Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

72.§. Az unitaritási feltétel

72.§. Az unitaritási feltétel

A szórásmátrix unitér: SS+=1, vagy mátrixelemekkel kifejezve,

7.117. egyenlet - (72,1)

(SS+)fi=nSfnSin=δfi,


ahol az n index az összes lehetséges közbensőállapotot számozza.[247] Ez az S-mátrix legáltalánosabb tulajdonsága, amely biztosítja az állapotok normájának és ortogonalitásának a reakció során való megmaradását (vö. III. 125. §, 144. §-ok). Speciálisan a (72,1) egyenlőség diagonális elemei egyszerűen azt a tényt fejezik ki, hogy az adott kezdeti állapotból tetszőleges végsőállapotba valóátmenet valószínűsége 1:

∑|Sni|2=1.

eqref(72,1)-be a (65,2) alakú mátrixelemeket helyettesítve, azt kapjuk, hogy[248]

7.118. egyenlet - (72,2)

TfiTif=i(2π)4nδ(4)(PfPn)TfnTin.


Figyeljünk arra, hogy ennek az egyenlőségnek a bal oldala T mátrixelemeiben lineáris, a jobb oldal pedig négyzetes. Ha a kölcsönhatás (mint pl. az elektromágneses) valamely kis paraméterrel jellemezhető, akkor a bal oldal első-, a jobb oldal másodrendben kicsiny. Első közelítésben tehát a jobb oldal elhanyagolható, és ekkor

7.119. egyenlet - (72,3)

Tfi=Tif,


azaz a T mátrix hermitikus.

Hogy a (72,2) unitaritási feltételnek konkrétabb alakot adhassunk, pontosítanunk kell, mit értünk az n szerinti összegezésen. Végezzük ezt el két részecske ütközésére, feltételezve, hogy a megmaradási törvények csak rugalmas szórást engednek meg; ekkor a (72,2)-beli összes közbenső állapot ugyanilyen „kétrészecskés” lesz. Az ezekre való összegezés a közbenső p1″, p2″ impulzusok szerinti integrálást és a spin kvantumszámok (pl. helicitások) szerinti összegezést jelent, az utóbbiakat λ″-vel jelöljük:

∑n=∫(V2d3p1″d3p2″/(2π)6)∑λ″.

A δ-függvényt a  65. §-ban követettel azonos módon kiküszöbölve, a „kétrészecskés” unitaritási feltételt a következő formában írhatjuk:

Tfi–Rif∗=(iV2/(2π)2)∑λ″(|p|/ε)∫TfnTin∗ε1″ε2″dΩ″,

ahol p a tömegközépponti impulzus, ε a hozzá tartozó energia. A normálási térfogat eltűnik az összefüggésből, ha Tfi amplitúdókról az Mfi-kre térünk át (65,10) alapján:

7.120. egyenlet - (72,4)

MfiMif=i(4π)2λ|p|𝜀MfnMindΩ.


Definiáljuk a rugalmas szórás amplitúdóját úgy, hogy a

7.121. egyenlet - (72,5)

dσ=|nλfnλ|2dΩ


összefüggés teljesüljön (nés n′ a kezdeti és végső impulzusok irányai; λés λ′ a kezdeti és végső spinkvantumszámok). A (65,19)összefüggéssel valóösszehasonlítás szerint

7.122. egyenlet - (72,6)

nλfnλ=18π𝜀Mfi,


és a (72,4) unitaritási feltétel így

7.123. egyenlet - (72,7)

nλfnλnλfnλ=i|p|2πλnλfnλnλfnλdΩ


alakú, amely általánosítja a jól ismert nemrelativisztikus III. (125,8) képletet.

A rugalmas előreszórás amplitúdójának a Tii diagonális mátrixelemet hívják, amelyben a végállapot a kezdetivel megegyezik.[249] Erre az amplitúdóra a (72,2) unitaritási feltétel

7.124. egyenlet - (72,8)

2Tii=(2π)4n|Tin|2δ(4)(PiPn)


alakú. Az összefüggés jobb oldala csak szorzótényezőben különbözik azösszes lehetséges, az adott i kezdeti állapotból kiinduló folyamat teljes hatáskeresztmetszetétől, amelyet σt jelölünk. Valóban a (65,5) valószínűséget az fállapotok szerint összegezve és a járamsűrűséggel osztva, azt kapjuk, hogy

σt=((2π)4V/j)∑n|Tin|2δ(4)(Pi–Pn),

azaz

(2V/j)ℑTii=σt.

A normálási térfogat eltűnik, ha a Tii=Mii∕(2ε1V⋅3ε2V) (ε1, ε2 a tömegközépponti rendszerbeli részecskeenergiák) helyettesítést elvégezzük, és j-t (65,17)-ből behelyettesítjük:

7.125. egyenlet - (72,9)

Mii=2|p|𝜀σt.


Ez a képlet fejezi ki az ún. optikai tétel tartalmát. Ha bevezetjük a rugalmas szórás (72,6) amplitúdóját, akkor a tétel a szokásos alakját ölti:

7.126. egyenlet - (72,10)

nλfnλ=|p|4πσt


[vö. III. (142,10)].

Ha az S-mátrix impulzusmomentum-reprezentációban adott (parciális amplitúdókkal), akkor J-beli diagonalitása miatt az unitaritási feltétel J minden értékére külön-külön írható fel.

Így, ha csak rugalmas szórás lehetséges, az unitaritási feltétel alakja a következő:

7.127. egyenlet - (72,11)

λλSJλλSJλ=δλλ.


A T-invariancia következtében a rugalmas szórás mátrixa szimmetrikus [vö. (70,10)],így diagonalizálható. Ezután az unitaritási feltétel egységnyi abszolút értékű diagonális mátrixelemeket követel meg; ezeket szokás

7.128. egyenlet - (72,12)

SnJ= exp(2iδJn)


alakban írni, ahol δJn valós állandók, az energia függvényei (az n index pedig adott J-re a diagonális elemeket számozza). Általában, mikor a független amplitúdók N száma nagyobb, mint az SJ négyzetes mátrix rangja, a diagonalizálást végrehajtó transzformációs együtthatók Jés E függvényei (ezek az együtthatók az SJ mátrix főértékeivel együtt a kiindulóN mennyiséggel ekvivalens független mennyiséget is tartalmazzák). HaN megegyezik SJ rangjával (és vele a főértékek számával), akkor a transzformációs együtthatók univerzálisak. Ekkor a diagonalizált állapotok határozott paritásúak (de természetesen már nem határozott helicitásúak).

(72,11) feltételt ⟨λ′∣fJ∣λ⟩ parciális amplitúdókkal kifejezve:

7.129. egyenlet - (72,13)

λfJλλfJλ=2i|p|λλfJλλfJλ,


amiről könnyen meggyőződhetünk, ha (72,7)-be a (69,13) kifejtést behelyettesítjük, és a D-függvények ortonormáltságát figyelembe vesszük. T-invariancia esetén a⟨λ′∣fJ∣λ⟩ mátrixelem szimmetrikus, és (72,13)így az

7.130. egyenlet - (72,14)

λfJλ=|p|λfJfJ+λ


alakot ölti. Ha a mátrixot diagonalizáltuk, akkor diagonális elemei

7.131. egyenlet - (72,15)

fnJ=12i|p|(e2iδJn1)=1|q|eiδJn sinδJn


alakúak.

Végül rámutatunk az unitaritás és a CPT-invariancia követelményei közös alkalmazásának néhány következményére. Ez utóbbi értelmében

7.132. egyenlet - (72,16)

Tif=Tīf̄,


ahol az īés f̄állapotok i-től és f-től az összes részecske antirészecskéjével való helyettesítésében (valamint az impulzusmomentum-vektorok változatlan impulzusok melletti előjelváltásában) különböznek. Speciálisan, a diagonális mátrixelemekre

Tii=Tīī.

(72,8) vagy (72,9) következményeként az összes lehetséges reakció teljes hatáskeresztmetszete részecskékkel vagy antirészecskéikkel elvégezve azonosnak adódik.

Speciálisan, részecske és antirészecske teljes bomlási valószínűsége (azaz élettartama) megegyezik. Ezek az eredmények (a részecske és antirészecske tömegének a  11. §-ban megfogalmazott egyenlőségével) a kölcsönhatások CPT-invarianciájának legfontosabb eredményei. Emlékeztetünk (70. § vége), hogy ez az állítás a bomlás minden egyes csatornájára akkor igaz külön-külön, ha a CP-invarianciát megköveteljük.

Feladat

Az unitaritási feltételből kiindulva adjuk meg a pionok nukleonokon történő fotokeltése (γ+N→π+N) és a rugalmas πN-szórás (π+N→π+N) parciális amplitúdói fázisainak összefüggését; ennek során vegyük figyelembe, hogy a πN-szórás erős, a fotokeltés és a γN-szórás elektromágneses folyamat.

Megoldás. Jelöljük a parciális amplitúdókat a következőképpen:

⟨πN∣S∣γN⟩=Sπγ, ⟨γN∣S∣γN⟩=Sγγ, ⟨πN∣S∣πN⟩=Sππ

(a J indexeit és a helicitásindexeket elhagytuk). A fotokeltés az e töltésben első-, a γN-szórás másodrendű folyamat; így Sπγ∼e, Sγγ–1∼e2. Az Sππ amplitúdó nem tartalmaz kis paramétert. A ∼e tagok pontosságáig a (72,1) feltétel az

SπγSγγ∗+SππSγπ∗ ≈Sπγ+SππSγπ∗=0, (1) SπγSπγ∗+SππSππ∗ ≈SππSγγ∗=1 (2)

összefüggéseket adja [(72,2f) jobb oldalán az egységet mint a spinváltozók szerinti egységmátrixot kell tekinteni]. A T-invariancia következtében Sππ szimmetrikus mátrix, viszont Sγπ=Sπγ. Válasszuk az Sππ mátrixot diagonálisnak, azaz a határozott paritású pionállapotokra vonatkozónak. Ekkor (72,2f)-ből következik, hogy a diagonális elemek e2iδπ alakúak, különböző δπ állandókkal. Ezután (72,1f)-ből azt kapjuk, hogy az Sπγ mátrix minden elemére

(Sπγ/Sπγ∗)=–e2iδπ,

ahonnan

Sπγ=±|Sπγ|ieiδπ.

Tehát a fotokeltés (határozott paritású állapoté) parciális amplitúdójának fázisát a rugalmas πN-szórás fázisa határozza meg.



[247] A δfi szimbólum konkrét jelentése (72,1)-ben a kvantumszámok konkrét megválasztásától és a rendszer hullámfüggvényének normálásától függ. Úgy kell definiálnunk, hogy ∑fδif=1 teljesüljön.

[248] Ha az unitaritási feltételt S+S=1 alakban írjuk (azaz az S+ és S tényezők sorrendjét felcserélve), akkor (72,2)Tfi–Tfi∗=i(2π)4∑nδ(4)(Pf–Pn)Tnf∗Tni (72,2a)alakban írható.

[249] Hangsúlyozzuk, hogy a T-mátrix elemeiről és nem S-érél van szó, azaz a diagonális elemet az S-mátrixból az egységmátrixot levonva vesszük.