Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

77.§. A fotonpropagátor

77.§. A fotonpropagátor

Az A elektromágneses tér operátorainak explicit alakját mindeddig (43. § és  75. §) csak olyan mátrixelemek kiszámításához használtuk, ahol a valódi fotonok száma változott. Erre a célra megfelelt a szabad tér potenciáljainak a  2. §-ban megadott, transzverzális síkhullámok szerint kifejtett alakja.

Ez az alak azonban nem adja tetszőleges tér teljes leírását. Ez már a klasszikus elektrodinamikában fellépő analóg helyzet alapján is érthető: tetszőleges tér (töltések jelenlétében) nem fejthető ki transzverzális hullámok szerint; a transzverzális rész mellett (amit a divA=0 feltételt kielégítő A vektorpotenciál ír le) sztatikus Coulomb-kölcsönhatás is létezik, amit a Φ skalárpotenciál ír le.[263]

Lényegében tehát nem ismerjük az A operátor teljes definícióját, enélkül pedig nem tudjuk kiszámítani a

8.69. egyenlet - (77,1)

Dμν(xx)=i0TAμ(x)Aν(x)0


fotonpropagátort . Másrészről azok az operátorok, amelyeket az elektromágneses tér teljes kvantált leírásához be kellene vezetnünk, a különböző mértékfeltételek következtében nem egyértelműek.

E nehézségek szerencsére csak formálisak, és nem fizikai jellegűek; felhasználva a propagátor néhány általános tulajdonságát, melyek jól láthatóan a relativisztikus invariancia és mértékinvariancia követelményéből adódnak, megkerülhetőek.

A ξ=x–x′ négyesvektortól függő, másodrendű négyestenzor legáltalánosabb alakja

8.70. egyenlet - (77,2)

Dμν(ξ)=gμνD(ξ2)μνD(l)(ξ2),


ahol D, D(l) az invariáns ξ2 skalár függvényei.[264] Megjegyezzük, hogy a tenzor automatikusan szimmetrikusnak adódik.

A megfelelő impulzusreprezentációbeli alak

8.71. egyenlet - (77,3)

Dμν(k)=D(k2)gμν+kμkνD(l)(k2),


ahol D(k2), D(l)(k2) a D(ξ2), D(l)(ξ2) függvények Fourier-transzformáltjai .

Fizikai mennyiségekben – szórásamplitúdó – a fotonpropagátor elektronáramokkal szorzott alakja, tehát a j21μDμνj43ν kombináció lép fel [lásd pl. (74,13)-at]. Az árammegmaradás (∂μjμ=0) következtében a j21=ψ̄2γψ1 áram-mátrixelem a

8.72. egyenlet - (77,4)

kμ(jμ)21=0


feltételt elégíti ki, ahol k=p2–p1 [vö. (43,13)]. Így világos, hogy a

8.73. egyenlet - (77,5)

DμνDμν+ξμkν+ξνkμ


helyettesítés során minden fizikai mennyiség változatlan marad, itt ξμk-nak ésk0-nak tetszőleges függvénye. Ez az önkény Dμν megválasztásában a különböző mértékeknek felel meg.

Egy tetszőleges (77,5) mértéktranszformáció megsértheti Dμν (77,3)-ban feltételezett relativisztikus invarianciáját (akkor, ha ξμ nem négyesvektor). De ettől eltekintve is látható, hogy (77,3)-ban a D(l)(k2) függvény megválasztása teljesen önkényes; a fizikai eredményekre nincs hatása:[265]

A propagátorfüggvény kiszámítása tehát egyetlen mértékinvariáns D(k2) függvény meghatározására vezethető vissza. Legyen k2 értéke adott, és mutasson a z tengely k irányába, ekkor a (77,5) transzformáció során a Dxx=Dyy=D(k2) komponensek nem változnak. Elegendő tehát az egyetlen Dxx komponenst kiszámítanunk, és emellett a potenciálokra tetszőleges mértéket használhatunk.

Azt a mértéket használjuk, melyben divA=0, az A operátort a (2,17), (2,18) összeg adja meg:

8.74. egyenlet - (77,6)

A=kα2πω(ckαe(α)eikx+ckα+e(α)eikx),ω=|k|


(α=1,2 a polarizációt jelöli). A c, c+ operátorok szorzatai közül csak egynek a vákuumbeli várhatóértéke nem tűnik el: ⟨0∣ckαckα+∣0⟩=1. A (77,1) definíció szerint ezért

8.75. egyenlet - (77,7)

Dik(ξ)=1(2π)32πid3kωαei(α)ek(α)eiω|τ|+ikξ


[i,k=x,y,z hármasvektorindexek, a k szerinti összegezést d3k∕(2π)3 szerinti integrálra írtuk át].

(77,7)-ből látható, hogy az integrandus, az eikξ tényezőt nem számítva, a Dik(r,t) függvény háromdimenziós Fourier-transzformáltja . A Dxx=–D komponensre ez

(2πi/ω)e–iω|τ|

(a polarizációs összeg ∑|dxα|2=1). Dxx(k2) meghatározásához még az szükséges, hogy ezt idő szerinti Fourier-integrál alakban írjuk fel. Ez megtehető a

(2π/ω)e–iω|τ|=–(1/2π)∫–∞∞(4π/k02–k2+i0)e–ik0τdk0

képlet segítségével. Az előző szakaszban tisztáztuk, hogy az integrálás során a

k 0=±|k|±ω pólusokat megfelelően felül, ill. alul kell megkerülni; τ>0 esetén az integrált a k0=+ω, τ<0 esetén a k0=–ω pólus reziduuma határozza meg.

A következő végeredményt kapjuk:

8.76. egyenlet - (77,8)

D(k2)=4πk2+i0.


A nevezőben automatikusan megjelenő+i0 megfelel a (76,15) szabálynak: a foton (zérus) tömegéből i0-t ki kell vonni. (77,8)-ból nyilvánvaló, hogy a megfelelőD(ξ2) koordinátatérbeli függvény kielégíti a

8.77. egyenlet - (77,9)

μμD(xx)=4πδ(4)(xx)


egyenletet, azaz D a hullámegyenlet Green-függvénye .

Általában a D(l)=0 feltevéssel fogunk dolgozni, tehát a terjedési függvényt a

8.78. egyenlet - (77,10)

Dμν=gμνD(k2)=4πk2+i0gμν


alakban használjuk.

Bemutatunk más mértékválasztási lehetőségeket is, amelyek bizonyos alkalmazásokban hasznosnak bizonyulhatnak.

Legyen D(l)=–D∕k2, ekkor a propagátor

8.79. egyenlet - (77,11)

Dμν=4πk2gμνkμkνk2


(Landau-mérték) . Fennáll, hogy Dμνkν=0. Ez a választás a potenciálokra vonatkozó Lorentz-mértékkel analóg (Aμkμ=0).[266]

A potenciálra vonatkozó háromdimenziós divA=0 feltétel a propagátorra nézve a Dilkl=0, D0lkl=0 feltételekkel ekvivalens. A Dxx=–D=–4π∕k2 egyenlettel együtt ezek a

8.80. egyenlet - (77,12)

Dil=4πω2k2δilkiklk2


alakban írhatók. Hogy ilyen alakot kapjunk, ahhoz a (77,10) propagátoron egy (77,5) típusú transzformációt kell végezni a

χ0=–(4πω/(ω2–k2)k2), χi=(4πki/(ω2–k2)k2)

választással. Ekkor Dμν további komponensei:

8.81. egyenlet - (77,13)

D00=4πk2,D0i=0.


Ezt Coulomb-mértéknek hívjuk (E. Salpeter , 1952); megjegyezzük, hogy D00 most a Coulomb-potenciál Fourier-transzformáltja .

Végül az a mérték, melyben Φ=0 megfelel a propagátorra vonatkozó olyan mértéknek, amelyben

8.82. egyenlet - (77,14)

Dil=4πω2k2δilkiklω2,D0i=D00=0.


Nemrelativisztikus feladatokhoz ez a választás alkalmas (I. E. Dzjalosinszkij ,L. P. Pitajevszkij , 1959).



[263] A divA=0 feltétel mellett az A-ra és Φ-re érvényes Maxwell-egyenletek:□A=–4πj+∇(∂Φ/∂t), ΔΦ=–4πϱA kifejthető transzverzális hullámok (a □A homogén egyenlet megoldásai) szerint. A Φ potenciál a sztatikus Poisson-egyenletet elégíti ki.

[264] Mindkettő három különböző függvényt jelent, melyek Lorentz-transzformációval nem vihetők át egymásba: a fénykúpon kívül (ξ2<0), az előre fénykúp (ξ2>0, ξ0>0) és a hátra fénykúp (ξ2>0, ξ0<0) belsejében.

[265] Erre a tényre L. D. Landau mutatott rá először (1954).

[266] Hasonló alakú az 1 spinű, nemzérus tömegű részecskék propagátora: Dμν=(1/k2–m2)(gμν–(kμkν/m2)), (77,11a)itt a propagátor egyértelmű, nem lehet különböző mértékeket választani. A (77,11a) propagátor tenzorszerkezete ekkor, mint az elvárható, megegyezik a polarizálatlan vektorrészecskék (14,15) sűrűségmátrixával.