Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

70.§. A helicitásamplitúdók szimmetriatulajdonságai

70.§. A helicitásamplitúdók szimmetriatulajdonságai

A P, T, C transzformációkkal szembeni invariancia követelménye (amennyiben a reakciónak valóban megvannak ezek a szimmetriái) a különböző helicitásamplitúdók között határozott összefüggésekre vezet, és ezzel csökkenti a független amplitúdók számát.[241]

Ezeknek az összefüggéseknek a felállításához először a kétrészecskés rendszer helicitásállapotainak szimmetriatulajdonságait tisztázzuk.

Vizsgáljuk a részecskéket tömegközépponti rendszerükben. Egyikük p1≡p impulzusú és λ1 helicitású a p irányra vonatkoztatva, a másik p2≡–p impulzusú és λ2 helicitású a –p irányban mérve. Ha mindkét részecske helicitását ugyanarra a p irányra vonatkoztatjuk, akkor értékük rendre λ1 és –λ2. Eszerint a részecskéket az up(λ1) és az up–λ2 amplitúdójú síkhullámok írják le. A kétrészecskés rendszert az upλ1λ2 (több komponensű) hullámfüggvény írja le, melyet az upλ1 és up–λ2 amplitúdók szorzatából alkotunk.

A rendszert most egyetlen, az n=p∕|p| irányra vonatkoztatott Λ=λ1–λ2 helicitású részecskének tekintve, a határozott J, M, λ1, λ2 (és ε teljes energia) értékkel rendelkező állapot hullámfüggvényét (impulzusreprezentációban, azaz mint n függvényét) a következő alakban írhatjuk:

7.81. egyenlet - (70,1)

ψJMλ1λ2=up(λ1λ2)DΛM(J)(n)2J+14π,Λ=λ1λ2


[l. (69,8)]. Minthogy Λ a teljes impulzusmomentumnak p-re vett vetülete, ezért fennáll, hogy

7.82. egyenlet - (70,2)

|Λ|J.


(16,14) szerint tükrözéskor

7.83. egyenlet - (70,3)

Pu(λ1λ2)(n)=η1η2u(λ1λ2)(n)=η1η2(1)s1+s2λ1+λ2u(λ1λ2)(n),


ahol η1és η2 a részecskék belső paritásai. (16,10) felhasználásával a (70,1) függvény transzformációs szabályára

7.84. egyenlet - (70,4)

PψJMλ1λ2=η1η2(1)s1+s2JψJMλ1λ2


adódik. Ha a két részecske azonos, akkor felmerül a felcserélésük során mutatkozó szimmetria kérdése. Ez a művelet impulzusaik és spinjeik cseréjét jelenti. Az operáció (70,1)-re való hatásának megvilágítására megjegyezzük, hogy a definíció aszimmetrikus, mivel mindkét részecske impulzusmomentumának vetületét ugyanarra a p1≡p vektorra vesszük. A csere után ennek helyét ap2≡–p vektor foglalja el. A j1és j2 impulzusmomentumok erre vett vetületei–λ1és λ2 (a p-re vett λ1és –λ2 helyett). Ezért a P12 felcserélési operátor a (70,1) függvényre a következőképpen hat:

P12ψJMλ1λ2=u–λ2–λ1(–n)DΛM(J)(–n)√((2J+1/4π))

(ahol Λ az előző λ1–λ2 értéket veszi fel). Ezután (70,3) és (16,10) alkalmazásával kapjuk a

7.85. egyenlet - (70,5)

P12ψJMλ1λ2=(1)2sJψJMλ2λ1


szabályt, ahol s1=s2≡s.

Az azonos részecskékre csak a felcserélésre szimmetrikus (bozonok ) vagy antiszimmetrikus (fermionok) állapotok megengedettek. Mivel az első esetben a részecskék egész, a másodikban félegész spinűek, így a megengedett kétrészecskés helicitásállapotok az

[1+(–1)2sP12]ψJMλ1λ2

lineáris kombináció alakjában írhatók vagy (70,5)-tel egyezésben,

7.86. egyenlet - (70,6)

ψJMλ1λ2+(1)JψJMλ2λ1


formában. Figyelemreméltó, hogy ennek a kombinációnak egységes alakja van mind bozonokra, mind fermionokra.

A részecske–antirészecske rendszer esetében a felcserélés eredményét ugyanaz a (70,5) képlet adja meg. Az azonos részecskék esetétől eltérően azonban itt mindkét felcserélési szimmetriájú állapot, azaz

7.87. egyenlet - (70,7)

ψ±=ψJMλ1λ2±(1)JψJMλ2λ1


egyaránt megengedett. Ezeknek az állapotoknak határozott a C töltésparitásuk. A töltéskonjugáció műveletét mint az összes (spin- és töltés-) változók cseréjét, majd a spinváltozók (helicitások) ezt követő visszacserélését valósíthatjuk meg. Az első művelet eredménye a két azonos részecske felcserélésének eredményével kell, hogy egyezzék. Ebből világos, hogy (70,7) felső előjelét véve [amely a (70,6)-beli, azonos részecskékre megengedett előjellel egyezik], a rendszer páros töltésparitású, az alsó jelnél viszont páratlan:

Cψ±=±ψ±.

Végül tekintsük az időtükrözést . Az s spinű, a spinvetületű nyugvó részecske a

Tψsσ=(–1)s–σψs,–σ

szabály szerint transzformálódik [l. III. (60,2)]. A két részecske hullámfüggvényét tömegközépponti rendszerükben (transzformációs tulajdonságai szempontjából) mint J spinű és M spinvetületű nyugvó részecskéét tekinthetjük. Ami a λ1, λ2 helicitásokat illeti, azok nem változnak; minthogy időtükrözéskor az impulzus és az impulzusmomentum vektora egyaránt előjelet vált, így a jp szorzat változatlan marad. Tehát

7.88. egyenlet - (70,8)

TψJMλ1λ2=(1)JMψJMλ1λ2.


Ezeket az összefüggéseket használva, azonnal felírhatjuk a helicitásamplitúdók közötti összefüggéseket .

Ha a kölcsönatás P-invariáns, akkor az

a+b→c+d

reakcióra (adott J és ε esetén) a

|λaλb⟩→|λcλd⟩ ésP|λaλb⟩→P|λcλd⟩

átmenetek amplitúdói megegyeznek. (70,4)-et felhasználva ezért

7.89. egyenlet - (70,9)

λcλdSJλaλb=ηcηdηaηb(1)sc+sdsasbλc,λdSJλa,λb.


Ha a határozott helicitásúállapotok helyett a határozott paritásúakat, azaz az

(1/√2)(ψJMλ1λ2±PψJMλ1λ2)

kombinációkat használjuk (ahol λ1λ2=λ1λb vagy λcλd), akkor a paritást sértő átmeneti mátrixelemeknek el kell tűnniük.

Az időtükrözés során minden állapot (70,8) szerint transzformálódik, és ezenkívül a kezdeti és a végállapot felcserélődik. Ezért a T-invariancia követelménye a

7.90. egyenlet - (70,10)

λcλdSJ(𝜀)λaλb=λaλbSJ(𝜀)λcλd


összefüggésre vezet. Ez a két amplitúdó azonban két különböző folyamatrá (direkt és fordított reakcióra) vonatkozik. Csak a rugalmas szórás esetében egyezik a két reakció, és ekkor (70,10) határozott összefüggést ad ugyanazon reakció helicitásamplitúdói között.

Azonos részek rugalmas szórása esetén a különböző amplitúdók számát a felcserélési szimmetria is csökkenti. Láttuk, hogy adott J-re vagy csak a szimmetrikus, vagy csak az antiszimmetrikus helicitásállapotok valósulhatnak meg. Így az impulzusmomentum megmaradása automatikusan magával hozza a helicitások felcserélésével szembeni szimmetriát is.

Hasonló helyzet áll elő részecske és antirészecskéje ütközésekor (vagy ilyen pár más, hasonló párba való átalakulása során: a+ā→b+b̄). Adott J-re a szimmetrikus és az antiszimmetrikus helicitásállapotok egyaránt léteznek, de ezeknek az állapotoknak töltésparitása eltérő. Ebből következik, hogy ha a kölcsönhatás C-invariáns, vagyis a töltésparitás megmarad, akkor a λ1-ben és λ2-ben különböző szimmetriájú állapotok közti átmenetek tiltottak.[242] Hangsúlyozzuk azonban az azonos részecskék esetétől való eltérést, ahol adott J-re valamelyik szimmetriájú állapot teljesen hiányzott. A „részecske–antirészecske” rendszerre csak az eltérő szimmetriájú állapotok közti átmenetek tiltottak, bár maguk az állapotok (minden J-re) léteznek.

Az általános CPT-invariancia értelmében a T-invariancia a CP-invarianciát magával vonja. Ez utóbbi azon két reakció amplitúdójának azonosságát is megköveteli, amelyek közül az egyik a másikból az összes részecske antirészecskéjévei való helyettesítésével (és a helicitások előjelének megváltoztatásával) adódik:

7.91. egyenlet - (70,11)

λcλdSJλaλb=λc̄λd̄SJλ āλb̄,


ahol λā=–λa,….[243]

A független amplitúdók száma az összes keresztezett csatornában azonos; ezért e szám meghatározására tetszőleges csatorna tekinthető. Így azonos számú független amplitúdó írja le az a a+b→a+b rugalmas szórást és az a+ā→b+b̄ szétsugárzást. Ekkor az első reakcióra a T-invariancia által kiszabott korlátozások ekvivalensek másodikra a C-invariancia révén adódókkal.

Időzzünk még egy kicsit egy részecskének kettőre bomlásánála→b+c. A tömegközépponti rendszerben (az a részecske nyugalmi rendszerében) pb=–pc. A pb-t ja=jb+jc-vel szorozva, kapjuk a

7.92. egyenlet - (70,12)

λa=λbλc


egyenlőséget (a λa helicitást az elsődleges részecske spinjének valamelyik másodlagos, részecske kirepülési irányára való vetítésével kapjuk). Ez azösszefüggés, azt mondhatjuk, olyan kiegészítő szimmetria következménye, amellyel csak az adott folyamat rendelkezik: a pbés pc irányok körüli tengelyszimmetriából fakad. Ha az elsődleges részecske spinje sa<sb+sc, akkor a (70,12)összefüggés csökkenti a λa, λb, λc megengedett értékeinek halmazát, és ezzel a független helicitásamplitúdók számát is. Ez esetben a teljes J impulzusmomentum megegyezik az elsődleges részecske sa spinjével, ami rögzített érték.

A P-invarianciát bomlásnál a

7.93. egyenlet - (70,13)

λbλcSJλa=ηbηcηa(1)sasbscλb,λcSJλa


összefüggés fejezi ki [itt felhasználtuk (70,4) mellett az egyrészecskés hullámfüggvény (16,16) transzformációs törvényét is].

Ha az elsődleges részecske valódi semleges, akkor, ha a C-paritás megmarad, további korlátozások lépnek fel. Itt három esetet kell megkülönböztetnünk. Ha a bomlástermékek szintén valódi semlegesek, akkor Ca=CbCc; ez az összefüggés vagy megtiltja, vagy megengedi a bomlást, nem ad újabb megkötéseket. Ha a b és c részecskék különbözőek, akkor a C-invariancia az a→b+c és a→b̄+c̄ folyamatok között teremt kapcsolatot. Végül az a→b+b̄ bomlás esetén egy azzal kapcsolatos megkötés lép fel, hogy adott C töltésparitás és adott J=sa teljes impulzusmomentum esetén a rendszer a helicitásokban vagy csak páros, vagy csak páratlan állapotban létezhet – a J szám párosságátől és C előjelétől függően.

A CP-invariancia az a→b+c és ā→b̄+c̄ bomlások amplitúdóinak azonosságára,

7.94. egyenlet - (70,14)

λbλcSJλa=λb̄λc̄SJλ ā


(ahol λā=–λa,…), azaz a részecske és antirészecskéje bomlási valószínűségének egyenlőségére vezet. Ha a részecske különböző módon (csatornákon) tud bomlani, akkor ez az egyenlőség minden egyes csatornában igaz. Hangsúlyozzuk, hogy ez az eredmény a CP-invarianciaérvényességét feltételezi, ami nem tartozik a természet általános törvényei közé. Általános jellege csak a CPT-invarianciának van; ez a követelményönmagában a

⟨λbλc∣SJλa⟩=⟨λā∣SJ∣λb̄λc̄⟩

egyenlőségre vezetne, amelynek jobb oldala a fordított bomlást leíró amplitúdók közé tartozik. Alább megmutatjuk  72(72. §), hogy a CPT-invariancia az unitaritás megkövetelésével együtt valamiféle korlátozottabb hatáskörű összefüggésre vezet a részecske és antirészecskéje bomlási valószínűségei között.

Feladatok

1. Osztályozzuk (70,6) segítségével két foton lehetséges állapotait.

Megoldás. Ez esetben λ1,λ2=±1. Páros J (J>0) esetén (70,6) szerint három, λ1λ2-ben szimmetrikus állapot megengedett:

a) ψ J M11 b) ψ J M–1–1 c) ψ J M1–1+ψJM–11.

Páratlan J-re (J>1) egy megengedett antiszimmetrikus állapot írható fel:

d) ψ J M1–1–ψJM–11.

A c) és d) állapotoknak határozott (+1) paritásuk van: (70,4) szerint ugyanis

P(ψJM1–1±ψJM–11)=±(–1)J(ψJM1–1±ψJM–11);

az együttható ±(–1)J=1, mivel a felső előjel J páros, az alsó pedig J páratlan értékeihez tartozik. Az a) és b) állapotok önmagukban nem határozott paritásúak, de belőlük az

a′) ψ J M11+ψJM–1–1, b′)ψJM11–ψJM–1–1

kombinációkat összeállítva, páros és páratlan állapotokat kapunk. J=0 esetén (a |λ1–λ2|≦J feltétel miatt) csak a λ1=λ2 állapotok megengedettek, tehát a c) állapot kiesik, és csak egyetlen páros (a′)) és páratlan (b′)) állapot valósulhat meg. Végül J=1 esetén a páratlan J-re egyedül megengedett d) állapot lesz tiltott, mivel erre λ=2>J. Tehát a megengedett állapotok (9,5) táblázatát kapjuk.

2. Nemrelativisztikus közelítésben a rendszer J teljes impulzusmomentuma az S spin és az L pályamomentum összeadásának eredménye. Adjuk meg kétrészecskés rendszer esetén a |JLSM⟩és a |JMλ1λ2⟩ állapotok közötti összefüggést.

Megoldás. A hullámfüggvényekre vonatkozó kompozíciós szabály impulzusmomentumok összeadásakor:

7.95. egyenlet - (1)

ψJLSM={ψs1σ1ψs2σ2Cσ1σ2SMS}ψLMLCMLMSJM.


Itt ψsσ az s spin és σ spinvetület (rögzített z tengely esetén) sajátfüggvénye,ψLML ugyanez az L pályamomentumra és ML vetületére; a kapcsos zárójelen belüli kifejezés az s1és s2 spin összegezésének (s1+s2=S) felel meg, melynek elvégzése után S-et L-lel J-vé csatoljuk össze; azösszegezés pedig az összes mágneses indexre vonatkozik. Adjuk meg azösszes hullámfüggvényt impulzusreprezentációban mint a p≡p1 impulzusn irányának függvényét, ψsσ-t viszont a III. (58,7) összefüggések alapján a ψnλ helicitás-sajátállapotok lineáris kombinációjaként adjuk meg:

ψs1σ1=∑λ1Dλ1σ1(s1)(n)ψnλ1,
ψs2σ2=∑λ2D–λ2σ2(s2)(n)ψm,–λ2.

A ψLML függvényekről tudjuk, hogy

ψLML=YLML(n)=iL√((2L+1/4π))D0ML(L)(n)

[felhasználtuk a (16,5) definíciót és III. (58,25)-öt. E függvényeket (70,1f)-be helyettesítve, kétszer felhasználva a III. (110,1) kifejtést és a Clebsch–Gordan-együtthatók ortogonalitását [III. (106,13)], ψJLSM-et végül a

7.96. egyenlet - (2)

ψJLSM=λ1λ2JMλ1λ2JLSM


alakban kapjuk, ahol

ψJMλ1λ2=ψnλ1ψn,–λ2DΛM(J)(n)√((2J+1/4π)), Λ=λ1–λ2,

és

7.97. egyenlet - (3)

JMλ1λ2JLSM=(i)L(i)s1s2+S(2L+1)(2S+1)s1s2Sλ1λ2ΛLSJ0ΛΛ.


(70,2f) transzformáció unitaritása következtében

⟨JLSM∣JMλ1λ2⟩=⟨JMλ1λ2∣JLSM⟩∗.

3. Határozzuk meg a független parciális amplitúdók számát a következő szórásfolyamatokban:

a) π+N→π+N, b)γ+π→γ+π, c)γ+N→γ+N, d)e+N→e+N, e)ν+e→ν+e, f)p+γ→n+π+, g)N+N→N+N.[244]

Megoldás. a), b). Az SJ mátrixelemek teljes halmazának N=4 tagja van (azaz ennyi a λ1λ2λ1′λ2′ számok különböző értéknégyeseinek száma). A P-invarianciát figyelembe véve, ezek száma NP=2-re csökken, a T-invarianciát tekintve NT=3. Mindkettőt figyelembe véve NPT=2.

c), d) N=16, N P =8, N T =10, N P T =6.
e) N=4, N T =3,
f) N=8, N P =4.

g) A számbavételhez célszerű a helicitásamplitúdók következő lineáris kombínációiból kiindulni:

ψ1g=ψ+++ψ––, ψ2g=ψ++–ψ––, ψ3g=ψ+–+ψ–+, ψu=ψ+––ψ–+,

ahol a ± indexek a két részecske helicitásértékeire (±1∕2) utalnak. Az lg, 2g, 3g állapotok párosak, az u állapot páratlan a részecskék felcserélésével szemben. Így a g↔u átmenetek tiltottak. A felcserélési szimmetria figyelembevételével N=16–6=10 amplitúdó marad. A P tértükrözésre a ψ1g, ψ3g és a ψ:2g, ψu állapotok ellentétes paritásúak [rendre (–1)J+1 és (–1)J]; a köztük való átmenetek tiltottsága a független amplitúdók számát NP=6-ra csökkenti. Végül a T-invariancia az 1g→3g és 3g→1g amplitúdók azonosságát követeli meg, tehát NPT=5.



[241] Természetesen a független amplitúdók száma nem függ az SJ mátrix konkrét reprezentációitól, és a spinváltozók tetszőleges megválasztásakor azonos marad.

[242] Hasonló tilalom léphet fel a nem azonos részecskék kölcsönhatásának izotóp invarianciája következtében. Így éppen az invariancia erejéig tiltottak a λ1-ben és λ2-ben különböző szimmetriájú állapotok közötti átmenetek neutron–proton szórásban .

[243] Mivel e két amplitúdó különböző folyamatokra vonatkozik, melyek között interferencia nem lehetséges, így a (70,11)-beli fázistényezőnek általában nincs jelentősége, és helyette 1 írható. Valós jelentése csak a hatáskeresztmetszetek (70,11)-ből következő egyenlőségének van.

[244] Ezekben a reakciókban természetesen csak a részecskék spinjei és kölcsönhatásaik szimmetriája a lényegesek.