek a végső részecskéket jelölik; a ΨésA operátorok 1,2,… indexeinek jelentése: Ψ1=Ψ(x1),…]. Az itt szereplőΨés A operátorok a különbözőállapotban levő részecskék keltőés eltüntető operátorainak lineáris kombinációi. Tehát olyan kifejezés vákuumbeli várhatóértékét kell kiszámítanunk, amely keltőés eltüntető operátoroknakés azok lineáris kombinációinak szorzata. Ehhez a következőállítások nyújtanak segítséget, az állítások adják a Wick-tétel tartalmát (G. C. Wick , 1950).

1. Tetszőleges számú c+, c bozonoperátor szorzatának vákuumbeli várható értékét úgy számíthatjuk ki, hogy a párosított operátorok vákuumbeli várható értékeit összeszorozzuk, és összegezünk a lehetséges párosításokra (kontrakció). A párokon belül a tényezők sorrendje ugyanaz, mint az eredeti szorzatban.

2. a+, a, b+, b fermionoperátorokra (azonos vagy különböző részecskékre) a szabály annyiban változik, hogy az összeg egyes tagjainak előjele + vagy – aszerint, hogy páros vagy páratlan számú felcseréléssel lehet az operátorpárok tényezőit egymás mellé hozni.

Világos, hogy a várható érték csak abban az esetben különbözik nullától, ha minden a, b, c tényező mellett a szorzat az a+, b+, c+ tényezőket is tartalmazza. Továbbá csak olyan (a,a+),… operátorok párosíthatók, amelyek azonos állapotokra vonatkoznak; az a+,… operátornak a,…-tól jobbra kell állnia: egy részecskét előbb kell kelteni, csak aztán lehet eltüntetni (⟨0∣a+a∣0⟩=0).

Ha a szorzatban minden (a,a+)… pár csak egyszer fordul elő, akkor Wick tétele nyilvánvaló (a várható érték ekkor egyetlen tagból áll). Azonnal következik abban az esetben is, ha az összes a, b, c eltüntető operátor a szorzatban az a+, b+, c+ keltő operátoroktól jobbra helyezkedik el (ezt hívják normálszorzatnak) ; a várható érték ekkor nulla. Ezekből kiindulva teljes indukcióval könnyen igazolható a tétel az általános esetben is, mikor egy operátorpár többször (k-szor) lép fel a szorzatban.

Vizsgáljuk a ⟨0∣…cc+…∣0⟩ várható értékét; tegyük fel, hogy a c, c+ bozonoperátorpár k-szor fordul elő (a további meggondolások teljesen hasonlóan mondhatók el fermionoperátorokra). Valamelyik párban felcseréljük a c, c+ operátorokat, a felcserélési törvények szerint

8.84. egyenlet - (78,2)

0cc+0=0c+c0+010.


A ⟨0∣…1…∣0⟩ várhatóérték k–1 operátorpárt tartalmaz, feltettük, hogy erre a Wick-tétel érvényes. Másrészt a Wick-tétel szerint a ⟨0∣…cc+…∣0⟩ várhatóérték a ⟨0∣…c+c…∣0⟩ várhatóértéktől a

⟨0∣…1…∣0⟩⟨0∣cc+∣0⟩=⟨0∣…1…∣0⟩

tagban különbözik (⟨0∣…c+c…∣0⟩ kifejtésében a megfelelő tag ⟨0∣…1…∣0⟩×⟨0∣c+c∣0⟩=0). Ezért (78,2)-ből következik, hogy ha a tétel a ⟨0∣…c+c…∣0⟩ mátrixelemre érvényes, akkor az marad c és c+ felcserélése után is. Mivel a tényezők egy meghatározott sorrendjére (normálszorzat) érvényes a tétel, ezért tetszőleges esetben is az.[267]

Ha a Wick-tétel az a,b,… operátorok szorzatára igaz, akkor igaz tetszőleges szorzatra is, amely a,b,… mellett azok Ψ, Ψ̄,A lineáris kombinációit is tartalmazza. A tételt a (78,1) mátrixelemre alkalmazva, azt összegként állíthatjuk elő, melynek minden tagja néhány operátorpár várható értékének szorzata. Az utóbbiak között előfordulnak majd a Ψ,Ψ̄,A operátorokból és a „külső” operátorokból – a kezdeti részecskék keltő vagy a végső részecskék eltüntető operátoraiból – alkotott párok. Ezeket ki lehet fejezni a részecskék hullámfüggvényeivel :

8.85. egyenlet - (78,3)

0Acp+0=Ap0cpA0=Ap,0ΨAp+0=ψp0apΨ̄0=ψ̄p,0bpΨ0=ψp0Ψ̄bp+0=ψ̄p,


ahol Apés ψp a p impulzusú foton és elektron hullámfüggvénye (a polarizációs indexeket a 74. §és 75. §-hoz hasonlóan a rövidség kedvéért nemírjuk ki). Ugyancsak előfordulnak a „belső”, a T-szorzaton belül álló operátorpárok. Mivel a Wick-tétel alkalmazása során a tényezők egymás utáni sorrendje egy páron belül nem változik, e párokban az operátorok sorrendje kronologikus lesz, és így éppen a megfelelő propagátorokhoz vezetnek.[268]

A Wick-tétel segítségével összeggé átalakított mátrixelem mindegyik tagjához egy meghatározott Feynman-diagram tartozik. Az n-edik közelítés diagramjai n vertexet tartalmaznak, mindegyikhez egy integrációs változó tartozik – az x1,x2,… négyesvektorok valamelyike. Minden vertexben három vonal találkozik – két folytonos (elektron) és egy szaggatott (foton), ezek ugyanattól az x változótól függő elektron- (Ψ és Ψ̄) és foton- (A) operátoroknak felelnek meg. A Ψ operátorhoz befutó, a Ψ̄-hez kifutó vonal tartozik.

Illusztrációként néhány példát mutatunk egy harmadrendű mátrixelem tagjai és a gráfok közötti megfeleltetésre. Elhagyva az integráljelet, a T szimbólumot és az operátorok argumentumait, a tagokat szimbolikusan a következő alakban írjuk:

8.86. egyenlet - (78,4)


A szemléletesség kedvéért az elektron- és fotonpárokat, ugyanúgy, mint a diagramon, folytonos és szaggatott ívekkel jelöltük. Az elektroníveken levő nyíl (Ψ̄-tól Ψ felé mutat) megfelel a gráfbeli irányításnak. A belső fotonpároknál az irányítás lényegtelen (ami abból is kitűnik, hogy a fotonpropagátor x–x′ páros függvénye).

Az így kapott tagok között vannak egymással ekvivalensek, ezek csak annyiban különböznek, hogy az egyes vertexekhez tartozó változók jelölése, tehát az integrációs változó más. Az x1,x2…xn változókat n! különböző módon oszthatjuk el a csúcsok között. Ez a (78,1)-ben levő 1∕n! tényezővel 1-et ad, ezután nem kell külön figyelembe venni azokat a diagramokat, amelyekben a csúcsok fel vannak cserélve. Ezzel a körülménnyel a  74. § és  75. §-ban már találkoztunk. Így például a következő két másodrendű diagram ekvivalens egymással:

8.87. egyenlet - (78,5)


(78,4)-ben és (78,5)-ben csak a belső párosítások vannak feltüntetve, ezeknek a gráfok belső vonalai felelnek meg (virtuális elektronok és fotonok). A fennmaradó többi operátort külső operátorokkal kell párosítani. Ennek eredményeképpen megfeleltethetjük egymásnak a gráf szabad végeit és a kezdeti és végállapotbeli részecskéket. Ψ̄-hoz (af vagy bi+ operátorral párosítva) végső elektron- vagy kezdeti pozitronvonal, Ψ-hez (ai+ vagy bf operátorral párosítva) kezdeti elektron- vagy végső pozitronvonal tartozik. A szabad A operátorhoz (ci+-tel vagy cf-fel párosítva) kezdeti és végállapotbeli foton egyaránt tartozhat. Ily módon mindig kapunk néhány topológiailag azonos (azonos számú, azonosan elrendezett vonalból álló) gráfot, melyekben csak a kezdeti és végállapotbeli részecskék, azaz a be- és kifutó szabad végek vannak egymás között felcserélve.

Minden ilyen csere, nyilvánvalóan a külső a,b,… operátorok meghatározott cseréjével ekvivalens (78,1)-ben. Ezért világos, hogy ha a kezdeti vagy végső részecskék között azonos fermionok vannak, akkor az egymástól a szabad végek páratlan számú cseréjében különböző gráfokhoz tartozó mátrixelemek ellentétes előjelűek.

Ha egymás utáni elektronvonalakon haladunk megszakítás nélkül, a nyilak mindig azonos irányba mutatnak. Az ilyen vonalnak vagy két szabad vége van, vagy zárt hurkot alkot. Így a

diagramban két csúcsot tartalmazó hurok van. Hogy az elektronvonal irányítása nem változik, az a töltésmegmaradás grafikus kifejezése: az egy csúcsba befutó és kifutó össztöltés megegyezik.

A bispinor indexek egy folytonos elektronvonal mentén úgy helyezkednek el, hogy a mátrixokat balról jobbra a nyíl irányával ellentétes irányban kell leírni. A különböző elektronvonalakhoz tartozó bispinor indexek soha nem keverednek. Egy nem zárt vonal mentén az indexek sorozata a szabad végeknél az elektron (vagy pozitron) hullámfüggvényeivel végződik. Zárt hurok esetén az indexek sorozata is zárt, azaz a megfelelő mátrixok szorzatának nyomát kell képezni. Könnyű belátni, hogy az utóbbit negatív előjellel kell venni.

Valóban, egy k sarokrészt tartalmazó hurok k db operátorpárt jelent

(vagy más ekvivalens párosítást, melyben csak a csúcsok vannak felcserélve). A (k–1)-edik párban a Ψ és Ψ̄ operátorok már olyan sorrendben állnak (Ψ̄ a Ψ-től jobbra), ahogy az elektronpropagátorban állniuk kell. A szélen álló operátorok más ψ-operátorokkal való páros számú felcseréléssel hozhatók egymás mellé, ezután sorrendjük Ψ̄Ψ.

Mivel

⟨0∣TΨ̄′Ψ∣0⟩=–⟨0∣TΨΨ̄′∣0⟩

(vö. a VIII. fejezet  11. lábjegyzetével), ezért, ha ezt az operátorpárt a propagátorral helyettesítjük, akkor az egész kifejezés előjele megváltozik.

Impulzusreprezentációra az általános esetben ugyanúgy térhetünk át, mint a 74. § és 75. §-ban. A négyesimpulzus megmaradásának általános törvénye mellett, minden vertexben külön-külön meg kell maradnia a négyesimpulzusnak. Előfordulhat, hogy e megmaradási törvények együttesen sem biztosítják azt, hogy a gráf belső vonalaihoz tartozó impulzusok egyértelműen meghatározottak legyenek. Ez esetben az összes, nem meghatározott belső impulzusra integrálni kell [d4p=(2π)4 szerint] a teljes p-térre (dp0 szerint is –∞-től +∞-ig).

A taglalás során végig feltételeztük, hogy a perturbáció szerepét a reakcióban „aktívan” részt vevő részecskék közötti kölcsönhatás játssza (azon részecskék között, amelyeknek állapota a folyamat eredményeképpen megváltozik). Hasonló módon vizsgálható az az eset, amikor a feladatban külső elektromágneses tér szerepel, azaz „passzív”, állapotukat a folyamat során nem változtató részecskék által keltett tér.

Legyen A(e)(x) a külső tér négyespotenciálja. A kölcsönhatás Lagrange-operátorában ez az A fotonoperátorral együtt, az A+A(e) összeg formájában lép fel (szintén a j áramoperátorral szorozva). Mivel A(e) nem tartalmaz operátort, ezért nem is párosítható más operátorral. Másképp fogalmazva, külső térnek a Feynman-diagramban mindig külső vonal felel meg.

Írjuk fel A(e)-t Fourier-integrálként

8.88. egyenlet - (78,6)

A(e)(x)=A(e)(q)eiqxd4q(2π)4,A(2)(q)=A(e)(x)eiqxd4x.(78,6)


A mátrixelemek impulzusreprezentációbeli alakjában a q négyesvektor más, valódi részecskéknek megfelelő külső vonalak négyesimpulzusaival együtt lép fel. A külső tér minden vonalához az A(e) tényező tartozik, a vonalakat„befutónak” kell tekinteni, mivel az A(e)(q)-val együtt fellépőe–iqx tényezőben a kitevő előjele negatív („kifutó” vonalhoz az A(e)∗(q) tényezőt kellene rendelni). Ha a négyesimpulzus megmaradási törvénye (a valódi részecskék adott négyesimpulzusa mellett) nem rögzíti egyértelműen a külső térhez tartozó minden vonal négyesimpulzusát, akkor a „szabadon” maradóq-ra, ugyanúgy, mint a gráf többi nem rögzített négyesimpulzusára, [d4q∕(2π)4 szerint] integrálni kell.

Ha külső tér nem függ az időtől, akkor

8.89. egyenlet - (78,7)

A(e)(q)=2πδ(q0)A(e)(q),


ahol a A(e)(q) a háromdimenziós Fourier-komponenst jelöli

8.90. egyenlet - (78,8)

A(e)(q)=A(e)(r)eiqrd3x.


Ez esetben a külső vonalnak az A(e)(q) mennyiség felel meg, melynek négyesimpulzusa qμ=(0,q). A külső tér vonalát tartalmazó vertexen keresztül haladó elektronvonalak energiái a megmaradási törvény miatt azonosak. A további „szabadon” maradó háromdimenziós impulzusokra, melyek a belső vonalakhoz tartoznak, (d3p/(2π)3) szerint kell integrálnunk. Az így kiszámított Mfi amplitúdó (65,25) révén meghatározza a folyamat hatáskeresztmetszetét.

Összefoglaljuk a gráfszabályokat , amelyeknek segítségével felírható a szórásamplitúdó impulzusreprezentációbeli alakja.

1. A perturbációszámítás n-edik közelítésének az n csúcsot tartalmazó diagramok felelnek meg, minden csúcshoz egy befutó és egy kifutó elektron- (folytonos) és egy foton- (szaggatott) vonal fut össze. Az összes olyan diagramot figyelembe kell venni, melyek szabad végeinek (külső vonalainak) száma a kezdeti és végállapotbeli részecskék számával egyenlő.

2. Minden külső, befutó, folytonos vonalhoz egy kezdeti elektron u(p) vagy egy végső pozitron u(–p) amplitúdója tartozik (p a részecske négyesimpulzusa). A kifutó, folytonos vonalakhoz egy végső elektron ūp vagy egy kezdeti pozitron ū(–p) amplitúdóját rendeljük.

3. Minden vertexhez tartozik egy γμ négyesvektor.

4. Minden külső, befutó, szaggatott vonalhoz egy kezdeti foton √(4π)eμ, kifutó vonalhoz egy végső foton √(4π)eμ∗ amplitúdója tartozik (e a polarizáció négyesvektora). A μ vektorindexeket a megfelelő csúcshoz rendelt γμ mátrix indexével kell összeejteni (úgy, hogy az ê≡eγ vagy ê∗ skalárszorzat lépjen fel).

5. A belső folytonos vonalaknak az iG(p), a belső szaggatott vonalaknak a –iDμν(p) tényező felel meg. A μν tenzorindexeket a szaggatott vonal által összekötött csúcsokhoz tartozó γμ, γν mátrixok vektorindexeivel kell összeejteni.

6. Végig elektronvonalakon haladva, a nyilak iránya nem változhat, a bispinor indexek elhelyezése olyan, hogy az a mátrixok balról jobbra, a nyilak irányával ellentétes sorrendben való leírásának felel meg. Zárt elektronhurok a hurokhoz tartozó mátrixok szorzatának nyomát jelenti.

7. Az egy csúcsban összefutó vonalakhoz tartozó négyesimpulzusokra megmaradási törvény érvényes, azaz a befutó vonalak impulzusainak összege megegyezik a kifutókéhoz tartozó impulzusok összegével. A szabad végekhez tartozó impulzusok adott mennyiségek (az impulzusmegmaradást teljesítik), pozitronvonalhoz –p impulzus tartozik. A csúcsokban külön-külön érvényes impulzusmegmaradás által nem rögzített belső impulzusokra integrálni kell [d4p∕(2π)4 szerint].

8. Külső térnek megfelelő, befutó szabad véghez A(e)(q) tényezőt rendelünk; a q négyesvektort a csúcsban összefutó vonalak négyesimpulzusaival megmaradási törvény köti össze. Ha a tér időben állandó, akkor a külső vonalhoz qμ=(0,q) négyesimpulzus tartozik, és ehhez a tér háromdimenziós A(e)(q) Fourier-komponensét rendeljük [a négydimenziós komponenssel való kapcsolat ebben az esetben A(e)(q)=2πδ(q0)A(e)(q)]; a belső vonalak nem rögzített hármasimpulzusaira d3p∕(2π)3 szerint integrálni kell.

9. A gráfhoz tartozó általános szorzótényező (–ie)n, a gráf így lép fel az iMfi mátrixelemben. További szorzótényezők: –1 minden zárt elektronhurokhoz, továbbá minden szabad pozitronpárhoz, ha ez a pár folytonos vonal két végét alkotja. Ha a kezdeti vagy végállapotbeli részecskék között több elektron vagy pozitron van, akkor két olyan gráf relatív előjelének, melyek egymástól azonos részecskék páratlan számú cseréjében különböznek, ellentétesnek kell lennie.[269]



[267] Példaként felírjuk négy operátor (két egyforma pár) szorzatának vákuumbeli várható értékét. Bozonoperátorokra ⟨0∣cc+cc+∣0⟩=cc+cc+=1, ⟨0∣ccc+c+∣0⟩=ccc+c++ccc+c+=2, az ívek a párokat jelölik. Könnyen igazolható, hogy a közvetlen számítás eredménye ugyanez. ⟨0∣ccc+c+∣0⟩=⟨0∣c∣1⟩⟨1∣cc+∣1⟩⟨1∣c+∣0⟩=1⋅2⋅1. Fermionoperátorokra⟨0∣aa+aa+∣0⟩=1, ⟨0∣aaa+a+∣0⟩=1–1=0(az utóbbi eredmény a Pauli-elvből világosan következik: két azonos állapotú fermiont kelteni nem lehetséges).

[268] Az utolsó kijelentéssel összefüggésben a következő megjegyzést kell tenni. A Wick-tétel bizonyításánál felhasználtuk a c, c+ operátorok felcserélési törvényeit, melyeket csak valódi („transzverzális”) fotonokra értelmeztünk. A „külső” ci+, cf operátorok természetesen mindig ilyen (kezdeti és végső) fotonokra vonatkoznak. A (T-szorzaton belül álló) A operátorok, mint azt a  77. §-ban megmutattuk, nemcsak a transzverzális elektromágneses teret írják le. A helyzet ugyanaz, mint a  77. §-ban Dμν kiszámításakor. A relativisztikus és a mértékinvariancia következtében a tételt elég olyan szorzatokra (azaz a ⟨0∣TAμAν…∣0⟩ tenzorkomponensekre) bizonyítani, amelyeket a potenciálok transzverzális része meghatároz. Ebből már következik, hogy a tétel tetszőleges szorzatra is igaz.

[269] Az utóbbi állításhoz kiegészítésképpen hozzátesszük, hogy az összes, folytonos vonalaiban azonos szerkezetű gráfnak, tehát azoknak, amelyek a fotonvonalak eltávolítása után azonosak, azonos előjelű a járuléka. Emlékeztetőül még megjegyezzük, hogy azonos fermionok jelenléte esetén az amplitúdó előjele nem meghatározott.