Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

69.§. A parciális amplitúdók szerinti sorfejtés

69.§. A parciális amplitúdók szerinti sorfejtés

Az

7.65. egyenlet - (69,1)

a+bc+d


típusú reakciók analízisének lényeges lépcsője a szórásamplitúdó parciális amplitúdók szerinti sorfejtése. Ezek mindegyike (adott ε teljes energia esetére) a tömegközépponti rendszerben határozott J teljes impulzusmomentum értéknek felel meg.[240]

Ezek a parciális amplitúdók, más szavakkal az S-mátrixelemek impulzusmomentum-reprezentációbeli alakját adják:

⟨εJ′M′∣S∣εJM⟩.

Minthogy a J teljes impulzusmomentum és egy adott z tengelyre vett vetülete megmaradó mennyiségek, az S-mátrix ezekben a kvantumszámokban diagonális (csakúgy mint az energiában). Ugyanakkor a tér izotropiája folytán a diagonális mátrixelemek M-től függetlenek. Adott J, M, ε esetén a szórásmátrix még mátrixjellegű a spin-kvantumszámokban. E mátrixelemeket rövidebben a következő alakban írjuk:

7.66. egyenlet - (69,2)

𝜀JMλS𝜀JMλλSJ(𝜀)λ,


ahol λés λ′ a spinkvantumszámok összessége. Ez utóbbiak jellemzésére legcélszerűbb a részecskék helicitását használni. Emlékeztetünk arra, hogy a helicitás (a tetszőleges tengelyre vett spinvetülettel ellentétben) szabad részecskénél megmarad, és felcserélhető az impulzusával és J impulzusmomentumával (l. 16. §). Így a helicitást a szórásmátrixnak mind az impulzus-, mind az impulzusmomentum-reprezentációjában használhatjuk.

Az S-mátrix helicitásindexek szerint vett elemeit a szórás helicitásamplitúdóinak nevezzük, így a λ és λ′ jeleken a kezdeti (végső) részek helicitásainak összességét kell értenünk: λ=(λa,λb), λ′=(λc,λd).

Impulzusreprezentációban a szórásmátrix elemeit az |εnλ⟩ állapotok között adjuk meg (ahol n=p∕|p| a tömegközépponti rendszerbeli relatív mozgás impulzusának iránya), impulzusmomentum-reprezentációban viszont az |εJMλ⟩állapotok között. Ezeket egymással a következő sorfejtés köti össze:

7.67. egyenlet - (69,3)

JMλ=nλnλJMλdΩn,


ahol az integrálást n lehetséges irányai szerint kell elvégezni (az ε energia jelölését a rövidség kedvéért itt és a továbbiakban elhagyjuk). E transzformáció unitaritása következtében (l. III. 12. §) az inverz transzformáció együtthatói:

7.68. egyenlet - (69,4)

JMλnλ=nλJMλ.


A mátrixtranszformációáltalános szabályai szerint a két reprezentációbeliS-mátrixelemek közötti kapcsolatot ugyanezek az együtthatók határozzák meg:

7.69. egyenlet - (69,5)

nλSnλ=JMnλJMλJMλSJMλJMλnλ.


(69,3) kifejtés együtthatóit a 16. § eredményeit felhasználva könnyen megkapjuk.

Fejezzük ki az összes állapot hullámfüggvényét impulzusreprezentációban, azaz tekintsük ezeket mint (adott energia esetén) az impulzus irányának függvényeit. Ezt a független változót n-től való megkülönböztetésül ν-vel jelöljük. Ebben a reprezentációban a hullámfüggvény (16,2) alakú:

7.70. egyenlet - (69,6)

ψnλ(ν)=u(λ)δ(2)(νn).


(69,6)-ot a (69,3) kifejtésbe helyettesítve, ez utóbbi egy tagra redukálódik:

7.71. egyenlet - (69,7)

ψJMλ=νλJMλu(λ).


jmA (v21 J/1/2)u(2). (69,7)’ A λa, λb helicitások a megfelelő részecskék impulzusára vett spinvetületek. Ha a részecskék impulzusai pa≡p, pb≡–p akkor ez az irány az első részecskére n, a másodikra −n. Ha a rendszert most mint egyetlen részecskét vizsgáljuk, amelynek n az iránya és Λ a helicitása, akkor Λ=λa–λb. Hullámfüggvénye (impulzusreprezentációban) (16,4) szerint a következő alakú:

7.72. egyenlet - (69,8)

ψJMλ(ν)=u(λ)DΛM(J)(ν)2J+14π.


(69,7)és (69,8) kifejezéseket összehasonlítva (és a ν változó jelölését n-re változtatva), a keresett együtthatókra

7.73. egyenlet - (69,9)

nλJMλ=2J+14πDΛM(J)(n)


adódik. Ezeket az együtthatókat (69,5)-be helyettesítve,

7.74. egyenlet - (69,10)

nλSnλ=JM2J+14πDΛM(J)(n)DΛM(J)(n)λSJλ,


ahol

Λ=λa–λb, Λ′=λc–λd,

és felhasználtuk a (69,2) rövidítéseket. Válasszuk n-et a z-tengely mentén, ekkor

DΛM(J)(n)=δΛM,

és (69,10) a következő alakot ölti:

7.75. egyenlet - (69,11)

nλSnλ=J2J+14πDΛΛ(J)(n)λSJλ.


Látjuk, hogy a parciális amplitúdók szerinti sorfejtést a DΛ′Λ(J) függvények segítségével írhatjuk fel. A (69,1) típusú reakcióra egyszerűbb az f szórásamplitúdó olyan definíciója, hogy a (tömegközépponti rendszerbeli) hatáskeresztmetszet

7.76. egyenlet - (69,12)

dσ=|nλfnλ|2dΩ


legyen [a (65,19)-cel valóösszehasonlítás révén ez az amplitúdó az Mfi mátrixelemmel hozható kapcsolatba]. A parciális amplitúdók szerinti sorfejtés

7.77. egyenlet - (69,13)

nλfnλ=JM(2J+1)DΛM(J)(n)DΛM(J)(n)λfJλ,


vagy az n vektort a z-tengely irányában választva:

7.78. egyenlet - (69,14)

nλfnλ=J(2J+1)DΛΛ(J)(n)λfJλ.


Ez a képlet a szokásos, spin nélküli részek ütközésére vonatkozó parciális sorfejtés általánosítása [l. III. (123,14)]. Minthogy D00(L)=PL(cos), így zérus spin esetén (69,14) a Legendre-polinomok szerinti kifejtésre redukálódik:

f()=∑L(2L+1)fLPL(cos).

(69,12) hatáskeresztmetszet csak határozott helicitású részecskéket tartalmazó reakciókra vonatkozik. Ha a részecskék kevert polarizációs állapotban vannak, ,akkor a hatáskeresztmetszetet a

⟨λcλd∣f∣λaλb⟩⟨λc′λd′∣f∣λa′λb′⟩∗

szorzat átlagolásával kapjuk a spin-sűrűségmátrixokat használva (l. az V. fejezet14. lábjegyzetét):

⟨λa∣ϱ(a)∣λa′⟩⟨λb∣ϱ(b)∣λb′⟩⟨λc′∣ϱ(c)∣λc⟩⟨λd′∣ϱ(d)∣λd⟩.

Így a polarizálatlan a, b részecskék c és dpolarizálatlan részecskék keletkezésére vezető reakciójának hatáskeresztmetszete:

dσ=(dΩ/(2sa+1)(2sb+1))∑(λ)∑JJ′(2J+1)(2J′+1)⟨λcλd∣fJ∣λaλb⟩×

7.79. egyenlet - (69,15)

×λcλdfJλaλbDΛΛ(J)(n)DΛΛ(J)(n)


(a z tengely n irányú, a ∑(λ) jel a λaλbλcλd szerinti összegezést jelent). A DΛ′Λ(J′)∗ függvényt III. (58,19) alapján helyettesítve, majd felhasználva a III. (110,2) kifejtést, végül

dσ=(dΩ/(2sa+1)(2sb+1))∑(λ)JJ′(–1)Λ–Λ′(2J+1)(2J′+1)×
×⟨λcλd∣fJ∣λaλb⟩⟨λcλd∣fJ′∣λaλb⟩∗×

7.80. egyenlet - (69,16)

×L(2L+1)JJLΛΛ0JJLΛΛ0PL(cos𝜃)


adódik ( az n′ vektor z-tengellyel bezárt szöge); az L szerint a Jés J′ vektoriösszeadásakor fellépő eredők minden egész értékére összegezünk.

A szórásamplitúdó parciális amplitúdók szerinti kifejtése teljességgel figyelembe veszi a szórás szögeloszlásának a térbeli forgatásokkal szembeni szimmetriából fakadó tulajdonságait. A tértükrözési szimmetria azonban nem látható világos módon. A P-invariancia (ha a kölcsönhatás tulajdonsága) határozott összefüggésekre vezet a helicitásarnplitúdók között (l. alább, a  70. §-ban).



[240] 69. §70. §-okban szereplő eredmények nagyrészt M. Jacobtól és G. C. Wick től származnak (1959).