Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

71.§. Az invariáns amplitúdók

71.§. Az invariáns amplitúdók

A helicitásamplitúdók definíciójában egy kiválasztott vonatkoztatási rendszer – a tömegközépponti rendszer szerepel. Ugyanakkor a szórásamplitúdónak az invariáns perturbációszámítás segítségével való kiszámítása (és az analitikus tulajdonságok vizsgálata) szempontjából célszerű az amplitúdót explicit módon invariáns alakban irni.

Ha a reakcióban részt vevő részecskéknek nincs spinjük, akkor a szórásamplitúdó csak a részecskék négyesimpulzusainak invariáns szorzataitól függhet. Az

7.98. egyenlet - (71,1)

a+bc+d


típusú reakcióra invariánsként a 67. §-ban definiált s, t, u mennyiségek közül valamelyik kettőt lehet választani. Ekkor az amplitúdó egyetlen függvénnyel kifejezhető: Mfi=f(s,t).

Ha a részecskéknek van spinjük, akkor az s, t, u kinematikai invariánsok mellett a részecskék hullámfüggvényeiből (bispinorokból, vektorokból stb.) megalkotható invariánsokat is tekintetbe kell vennünk. Az amplitúdók ekkor

7.99. egyenlet - (71,2)

Mfi=nfn(s,t)Fn


alakúak, ahol Fn az összes részt vevő részecske hullámfüggvényében (valamint négyesimpulzusaikban) a lineáris invariánsok jelölése. Az fn(s,t) együtthatókat invariáns amplitúdóknak nevezzük.

A hullámfüggvényeket határozott helicitásúaknak választva, az invariánsok határozott Fn=Fn(λi,λf) értékeit kapjuk. Ekkor a szórás helicitásamplitúdóit az fn invariáns amplitúdók homogén lineáris kombinációiként állíthatjuk elő. Ebből nyilvánvaló, hogy a független invariáns amplitúdók száma a független helicitásamplitúdókéval megegyezik. Minthogy az utóbbiak számát (mint azt a  70. §-ban megmutattuk) könnyen megadhatjuk, egyidejűleg könnyebbé válik az Fn invariánsok megalkotása is, mert eleve tudjuk, hányat kell készítenünk.

Nézzünk néhány példát. Mindegyikben feltételezzük, hogy a kölcsönhatás T- és P-invariáns; ez utóbbi szerint az Fn invariánsok valódi (és nem pszeudo-) skalárok lesznek.

1. 0 spinű és 1∕2 spinű részecske ütközése. Az invariánsok száma 2 (l. a  70. § 3. feladatát). Válasszuk pl. a következőt:

7.100. egyenlet - (71,3)

F1=ūu,F2=ūK̂u,


ahol u=u(p)és u′=u(p′) a kezdeti és végső fermion bispinor amplitúdói ; K=k+k′, ahol kés k′ a kezdeti és a végső bozon négyesimpulzusai.[245]

(71,3) mennyiségek T-invarianciáját könnyű közvetlenül ellenőrizni. Az időtükrözés felcseréli a kezdeti és a végállapotot, valamint az u(p) amplitúdót „időtükrözöttjére” változtatja:

uT=UTū, ūT=–UT+u

[l. (28,5)]. Ezért

ū′u→ūTu′T=–(UT+)(UTū′)=–ū′ŨTUT+u=ū′UTUT+u=ū′u,

és ezzel F1-nek T-invarianciáját be is bizonyítottuk. Hasonló módon

ū′γμu→ūTγμu′T=–(UT+u)γμ(UTū′)=ū′UTγ̃μUT+u.

Figyelembe véve (26,12)-t:[246]

ū′γ0u→ū′γ0u, ū′γu→–ū′γu.

Ugyanúgy transzformálódnak a négyesimpulzusok: (K0,K)→(K0,–K), tehát az F2=Kμ(ū′γμu) skalárszorzat invariáns.

2. Azonos 1∕2 spinű részecskék rugalmas szórása. 5 független invariánsunk van ezeknek az

7.101. egyenlet - (71,4)

F1=(ū1u1)(ū2u2),F2=(ū1γ5u1)(ū2γ5u2),F3=(ū1γμu1)(ū2γμu2),F4=(ū1γμγ5u1)(ū2γμγ5u2),F5=(ū1σμνu1)(ū2σμνu2)(71,4)


mennyiségeket választhatjuk, ahol u1, u2 a kezdeti, u1′, u2′ a végső részecskék bispinor amplitúdói. A kezdeti (vagy végső) részecskék felcserélése nem vezetúj invariánsokra, mivel az új invariánsokat a régiekkel kifejezhetjük (l. a 28. 1. feladatát). De a (71,2) amplitúdót a (71,4)-beli Fn-nel megalkotva, nem teljesítjük expliciten azt a követelményt, amely szerint két azonos fermion cseréjekor a szórási amplitúdónak előjelet kell váltania. Az e követelményt kielégítő kifejezést

7.102. egyenlet - (71,5)

Mfi=[(ū1u1)(ū2u2)f1(t,u)(ū2u1)(ū1u2)f1(u,t)]+


alakban írhatjuk. A p1′és p2′ (illetve a p1és p2) impulzusokat felcserélve, a kinematikai invariánsok s→s, t→u, u→t cseréje következik be, és így a fenti követelménynek automatikusan eleget tettünk.

Vizsgáljunk még két példát – foton rugalmas szóródását 0 és 1∕2 spinű részecskén. E folyamat amplitúdóját célszerű az e(1), e(2) térszerű négyesvektorokkal kifejezni, melyek az

7.103. egyenlet - (71,6)

e(1)2=e(2)2=1,e(1)e(2)=0,e(1)k=e(2)k=0,e(1)k=e(2)k=0


feltételeket elégítik ki (ezek a négyesvektorok mindkét fotonra azonosak lehetnek azokkal a négyes egységvektorokkal, amelyeknek segítségével a fotonok polarizációs tulajdonságait invariáns módon leírjuk – l. 8. §).

Legyen k és k′ a foton kezdeti és végső impulzusa, pés p′ pedig ugyanez a szóró részecskére. Tekintsük a

7.104. egyenlet - (71,7)

Pλ=pλ+pλ+pλKλpK+pKK2,Nλ=eλμνϱPμqνKϱ(71,7)


vektorokat, ahol

K=k+k′, q=p–p′=k′–k.

Ezek nyilvánvalóan kölcsönösen merőlegesek egymásra. Minthogy merőlegesek a K és q vektorokra is, ugyanez igaz k-ra és k′-re. Mivel a K időszerű négyesvektorra (K2=2kk′>0) merőlegesek, maguk is térszerűek (valóban, a K=0 tulajdonságú vonatkoztatási rendszerben KP=0-ból következik, hogy P0=0, azaz P2<0). P-t és N-et normálva, azaz az

7.105. egyenlet - (71,8)

e(1)λ=NλN2,e(2)λ=PλP2


választással olyan négyesvektorpárt kapunk, amely az összes (71,6)-beli követelményt kielégíti. Megjegyezzük, hogy e(2) valódi, e(1) pedig pszeudovektor.

A fotonszórás amplitúdóját

7.106. egyenlet - (71,9)

Mfi=Fλμeλeμ


alakban adjuk meg, leválasztva belőle a kezdeti és végső foton eés e′ polarizációs négyesvektorait.

3. Foton szóródása zérus spinű részecskén. A (71,9)-beli Fλμ tenzort csak a részecskék négyesimpulzusaiból kell megalkotnunk. Az

7.107. egyenlet - (71,10)

Fλμ=f1e(1)λe(1)μ+f2e(2)λe(2)μ


alakban írhatjuk, ahol f1, f2 az invariáns amplitúdók, melyek száma ez esetben2. Figyeljünk fel arra, hogy az e(1)λe(2)λ tag Fλμ-ben nem fordulhat elő, mivel ez a szorzat pszeudotenzor, és (71,9)-be helyettesítve pszeudoskalárra vezetne.

4. Foton szóródása 1∕2 spinű részecskén. Az Fλμ tenzort

Fλμ=G0(eλ(1)eμ(1)+eλ(2)eμ(2))+G1(eλ(1)eμ(2)+eλ(2)eμ(1))+G2(eλ(1)eμ(2)–eλ(2)eμ(1))+

7.108. egyenlet - (71,11)

+G3(eλ(1)eμ(1)eλ(2)eμ(2))


alakban keressük, ahol G0, G3 valódi, G1, G2 pedig pszeudoskalár függvények. Mindnyájan bilineárisak a fermionok ū(p′)és u(p) bispinor amplitúdóiban, azaz

7.109. egyenlet - (71,12)

Gn=ū(p)Qnu(p)


alakúak. A Qn mátrixok (bispinor indexekben) általános alakja:

7.110. egyenlet - (71,13)

Q0=f1+f2K̂,Q1=γ5(f3+f4K̂),Q2=γ5(f5+f6K̂),Q3=f7+f8K̂,


ahol K=k+k′. Az f1,…,f8 együtthatók az invariáns amplitúdók, melyek száma 8-nak adódott (a szükséges 6 helyett), ugyanis a T-invariancia követelményét még nem alkalmaztuk.

Az időtükrözés felcseréli a kezdeti és a végső négyesimpulzusokat, és egyidejűleg térkomponenseik előjelét is megváltoztatja:

7.111. egyenlet - (71,14)

(k0,k)(k0,k),(p0,p)(p0,p).


A fotonok polarizációs négyesvektorának

7.112. egyenlet - (71,15)

(e0,e)(e0,e)


a transzformációs szabálya [vö. (8,11a)], úgyhogy

(e0′∗e0,ei′∗e0,ei′∗ek)→(e0′∗e0,–e0′∗ei,ek′∗ei).

Ez utóbbi transzformáció következményeként a (71,9) szórásamplitúdó invarianciájának követelménye az

(F00,Fi0,Fik)→(F00,–F0i,Fki)

transzformációs szabállyal ekvivalens. Másrészt a (71,14) helyettesítés eredményeként

(K0,K)→(K0,–K), (q0,q)→(–q0,q),
(P0,P)→(P0,–P), (N0mN)→(N0,–N),

tehát

7.113. egyenlet - (71,16)

(e0(1,2),e(1,2))(e0(1,2)e(1,2)).


(71,11) kifejezésből így az következik, hogy

G0,1,3→G0,1,3, G2→–G2.

Fentebb láttuk, hogy időtükrözéskor

7.114. egyenlet - (71,17)

ūuūu,ūK̄uūK̄u.


Hasonló eljárással belátható, hogy

7.115. egyenlet - (71,18)

ūγ5uūγ5u,ūγ5K̂uūγ5K̂u.


(71,12)(71,13) kifejezésből ezek után látható, hogy a szórásamplitúdóT-invarianciája következtében

7.116. egyenlet - (71,19)

f3=f6=0.




[245] Első látásra még egy ū′σμνkμk′νualakú invariánst is lehetne készíteni. Könnyű azonban meggyőződni arról, hogy ez visszavezethető a (71,3) invariánsokra, ha figyelembe vesszük a k′=p+k–p′ megmaradási törvényt és p̂u=mu, ū′p̂′=mū′ Dirac-egyenleteket , melyeket a bispinor amplitúdók kielégítenek.

[246] Ezek a transzformációs törvények természetesen a  28. §-ban a Ψ̄Ψ és Ψ̄γμΨ operátorokra levezetett időtükrözési transzformációs szabályokból is következnek, mivel ū′u és ū′γμu ezeknek mátrixelemei.