Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

8. fejezet - VIII. FEJEZET KOVARIÁNS PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

8. fejezet - VIII. FEJEZET KOVARIÁNS PERTURBÁCIÓSZÁMÍTÁS

73.§. Az időrendezett szorzat

Az egymással gyengén kölcsönható részecskék közötti ütközések során végbemenő folyamatok hatáskeresztmetszetét a perturbációszámítás segítségével határozhatjuk meg. Ez szokásos formájában (a nemrelativisztikus kvantummechanikában) azonban nem kielégítő, mivel nem teljesíti explicit módon a relativisztikus invariancia követelményét. Az, hogy a számítás során az egyes közbenső összefüggések nem relativisztikusan invariánsak, lényeges nehézséget okoz még akkor is, ha a relativisztikus probléma végeredménye invariáns. A most következő fejezetben a perturbációszámítás következetes, relativisztikus elméletét tárgyaljuk; ezt R. P. Feynman alkotta meg (1948-1949).

A rendszer másodkvantált leírását szem előtt tartva, hullámfüggvényét a szabad részecskék különböző állapotai betöltési számának „terében” 0-vel jelöljük. A rendszer Hamilton-operátoraH=H0+V, ahol V a kölcsönhatási operátor. Jelöljük Φn-nel a perturbálatlan Hamilton-operátor sajátfüggvényeit ; ezek mindegyikének a betöltési számok meghatározott értékeinek egy-egy összessége felel meg. Tetszőleges Φ függvény a Φ=∑CnΦn alakban írható fel. Az

8.1. egyenlet - (73,1)

iΦt=(H0+V)Φ


pontos hullámegyenlet egyenletrendszert ad a Cn kifejtési együtthatókra:

8.2. egyenlet - (73,2)

iĊn=mCmVnmei(EnEm)t,


ahol Vnm a V operátor időtől független mátrixelemeit, En a perturbálatlan rendszer energianívóit jelöli (vö. III. 40. §).

Definíciószerűen a V operátor az időtől explicit módon nem függ. A

8.3. egyenlet - (73,3)

Vnm(t)=Vnmei(EnEm)t


mennyiségek az időtől függő

8.4. egyenlet - (73,4)

V(t)=eiH0tVeiH0t


operátor mátrixelemeiként kezelhetők. V(t)-ről mint kölcsönhatási képbeli operátorról beszélünk (megkülönböztetve az eredeti, időtől nem függőV Schrödinger-operátortól .[250] Azúj képben is Φ-vel jelölve a hullámfüggvényt, a (73,2) egyenletet szimbolikusan az

8.5. egyenlet - (73,5)

iΦ̇=V(t)Φ


alakban írjuk. A hullámfüggvény kizárólag a perturbáció hatására változik, azaz a részecskék kölcsönhatása következtében végbemenő folyamatokat tükrözi.

Jelölje Φ(t) és Φ(t+δt) a Φ értékeit két egymáshoz infinitezimálisan közeli időpillanatban. (73,5) szerint

Φ(t+δt)=[1–iδt⋅V(t)]Φ(t)=e–iδt⋅V(t)Φ(t).

Ennek megfelelően Φ tetszőleges tf időpontban felvett értékét kifejezhetjük valamilyen ti kezdeti időpontban felvett értékével (tf>ti):

8.6. egyenlet - (73,6)

Φ(tf)=ifeoδtαV(tα)Φ(ti),


itt a ∏ szimbólum arra utal, hogy a tiés tf időpontok közötti intervallumot infinitezimálisan kicsiny δtα intervallumokra kell osztani, és az így kiszámított szorzat határértékét kell tekinteni. Ha V(t) közönséges függvény lenne, akkor a határérték egyszerűen

exp(–i∫titfV(t) dt)

volna. Ehhez azonban az kellene, hogy a szorzótényezők, amelyeknek argumentumában a különböző tα időpontok szerepelnek, felcserélhetők legyenek egymással, amint azt hallgatólagosan feltételeztük a (73,6) szorzatról az exponensbeli összegezésre való áttérés során. A V(t) operátorra ez nem teljesül, ezért a határátmenet nem lehetséges.

(73,6)-ot szimbolikusan a

8.7. egyenlet - (73,7)

Φ(tf)=TexpititfV(t)dtΦ(ti)


alakban írjuk, ahol T az időrendező operátor ,[251] amely meghatározott („időrendezett”) sorrendet definiál a (73,6)-ban szereplőtα időpontok között. Legyen speciálisan ti→–∞, tf→+∞, ekkor

8.8. egyenlet - (73,8)

Φ(+)=SΦ(),


ahol

8.9. egyenlet - (73,9)

S=TexpiV(t)dt.


A hullámegyenlet (73,7)(73,9) formálisan pontos megoldásának értelme abban áll, hogy az könnyen felírható a perturbáció rendje szerinti sorfejtett alakban:

8.10. egyenlet - (73,10)

S=k=0(i)kk!dt1dt2dtkT{V(t1)V(t2)V(tk)}.


Itt minden tagban az integrál k-adik hatványa k-szoros integrálként szerepel, a T operátor pedig azt jelenti, hogy a t1,t2,…tk változók minden értékére a megfelelő operátorok időrendezett sorrendben szerepelnek: a tértékek jobbról balra haladva növekednek.[252]

(73,8) definícióból nyilvánvaló a következő: ha a rendszer állapota ütközés előtt Φi (szabad részecskék valamilyen összessége), akkor a Φf állapotba (szabad részecskék valamely más összessége) való átmenet valószínűségi amplitúdója az Sfi mátrixelem. Más szavakkal, ezek az elemek alkotják az S-mátrixot.

Az elektromágneses kölcsönhatás operátorát a  43. §-ban már felírtuk:

8.11. egyenlet - (73,11)

V=e(jA)d3x.


Ezt (73,9)-be helyettesítve kapjuk, hogy

8.12. egyenlet - (73,12)

S=Texp{ie(jA)d4x}.


Lényeges, hogy a (73,12) operátor relativisztikusan invariáns. Ez azonnal látható, mivel mind az integrandusban levő (jA) skalárszorzat, mind a d4x szerinti integrálás és az időrendezés invariáns. Az utóbbi tény némi magyarázatra szorul.

Ismeretes, hogy a t1 és t2 időpontok sorrendje (a t2–t1 különbség előjele) nem függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától, ha ezek az időpontok egymástól időszerűen elválasztott x1 és x2 világpontokhoz tartoznak: (x2–x1)2>0. Ebben az esetben az időrendezés invariáns volta nyilvánvaló. Ha (x2–x1)2<0 (térszerű intervallum), akkor különböző vonatkoztatási rendszerekben t2>t1 és t2<t1 egyaránt lehetséges.[253] Ilyen két pont azonban olyan eseményeknek felel meg, amelyek között kauzális kapcsolat nem állhat fenn. Ezért nyilvánvaló, hogy két fizikai mennyiség operátora ezekben a pontokban felcserélhető egymással: ha két operátor nem cserélhető fel, ez fizikailag azt jelenti, hogy a megfelelő fizikai mennyiségek egyidejűleg nem mérhetők, a két mérés között fizikai kapcsolat van. Következésképpen az időrendezés ez esetben is invariáns: noha a Lorentz-transzformáció egy szorzat tényezőinek idősorrendjét elronthatja, a tényezők felcserélhetősége következtében az időbeli sorrend visszaállítható.[254]

Könnyen látható, hogy az S-mátrixnak e szakaszban megadott definíciója automatikusan kielégíti az unitaritási feltételt. S-et a (73,6) szerinti időrendezett szorzatként felírva és V hermiticitását figyelembe véve, azt találjuk, hogy S+ ugyanazon exp(iδtα⋅V(tα)) tényezők szorzataként írható (a kitevőben ellentétes előjellel) az ellentétes időrendezett sorrendben. Ezért S és S+ összeszorzásakor a tényezők páronként 1-et adnak.

Az S operátor unitér voltát az adott esetben a Hamilton-operátor hermiticitása biztosítja. Az unitaritás azonban a valóságban sokkal általánosabb feltétel, mint a most vizsgált elmélet alapfeltevései. Teljesülnie kell olyan kvantummechanikai leírásban is, mely a Hamilton-operátor és hullámfüggvény fogalmát nem használja.



[250] Hangsúlyozzuk, hogy a (73,4) definícióban a H0 perturbálatlan Hamilton-operátor szerepel. V(t) ebben különbözik az ún. Heisenberg-képbeli operátortól , amely VH(t)=eiHtVe–iHt(vö. III. 13. §).

[251] Nem cserélendő össze az időtükrözés operátorával!

[252] A relativisztikus perturbációszámítás szabályait F. Dyson (1949) a (73,10) sorfejtés segítségével vezette le.

[253] Időszerű és térszerű elválasztás helyett a rövidség kedvéért gyakran a fénykúpon belül és kívül kifejezést használják: minden x pont, melyre (x–x′)2>0, a csúcsával az x′ pontban elhelyezkedő fénykúp belsejében, az olyan x pontok, melyekre (x–x′)2<0, a fénykúpon kívül fekszenek.

[254] A V(t1)V(t2)… szorzatra való alkalmazáskor az állítást a félreértések elkerülése végett pontosabban kell megfogalmazni. Mivel a V operátor maga nem mértékinvariáns (együtt változik A-val), előfordulhat, hogy a V(t1),V(t2),… tényezők az egyik mértékben felcserélhetők, egy másikban nem. A fenti állítást ezért úgy kell újrafogalmazni, hogy választható olyan mérték, amelyben V(t1) és Vt2 a fénykúpon kívül felcserélhető egymással. Ez a kikötés nyilvánvalóan nem befolyásolja az S-mátrix invarianciáját: a szórásamplitúdó mint valós fizikai mennyiség nem függhet a mérték megválasztásától (ez formálisan is következik a hatásintegrál  43. §-ban említett mértékinvarianciájából).