Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

75.§. A fotonszórás Feynman-diagramjai

75.§. A fotonszórás Feynman-diagramjai

A következőkben egy másik másodrendű folyamatot vizsgálunk – foton szóródását elektronon (Compton-effektus ). Legyen a kezdeti állapotban levő foton és elektron négyesimpulzusa k1 és p1, a végállapotban k2 és p2 (legyen a polarizáció is adott, ezt a rövidség kedvéért nem írjuk ki).

A foton-mátrixelem

8.32. egyenlet - (75,1)

2TAμ(x)Aν(x)1=0c2TAμ(x)Aν(x)c1+0,


A=∑k(ckAk+ck+Ak∗).

A külső és belső operátorokat párosítva kapjuk, hogy

8.33. egyenlet - (75,2)

()=


(figyelembe vettük, hogy a c1 és c2 operátorok felcserélhetők egymással; ugyanezért az adott esetben a T operáció elhagyható).

Az elektron-mátrixelem

8.34. egyenlet - (75,3)

2Tjμ(x)jν(x)1=0a2T[(Ψ̄γμΨ)(Ψ̄γνΨ)]a1+0.


Benne négy ψ-operátor szerepel. Közülük kettő az a1+és a2 operátorokkal párosítva, eltünteti az 1és kelti a 2 elektront. Ez a kettő vagy a Psī′és Ψ, vagy a Ψ′és Ψ̄; (nem lehet azonban a Ψés Ψ̄ vagy a Ψ′és Ψ̄′: két valódi elektron és egy valódi foton keltése és eltüntetése ugyanazon x vagy x′ pontban nem lehetséges). A párosítást kétféleképpen végezhetjük, (75,3)-ban két tagot kapunk; ezeket először a t>t′ feltevés mellett írjuk le:

8.35. egyenlet - (75,4)

()=


Az első tagban a párosított operátorok:

a2Ψ̄→a2a2+ψ2, Ψ′a1+→a1a1+ψ1′.

Mivel az a2a2+ és a1a1+ operátorok diagonálisak, és a szorzat két szélén állnak, ezért vákuumbeli várható értékükkel, azaz 1-gyel helyettesíthetők. Hasonló célból (75,4) második tagjában először az a2+ operátort balra, az a1 operátort jobbra szeretnénk „átvinni”. Ezt az ap, ap+ operátorok közötti felcserélési törvények segítségével tehetjük meg, amelyek következtében

8.36. egyenlet - (75,5)

{ap,Ψ}+={ap+,Ψ̄}+=0{ap,Ψ̄}+=ψ̄p,{ap+,Ψ}+=ψp.(75,5)


Így kapjuk a (75,4) kifejezés végső alakját:

8.37. egyenlet - (75,6)

0(ψ̄2γμΨ)(Ψ̄γνΨ1)(Ψ̄γμψ1)(ψ̄2γνΨ)0,t>t


(magától értetődően csak az operátortényezőkre vonatkozik a várhatóérték). Hasonló kifejezést kapunk t<t′-re is, csak a vesszős és vesszőtlen ψ-kés a μ, ν indexek vannak felcserélve:

8.38. egyenlet - (75,7)

0(Ψ̄γνψ1)(ψ̄2γμΨ)+(ψ̄2γνΨ)(Ψ̄γμψ1)0,t<t.


(75,6)és (75,7) felírható egyetlen kifejezésben, ha bevezetjük a ψ-operátorok időrendezett szorzatát a

8.39. egyenlet - (75,8)

TΨi(x)Ψ̄k(x)=Ψi(x)Ψ̄k(x),hat<t;Ψ̄k(x)Ψi(x),hat>t


definíció szerint (i, k bispinor indexek). Így (75,6)és (75,7) együttesen:

8.40. egyenlet - (75,9)

ψ̄2γμ0TΨΨ̄0γνψ1+ψ̄2γν0TΨΨ̄0γμψ1


(Ψ⋅Ψ̄ a ΨiΨ̄k mátrixot jelöli).

Vegyük észre, hogy a természetes módon adódó (75,8) definícióban az operátorok szorzata a t>t′és t>t′ esetben ellentétes előjelű. Ez a különbség ahhoz a T-szorzat definícióhoz képest, melyet az A és j operátorokra alkalmaztunk. A különbség abból adódik, hogy a Ψ, Ψ̄ fermionoperátorok a fénykúpon kívül antikommutálnak (ellentétben a felcserélhető A bozonoperátorokkal és a j=Ψ̄γΨ bilineáris operátorokkal).[259] Ez biztosítja a (75,8) definíció relativisztikus invarianciáját (a ψ-operátorok felcserélési szabályainak formális bizonyítását a  76. §-ban adjuk).[260]

Bevezetjük az elektronok terjedési függvényét (vagy elektronpropagátort ) – a másodrendű Gik(x–x′) bispinort – a

8.41. egyenlet - (75,10)

Gik(xx)=i0TΨi(x)Ψ̄k(x)0


definíció szerint.

Ezzel az elektron-mátrixelem a következő alakban írható:

8.42. egyenlet - (75,11)

2Tjμ(x)jν(x)1=iψ̄2γμGγνψ1+iψ̄2γνGγμψ1.


(75,1) foton-mátrixelemmel szorozva és d4xd4x′ szerint integrálva, (75,11) mindkét tagja ugyanazt az eredményt adja, így

Sfi=–ie2∬d4xd4x′ψ̄2(x)γμG(x–x′)×

8.43. egyenlet - (75,12)

×γνψ1(x){A2μ(x)A1ν(x)+A2ν(x)A1μ(x)}.


Az elektron - és foton -hullámfüggvények helyébe a (65,8)(65,9) síkhullámokat helyettesítve és a δ-függvényt (74,10)-hez hasonlóan leválasztva, a szórásamplitúdó végső alakjára az

8.44. egyenlet - (75,13)

Mfi=4πe2ū2{ê2G(p1+k1)ê1+ê1G(p1k2)ê2}u1


kifejezést kapjuk, ahol e1, e2 a fotonok polarizációs négyesvektorai, G(p) pedig az elektronpropagátor, impulzusreprezentációban .

A kifejezés két tahja a következő két Feynman-diagrammal szemléltethető:

8.45. egyenlet - (75,14)


A diagramok szaggatottan rajzolt szabad végei a valódi fotonoknak felelnek meg; a befutó vonalhoz (kezdeti foton) √(4π)e-re, a kifutó vonalhoz (végső foton) √(4π)e∗ szorzótényező tartozik, ahol e a polarizáció négyesvektora. Az első diagramban a kezdeti állapot elektronja és fotonja együtt abszorbeálódik, a végállapot elektronja és fotonja együtt emittálódik.A második diagramban a végső foton emissziója és a kezdeti elektron eltűnése, valamint a kezdeti foton eltűnése és a végső elektron emiszsziója történik egyszerre.

A (két csúcsot összekötő) belső folytonos vonal virtuális elektronnak felel meg, négyesimpulzusa meghatározott, mert a csúcsokban a négyesimpulzus megmarad. Ehhez a vonalhoz az iG(f)) tényező tartozik. Valódi részecskétől eltérően a virtuális elektron négyesimpulzusának négyzete nem egyenlő m2-tel. Az f2 invariáns mennyiséget kiszámíthatjuk például az elektron nyugalmi rendszerében, és könnyen láthatjuk, hogy

8.46. egyenlet - (75,15)

f2=(p1+k1)2>m2,f2=(p1k2)2<m2.




[259] Emlékeztetünk, hogy a ψ-operátorok nem felelnek meg fizikailag mérhető mennyiségeknek, ezért nem kell, hogy a fénykúpon kívül felcserélhetők legyenek.

[260] Hasonló módon definiálható tetszőleges számú ψ-operátor T-szorzata. Ez az operátorok olyan sorrendben vett szorzata, ahol az időváltozó értéke jobbról balra nő; az előjelet az szabja meg, hogy a felcserélések száma, melyekkel ez a sorrend az eredetiből elérhető, páros vagy páratlan. Ennek megfelelően a T-szorzat előjele megváltozik, ha tetszőleges két ψ-operátort felcserélünk, például: TΨi(x)Ψ̄k(x′)=–TΨ̄k(x′)Ψi(x).