Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

76.§. Az elektronpropagátor

76.§. Az elektronpropagátor

Az előző szakaszokban bevezetett terjedési függvények (propagátorok) alapvető szerepet játszanak a kvantumelektrodinamikában. A Dμν fotonpropagátor alapmennyiség két elektron kölcsönhatásának leírásában. Ezt a szórásamplitúdóban elfoglalt helye szemléletesen is mutatja, a két részecske áramával kell Dμν-t szorozni. Hasonló szerepet játszik az elektronpropagátor az elektron és a foton kölcsönhatásakor.

Most ténylegesen kiszámítjuk a propagátorokat, először az elektronét. Hassunk a

8.47. egyenlet - (76,1)

Gik(xx)=i0TΨi(x)Ψ̄k(x)0


(i, k bispinor indexek ) függvényre a p̂–m operátorral, ahol pμ=i∂μ. MivelΨ(x) kielégíti a (p̂–m)Ψ(x)=0 Dirac-egyenletet , az eredmény minden x pontban nulla lesz, kivéve azokat, amelyekre t=t′. G(x–x′) határértéke ugyanis más és más a t→t′+0és t→t′–0 esetekben: a (75,8) meghatározás szerint

–i⟨0∣Ψi(r,t)Ψ̄k(r′,t)∣0⟩ és +i⟨0∣Ψ̄k(r′,t)Ψi(r,t)∣0⟩,

és, mint majd látni fogjuk, ezek a fénykúpon nem azonosak. Ez a ∂G∕∂t differenciálhányadosban egy további, δ-függvényt tartalmazó tagot eredményez:

8.48. egyenlet - (76,2)

Gt=i0TΨi(x)tΨ̄k(x)0+δ(tt)G|tt+0G|tt0.


A p̂–m operátor a t szerinti differenciálást iγ0∂∕∂t alakban tartalmazza, ezért

8.49. egyenlet - (76,3)

(p̂m)ikGkl(xx)=δ(tt)γik00{Ψk(r,t),Ψ̄l(r,t)}+0.


Kiszámítjuk az itt álló antikommutátort. A Ψ(r,t) és Ψ̄(r′,t) operátorok (74,6) alakját használjuk, és az ap, bp fermionoperátorok közötti felcserélési szabályokat figyelembe véve, azt kapjuk, hogy

8.50. egyenlet - (76,4)

{Ψi(r,t),Ψ̄k(r,t)}+=p[ψpi(r)ψ̄pk(r)+ψpi(r)ψ̄pk(r)],


ahol ψ±p(r) az időtényező nélküli hullámfüggvények (a 74. §és 75. §-okhoz hasonlóan, a rövidség kedvéért most sem írjuk ki a polarizációs indexeket). A ψ±p(r) függvények – az elektron Hamilton-operátorának sajátfüggvényei – teljes ortonormált rendszert alkotnak, és e tulajdonságuknál fogva [vö. III. (5,12)]:

8.51. egyenlet - (76,5)

p[ψpi(r)ψpk(r)+ψpi(r)ψpk(r)]=δikδ(rr).


(76,4) jobb oldala ettől csupán annyiban különbözik, hogy ott ψk∗ helyett (ψ∗γ0)káll,és így γik0δ(r–r′)-vel egyenlő:

8.52. egyenlet - (76,6)

{Ψi(r,t),Ψ̄k(r,t)}+=δ(rr)γik0.


E képletből egyébként már következik az a  75. §-ban említett állítás, hogy a Ψ és Ψ̄ operátorok a fénykúpon kívül antikommutálnak. Ha (x–x′)2<0, akkor mindig található olyan koordináta-rendszer, amelyben t=t′; ha emellett r≠r′, akkor a (76,6) antikommutátor valóban nulla.

(76,6)-ot (76,3)-ba helyettesítve (a bispinor indexeket elhagyva), végül is azt kapjuk, hogy[261]

8.53. egyenlet - (76,7)

(p̂m)G(xx)=δ(4)(xx).


Az elektronpropagátor tehát olyan Dirac-egyenletet elégíti ki, melynek jobb oldalán δ-függvény áll. Másképpen, matematikai nyelven kifejezve, ez azt jelenti, hogy a propagátorfüggvény a Dirac-egyenlet Green-függvénye .

A későbbiek során nem magára a G(ξ)(ξ=x–x′) függvényre, hanem Fourier-transzformáltjára lesz szükségünk:

8.54. egyenlet - (76,8)

G(p)=G(ξ)eipξd4ξ


(a propagátor impulzusreprezentációban) . (76,7) mindkét oldalának Fourier-transzformáltját képezve, a

8.55. egyenlet - (76,9)

(p̂m)G(p)=1


algebrai egyenletrendszerhez jutunk. Ennek megoldása:

8.56. egyenlet - (76,10)

G(p)=p̂+mp2m2.


A G(p)-beli p négyesvektor négy komponense négy független paraméter (nem teljesítik a p2≡p02–p2=m2 egyenletet). (76,10) nevezőjét a p02–(p2+m2) alakbanírva, láthatjuk, hogy G(p)-nek mint p0 függvényének adott p2 mellett két pólusa van: p0=±ε, ahol ε=√(p2+m2). Felmerül ezért a kérdés, hogyan kell a

8.57. egyenlet - (76,11)

G(ξ)=1(2π)4eipξG(p)d4p=1(2π)4d3peiprdp0eip0τG(p)


(τ=t–t′) propagátorban a dp0 szerinti integrálás során a pólusokat megkerülni; az erre vonatkozó előírás nélkül (76,10) még nem meghatározott.

E kérdés tisztázására visszatérünk az eredeti (76,1) definícióhoz. A ψ-operátorokat a (74,6) összegek alakjában írjuk be, figyelembe véve, hogy a keltő és eltüntető operátorok szorzatai közül csak a következőknek van nem eltűnő vákuumbeli várható értéke:

⟨0∣apap+∣0⟩=1, ⟨0∣bpbp+∣0⟩=1.

(Mivel a vákuumbeli állapotban egyetlen részecske sincs, ezért az ap+, bp+ operátorok egyikével kelteni kell egyet, hogy azt el lehessen tüntetni az ap, bp operátorok valamelyikével). A következő eredményt kapjuk:

8.58. egyenlet - (76,12)

Gik(xx)=ipψpi(r,t)ψ̄pk(r,t)==ipei𝜀(tt)ψpi(r)ψ̄pk(r),hatt>0;Gik(xx)=ipψ̄pk(r,t)ψpi(r,t)==ipei𝜀(tt)ψpi(r)ψ̄pk(r),hatt<0(76,12)


(t>t′ esetén csak az elektronok, t<t′ esetén csak a pozitronok adnak G-hez járulékot).

Ha a p szerinti összegezést d3p szerinti integrál formájában írjuk fel, és (76,11)-et és (76,12)-t összehasonlítjuk, akkor látjuk, hogy az

8.59. egyenlet - (76,13)

eip0τG(p)dp0


integrálnak τ>0 esetén e–iετ, τ<0 esetén eiετ fázistényezőt kell tartalmaznia. Ezt azzal az előírással tudjuk teljesíteni, hogy a p0=εés p0=–ε pólusokat az integráció során rendre felülről, ill. alulról kerüljük meg (a komplex p0 síkon):

8.60. egyenlet - (76,14)


Valóban, τ>0 esetén az útvonal egy, az alsó félsíkban fekvő végtelen nagy sugarú félkörrel egészíthető ki úgy, hogy a (76,13) integrál értékét a p0=+ε pólus reziduuma adja; τ<0 esetén a felső félsíkban fekvő végtelen nagy sugarú körrel zárjuk a görbét, az integrált a p0=–ε pólus reziduuma határozza meg. Mindkét esetben a kívánt eredményt kapjuk.

Ez a körüljárási szabály (Feynman-szabály ) másképp is megfogalmazható: az integrálást a valós tengely mentén kell végezni, de a részecske m tömegéhez előírás szerint egy infinitezimálisan kicsiny negatív képzetes részt kell adni:

8.61. egyenlet - (76,15)

mmi0.


Ekkor

ε→√(p2+(m–i0)2)=√(p2+m2–i0)=ε–i0.

Más szavakkal, a p0=±ε pólusok a valós tengely fölé és alá csúsznak:

8.62. egyenlet - (76,16)


úgy, hogy a valós tengely menti integrálás a (76,14) előírással ekvivalens.[262](76,15) szabály segítségével a (76,10) propagátor a

8.63. egyenlet - (76,17)

G(p)=p̂+mp2m2+i0


alakban írható.

Az eltolt pólusokkal való integrálás szabályait az

8.64. egyenlet - (76,18)

1x+i0=P1xiπδ(x)


összefüggés mutatja. Ezt úgy kell értelmezni, hogy tetszőleges f(x) függvényre

8.65. egyenlet - (76,19)

f(x)x+i0dx=f(x)xdxiπf(0)


(ahol az áthúzott integráljel vagy a szimbólum a főértéket jelöli).

(76,10) Green-függvény a p̂+m bispinor tényező és a

8.66. egyenlet - (76,20)

G(0)(p)=1p2m2


skalárszorzata. Az ennek megfelelőG0(ξ) koordinátareprezentációbeli függvény nyilvánvalóan a

8.67. egyenlet - (76,21)

(p2m2)G(0)(xx)=δ(4)(xx)


egyenlet megoldása, azaz a (p2–m2)ψ=0 egyenlet Green-függvénye . Ebben azértelemben mondhatjuk, hogy G(0) a skalár részecskék propagátora . Könnyen meggyőződhetünk arról (a fentihez hasonló számítással), hogy a skalártér terjedési függvénye a (11,2)ψ-operátorokkal a (76,1) definícióhoz hasonlóan a

8.68. egyenlet - (76,22)

G(0)(xx)=i0TΨ(x)Ψ+(x)0


alakban fejezhető ki. Az időrendezett szorzat definíciója (mint a bozonoperátorokraáltalában):

TΨ(x)Ψ+(x′)={Ψ(x)Ψ+(x′), hat>t′; / Ψ+(x′)Ψ(x), hat<t′

(az előjel mindkét esetben azonos).



[261] A bispinor indexeket is kiírva, (p̂–m)ilGlk(x–x′)=δ(4)(x–x′)δik. (76,7a)

[262] Érdemes megjegyezni, hogy a pólusok eltolására vonatkozó szabály annak felel meg, hogy G(x–x′) infinitezimális csillapodást kap |t–t′|-ben.