Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

74.§. Az elektron–elektron szórás Feynman-diagramjai

74.§. Az elektron–elektron szórás Feynman-diagramjai

Konkrét példákon keresztül mutatjuk be, hogyan kell a szórásmátrix elemeit kiszámítani. A példák hozzásegítenek a kovariáns perturbációszámítás általános szabályainak megfogalmazásához.

A j áramoperátor két Ψ elektronoperátor szorzatát tartalmazza. Ezért a perturbációelmélet első közelítése olyan folyamatokat ír le, amelyekben (a kezdeti és végállapotban) összesen három részecske vesz részt – két elektron (j operátor) és egy foton (A operátor). Könnyen látható azonban, hogy szabad részecskék között ilyen folyamat nem mehet végbe, tiltja az energia- és impulzusmegmaradás. Legyen az elektronok négyesimpulzusa p1 és p2, a fotoné k, a négyesimpulzus megmaradását a k=p2–p1 vagy k=p2+p1 egyenletek fejezik ki. Ezek azonban nem teljesülhetnek, mert a fotonra k2=0, a (p2±p1)2 kifejezés pedig közismerten különbözik nullától. Valóban az invariáns (p2±p1)2 mennyiség értékét az egyik elektron nyugalmi rendszerében számítva, azt kapjuk, hogy

(p2±p1)2=2(m2±p1p2)=2(m2±ε1ε2∓p1p2)=2m(m±ε2).

Mivel ε2>m, ezért

8.13. egyenlet - (74,1)

(p2+p1)2>0,(p2p1)2<0.


Ily módon az első nem eltűnő (nemdiagonális) S-mátrixelem csak a perturbációszámítás második rendjéből adódhat. Minden ilyen folyamatot (73,12) sorba fejtett alakjának másodrendű tagja, az

S(2)=–(e2/2!)∬d4xd4x′⋅T(jμ(x)Aμ(x)jν(x′)Aν(x′))

operátor képvisel. Mivel az elektron- és fotonoperátorok egymással felcserélhetők, az integrandus két T-szorzatra esik szét:

8.14. egyenlet - (74,2)

S(2)=e22!d4xd4xTjμ(x)jν(x)TAμ(x)Aν(x)


Első példaként két elektron rugalmas szóródását vizsgáljuk: a kezdeti és végállapotban két-két elektron van p1 és p2, ill. p3 és p4 négyesimpulzusokkal. Feltételezzük még, hogy mindegyik elektron spinállapota meghatározott, a spinváltozókat a rövidség kedvéért mindenhol elhagyjuk.

Mivel foton egyik állapotban sincs, ezért a fotonoperátorok T-szorzatának ⟨0∣…∣0⟩ diagonális mátrixelemére van szükségünk, ahol |0⟩ a foton-vákuum állapotot jelöli. A T-szorzatnak a vákuumbeli várható értékkel adott kifejezése az x és x′ koordináták meghatározott függvénye (minden μν indexpárra). A négyestér homogenitása miatt a koordináták csak az x–x′ különbség formájában léphetnek fel. A

8.15. egyenlet - (74,3)

Dμν(xx)=i0TAμ(x)Aν(x)0


tenzort a fotonok terjedési függvényének (vagy fotonpropagátornak ) nevezzük. Ezt a 77. §-ban fogjuk explicit módon kiszámítani.

Az elektronoperátorok T-szorzatának a

8.16. egyenlet - (74,4)

34Tjμ(x)jν(x)12


mátrixelemét kell kiszámítanunk, ahol az |12⟩, |34⟩ szimbólumok a megfelelő impulzusú két elektront tartalmazóállapotokat jelölik. A nyilvánvalóan igaz

⟨2∣F∣1⟩=⟨0∣a2Fa1+∣12⟩

egyenlőség segítségével, ahol F tetszőleges operátor, a1+ és a2 pedig rendre az első elektron keltő és a második elektron eltüntető operátora, (74,4) helyett a

8.17. egyenlet - (74,5)

0a3a4T(jμ(x)jν(x))a2+a1+0


mennyiséget vizsgálhatjuk (az 1,2,… indexek a p1,p2,… jelöléseket egyszerűsítik).

Az áram operátoraj=Ψ̄γΨ, minden γ-operátor a

8.18. egyenlet - (74,6)

Ψ=p(apψp+bp+ψp),Ψ̄=p(ap+ψ̄p+bpψ̄p)


összegként írható (az összeg második tagja tartalmazza a pozitronoperátorokat , ezekre az adott esetben nincs szükség). Ezért a jμ(x)jν(x′) szorzat olyan tagokösszege, amelyeknek mindegyike két ap, és két ap+ operátort tartalmaz. Ezeknek kell eltüntetniük az 1, 2, és kelteniük a 3, 4 elektronokat. Más szavakkal, ezek az a1,a2,a3+,a4+ operátorok kell, hogy legyenek, amelyek a (74,5)-ben levőa1+,a2+,a3,a4„külső” operátorokkal a

8.19. egyenlet - (74,7)

0apap+0=1


egyenlőség szerint „kontrahálódnak .

Attól függően, hogy a1,a2,a3+,a4+ melyik ψ-operátorból ered, (74,5)-ben négy tag szerepel:

8.20. egyenlet - (74,8)

()=


ahol Ψ=Ψ(x), Ψ′=Ψ(x′). Az ívek az összepárosított operátorokat jelölik, tehát azokat, amelyekből adódó a és a+ operátorok (74,7) szerint redukálódnak. Az a1,a2,… operátorok ismételt felcserélésével minden tagban egymás mellé hozzuk az adjungált operátorpárokat (a1, a1+ stb.), ezek szorzatainak várható értéke a (74,7) várható értékek szorzata. Figyelembe véve, hogy az összes operátor egymással antikommutál (1, 2, 3, 4 különböző állapotok!)[255], a (74,4) mátrixelemre a

8.21. egyenlet - (74,9)

34Tjμ(x)jν(x)12=(ψ̄4γμψ2)(ψ̄3γνψ1)+(ψ̄3γμψ1)(ψ̄4γνψ2)(ψ̄3γμψ2)(ψ̄4γνψ1)(ψ̄4γμψ1)(ψ̄3γνψ2)(74,9)


kifejezést kapjuk. Megjegyezzük, hogy az összeg egy általános előjel erejéig egyértelmű, ez utóbbi attól függ, milyen sorrendben írtuk le (74,5)-ben a „külső” elektronoperátorokat. E tény annak felel meg, hogy azonos fermionok szóródását leíró mátrixelem előjele teljesen önkényesen választható. (74,9) tagjainak relatív előjele természetesen független a külső operátorok sorrendjétől.

(74,9) első és második sorban álló két tagja egymásba megy át, ha a μ, ν indexeket és az x, x′ argumentumokat egyidejűleg felcseréljük. Ez a csere nyilvánvalóan nem változtatja meg a (74,3) mátrixelemet sem (a tényezők sorrendjét a T-operátor szabja meg). Ezért (74,9) első és negyedik, ill. második és harmadik tagja (74,3)-mal szorozva és d4xd4x′ szerint integrálva, páronként azonos eredményt ad, így a mátrixelem:

8.22. egyenlet - (74,10)

Sfi=ie2d4xd4xDμν(xx){(ψ̄4γμψ2)(ψ̄3γνψ1)(ψ̄4γμψ1)(ψ̄3γνψ2)}.


(Vegyük észre, hogy az 1∕2 tényező eltűnt!).

Az elektron-hullámfüggvények a (65,8) síkhullámok. Ezért a kapcsos zárójelben álló mennyiség :

{… }=(ū4γμu2)(ū3γνu1)e–i(p2–p4)x–i(p1–p3)x′– –(ū4γμu1)(ū3γνu2)e–i(p1–p4)x–i(p2–p3)x′= {(ū4γμu2)(ū3γνu1)e–i[(p2–p4)+(p3–p1)]ξ∕2– –(ū4γμu1)(ū3γνu2)e–i[(p1–p4)+(p3–p2)]ξ∕2}e–i(p1+p2–p3–p4)X,

ahol X=(x+x′)∕2, ξ=x–x′. A d4xd4x′ szerinti integrálást a d4ξd4X szerintivel helyettesítjük. A d4X szerinti integrálás erediriénye δ-függvény (melynek értelmében p1+p2=p3+p4). Az S-mátrixról az M-mátrixra (65. §) áttérve, a szórásamplitúdóra az

8.23. egyenlet - (74,11)

Mfi=e2{(ū4γμu2)Dμν(p4p2)(ū3γνu1)(ū4γμu1)Dμν(p4p1)(ū3γνu2)}


kifejezést kapjuk. Itt bevezettük a foton impulzustérbeli terjedési függvényét,

8.24. egyenlet - (74,12)

Dμν(k)=Dμν(ξ)eikξd4ξ.


(74,11) amplitúdó mindkét tagja megadható szimbolikus alakban az ún.Feynman-diagramok vagy Feynman-gráfok formájában.

Az első tagnak megfelelő diagram:

8.25. egyenlet - (74,13)

e2(ū4γμu2)Dμν(k)(ū3γνu1)=


Minden metszésponthoz (csúcshoz vagy vertexhez ) egy szorzótényező rendelhető. A metszéspont felé irányított, „befutó” folytonos vonalak a kezdeti elektronoknak felelnek meg; ezekhez az u szorzók – a megfelelő elektronállapotok bispinor amplitúdói tartoznak. A csúcstól kifelé irányított „kifutó” folytonos vonalak a végállapotbeli elektronok, ezeknek az ū tényezők felelnek meg. Egy diagramot balról jobbra kell „olvasni”, ilyen sorrendben kell leírni a tényezőket a folytonos vonalakon levő nyilakkal ellentétes irányban. A két metszéspontot összekötő szaggatott vonal virtuális (közbenső) fotonnak felel meg, ez az egyik csúcsban „keletkezik”; a másikban „elnyelődik”; a szaggatott vonalhoz a –iDμν(k) tényező tartozik. A virtuális foton k négyesimpulzusát „a metszéspontban érvényes négyesimpulzus-megmaradás” határozza meg: a befutó vonalakhoz tartozó összimpulzus megegyezik a kifutó vonalakhoz tartozó összimpuliussal; az adott esetben k=p1–p3=p4–p2.[256] A felsoroltakon kívül a diagramhoz még egy (–ie)2 szorzótényező tartozik (a kitevő a gráf csúcsainak számával egyenlő), és az egész így iMfi egy tagját adja. Hasonló módon kapjuk a (74,11) második tagjának megfelelő diagramot (itt k′=p1–p4=p3–p2).[257]

8.26. egyenlet - (74,14)

e2(ū4γμu1)Dμν(k)(ū3γνu2)=


A kezdeti és végállapotbeli részecskékhez tartozó vonalakat a diagram külső vonalainak vagy szabad végeinek hívják. A (74,13) és (74,14) gráfokban a különbség annyi, hogy két szabad elektronvég (p3 és p4) fel van cserélve egymással. Két fermion ilyen felcserélése a gráf előjelét megváltoztatja; e szabály annak felel meg, hogy a (74,11) amplitúdóban a két tag előjele ellentétes.

A következőkben az elektron–pozitron szórást vizsgáljuk; a kezdeti impulzusok legyenek p–és p+, a végállapotban p–′és p+′.

A pozitronok és elektronok keltő és eltüntető operátorai a (74,6)-beli Ψ operátorban együtt lépnek fel. Az előző feladatban mindkét kezdeti állapotbeli részecske eltüntetését a Ψ operátor, a végállapotbeli részecskék keltését viszont a Ψ operátor biztosította, az elektronokat és pozitronokat tekintve e két operátor szerepe ellentétes. A kezdeti pozitront a ψ̄(–p+) konjugált függvény, a végsőt ψ(–p+′) írja le (a négyesimpulzus előjele mindkettőben negatív). E különbség figyelembevételével a szórásamplitúdóra a következő kifejezést kapjuk:[258]

Mfi=–e2(ū(p–′)γμu(p–))Dμν(p––p–′)(ū(–p+)γνu(p+′))+

8.27. egyenlet - (74,15)

+e2(ū(p+)γμu(p))Dμν(p+p+)(ū(p)γνu(p+)).


E kifejezés első és második tagjához rendre a következő két diagram tartozik:

8.28. egyenlet - (74,16)


A diagramok képzési szabályai (a gráfszabályok) csak ott változnak, ahol pozitronok fordulnak elő. Az előzőek szerint befutó folytonos vonalnak u, a kifutónak ū tényező felel meg. Az egyik befutó vonal azonban most a végső, az egyik kifutó pedig a kezdeti pozitronhoz tartozik; amellett a pozitronok impulzusait ellentétes előjellel kell venni.

Vegyük észre, hogy (74,16) két diagramja különböző jellegű. Az elsőben az egyik csúcsban a kezdeti és végső elektron, a másikban a pozitronok találkoznak. A másodiknál mindkét vertexben elektron- és pozitronvonalak futnak össze, a felsőben az elektron–pozitron pár szétsugárzódik, és virtuális fotont kelt, az alsóban a foton elektron–pozitron párt kelt.

E különbséget a két gráf virtuális fotonjainak tulajdonságai is tükrözik. Az elsőben („szórás” típusú gráf) a virtuális foton négyesimpulzusa a két elektron (vagy pozitron) riégyesimpulzusának különbsége, ezért k2<0 [vö. (74,1)]. A másodikban (szétsugárzási gráf) k′=p–+p+, így k′2>0. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy virtuális fotonra k2≠0, a valódi fotonnal ellentétben, amelyre k2=0.

Ha a szóródó részecskék nem azonosak és nem egymás antirészecskéi (pl. elektron és μ-mezon), akkor a szórásamplitúdót egyetlen gráf adja meg:

8.29. egyenlet - (74,17)


Ez esetben szétsugárzási vagy kicserélődési típusú diagram nincs. Ezt az eredményt analitikusan kapjuk, ha az áramoperátort az elektron - és müonáram összegeként írjuk,

j=j(e)+j(μ)=(Ψ̄(e)γΨ(e))+(Ψ̄(μ)γΨ(μ)),

és a j(μ)(x)j(ν)(x′) szorzat olyan tagjainak mátrixelemét képezzük, amelyek biztosítják a kívánt részecskék keltését és eltüntetését.

Visszatérünk az elsőrendű folyamathoz, melyet, mint azt a szakasz elején láthattuk, a négyesimpulzus megmaradási törvénye tilt. Az

8.30. egyenlet - (74,18)

S(1)=iej(x)A(x)d4x


operátor mátrixelemei ilyen átmeneteknél három valódi részecske, két elektronés egy foton, „ugyanazon x pontban” történő keltésének vagy eltüntetésének felelnek meg. Ez abból adódik, hogy a Ψ(x)és Ψ̄(x) operátorok argumentuma azonos; pl. egy foton emissziójának mátrixeleme,

Sfi=–ie∫ψ̄2(x)ψ1(x)Â∗(x) d4x

eltűnik az integrandusban levő exp[–i(p1–p2–k)x] szorzótényező miatt, mivel ennek kitevője nem nulla. „Gráfnyelven” ez azt jelenti, hogy a három szabad véget tartalmazó

8.31. egyenlet - (74,19)


gráfnak megfelelő mátrixelem értéke zérus.

Ugyanilyen okból nem lehetséges olyan másodrendű folyamat, amelyben (a kezdeti és végállapotban összesen) hat részecske vesz részt. A megfelelő átmenetek Sfi mátrixelemében a d4xd4x′ integrál két eltűnő integrál szorzatára esik szét, mindkettő három hullámfüggvény azonos pontban vett szorzatát tartalmazza. Más szóval, a megfelelő diagramok két független (74,19) típusú diagramra esnek szét.



[255] Az antikommutativitás következtében a j(x) és j(x′) operátorok az adott esetben (a mátrixelem számításakor) egymással felcserélhetőnek tekinthetők, és ezért az időrendezés elhagyható.

[256] Teljesen mindegy, hogy a diagram olvasását p3 vagy p4 végénél kezdjük: az így adódó két kifejezés azonos egymással, mivel a Dμν tenzor szimmetrikus. Lényegtelen a virtuális fotonvonal irányítása is: ez csak k előjelét változtatja, ami a Dμν(k) függvény páros volta (l.  77. §) miatt közömbös.

[257] A Feynman-diagramok a szórásamplitúdó tagjainak nemcsak impulzus-, hanem koordinátareprezentációban [(74,10) integrálok] is megfeleltethetőek. Az elektronamplitúdó szerepét a helyfüggő hullámfüggvény veszi át, a propagátor koordinátatérbeli alakjával szerepel. Minden csúcshoz egy integrációs változó tartozik [x vagy x′ (74,10)-ben]; az egy csúcsban összefutó vonalakhoz tartozó függvények ennek a változónak függvényei.

[258] Nem azonos részecskék szóródásánál az amplitúdó előjele egyértelmű. Ennek az a magyarázata, hogy (74,5)-ben úgy kell rendezni a „külső” operátorokat, hogy mindkét elektronoperátor a szélen álljon: ⟨0∣a′b′…b+a+∣0⟩(vagy mindkettő középen); ez a feltétel biztosítja a kezdeti és végső vákuumállapot „azonos előjel”-ét. A szórásamplitúdó előjele a nemrelativisztikus határátmenettel is ellenőrizhető: a későbbiekben (82. §) látni fogjuk, hogy ebben a határátmenetben (74,15) második tagja nullához tart, az első pedig a Rutherford-szórás Born-amplitúdójához.