Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

68.§. A fizikai tartományok

68.§. A fizikai tartományok

A szórásamplitúdót mint az s, t, u független változók függvényét tekintve (melyekre az s+t+u=h egyenlőség teljesülése az egyetlen megkötés), felmerül a kérdés: vajon melyek ezek értékének a megengedett és melyek a meg nem engedett tartományai? A fizikai szórásfolyamatnak megfelelő értékeknek meghatározott feltételeket kell kielégíteniük, melyek a négyesimpulzus megmaradásának és a tömeghéj-feltételeknek (qa2=ma2) a következményei.

Két négyesimpulzus szorzatára fennáll, hogy

7.51. egyenlet - (68,1)

papbmamb.


Ezért

(qa+qb)2=(pa+pb)2≧(ma+mb)2,

ha qa=pa,qb=pb (vagy qa=–pa,qb=–pb), vagy pedig

(qa+qb)2=(pa–pb)2≦(ma–mb)2,

ha qa=pa,qb=–pb. Ebből az s-csatornabeli folyamatokra:

7.52. egyenlet - (68,2)

(m1+m2)2s(m3+m4)2,(m1m3)2t(m2m4)2,(m1m4)2u(m2m3)2(68,2)


(hasonló egyenlőtlenségek érvényesek a t- és u-csatornára).

A további feltételeket az L négyesvektor segítségével adjuk meg, amely a qa négyesvektorok közül valamelyik három szorzatának duálisa:

7.53. egyenlet - (68,3)

Lλ=eλμνϱq1μq2νq3ϱ.


Valamelyik (pl. az 1) részecske nyugalmi rendszerét választva, q1=(q10,0). EkkorL-nek csak a térkomponensei különböznek nullától: Li=ei0klq10q2kq3l. Más szavakkal, L térszerű vektor, és így minden vonatkoztatási rendszerben L2≦0. Elvégezve a négyzetre emelést, a következő feltételt kapjuk:

7.54. egyenlet - (68,4)

q12q1q2q1q3q2q1q22q2q3q3q1q3q2q320.


Ezt az s, t, u invariánsokkal mindhárom csatornában egységesen fejezhetjük ki az alábbi formában:

7.55. egyenlet - (68,5)

stuas+bt+cu,


ahol

7.56. egyenlet - (68,6)

ah=(m12m22m32m42)(m12+m22m32m42),bh=(m12m32m22m42)(m12+m32m22m42),ch=(m12m42m22m32)(m12+m42m22m32)(68,6)


(T. W. B. Kibble , 1960).

7. ábra.

Az s, t, u változók értelmezési tatományának ábrázolására alkalmas az ún. háromszögű koordináta-rendszert használni (Mandelstam-sík ; S. Mandelstam , 1958). Ezeket a koordinátatengelyeket egy egyenlő oldalú háromszög oldalegyenesei alkotják. Az s, t, u koordinátákat erre a három tengelyre merőlegesen mérjük fel (pozitívnak a háromszög belseje felé mért értékeket tekintve, amint azt a 7. ábrán a nyilak mutatják). Más szavakkal, a sík minden egyes pontjának egy s, t, u értékhármas felel meg, amelyek értékét(a megfelelő előjellel) a három tengelyre bocsátott merőlegesek hossza adja. Az s+t+u=h feltétel teljesülését egy ismert geometriai tétel biztosítja (ha a háromszög magassága h).[239]

Vizsgáljuk meg azt a fontos speciális esetet, mikor az s-csatornának a rugalmas szórás felel meg, azaz a részecskék tömegei páronként egyeznek:

7.57. egyenlet - (68,7)

m1=m3m,m2=m4μ.


Legyen m>μ. A (68,5) feltételből

h=2(m2+μ2), a=c=0, b=(m2–μ2)2,

így

7.58. egyenlet - (68,8)

sut(m2μ2)2t.


Az egyenlőtlenséggel kijelölt tartomány határát a t=0 egyenes és az

7.59. egyenlet - (68,9)

su=(m2μ2)2


hiperbola adja, melynek két ága az u<0, s<0és az s>0, u>0 szektorokban helyezkedik el. Az s=0és u=0 tengelyek a hiperbola aszimptotái. (68,8) helyett

t>0, su>(m2–μ2)2vagyt<0, su<(m2–μ2)2

írható. Ezenkívül a (68,2) feltételből az s>(m+μ)2 egyenlőtlenséget az s-csatornában és az u>(m+μ)2-et az u-csatornában kell figyelembe venni, a maradék egyenlőtlenségek ezután automatikusan teljesülnek. Végeredményben azt látjuk, hogy az I., II., III. (s,t,u) csatornáknak a 8. ábrán bevonalkázott fizikai tartomány felel meg.

8. ábra.

Ha μ=0 (a 2, 4 részecskék fotonok), akkor a hiperbola alsó ága érinti a t=0 egyenest, és a fizikai tartományok a 9. ábrának megfelelően néznek ki.

Ha m=μ, akkor a (68,8)-ból kapott határok a koordinátatengelyekké fajulnak el, és a fizikai tatomány a 10. ábrán látható három szektorral egyezik meg.

9. ábra.

10. ábra.

Általános esetben mind a négy tömeg különböző, és az

7.60. egyenlet - (68,10)

stu=as+bt+cu


egyenlet harmadfokú görbét határoz meg, melynek ágai a három csatorna fizikai tartományát a 11. ábrának megfelelően határozzák meg. Legyen

m1≧m2≧m3≧m4.

11. ábra.

Ekkor

a≧b≧c, a>0, b>0.

(68,10) görbe a koordinátatengelyeket az

as+bt+cu=0

egyenesen fekvő pontokban metszi. c előjelétől függően ez a 11 a), b) ábrákon látható módon néz ki. Ha c<0, az u-csatorna fizikai tartománya a koordináta-háromszög egy részét elfoglalja; más szavakkal, ez esetben s, t, u egyidejűleg vehet fel pozitív értékeket. A határoló görbe mindhárom ágának a megfelelő koordinátatengelyek lesznek az aszimptotái [erről könnyen meggyőződhetünk, ha az s+t+u=h egyenlet segítségével (68,10)-ből az egyik változót kiküszöböljük, és aztán a megmaradó változók valamelyikével a végtelenhez tartunk]. A (68,2) feltételek általában semmi újat nem hoznak a (68,10) egyenlettel megadott határokhoz képest. A (68,2)-beli egyenlőségnek megfelelő egyenesek nem metszik a 11 a), b) ábrák vonalkázott tartományait; egyesek érintik a tartomány határait, amely s, t vagy u szélső értékeinek felel meg az illető csatornában.

Abban az esetben, mikor az egyik részecske tömege nagyobb a másik három tömeg összegénél (m1>m2+m3+m4), akkor I., II., III. mellett még negyedik csatorna lehetséges, ami a bomlást írja le:

7.61. egyenlet - (68,11)

IV)22̄+3+4.


Ebben a csatornában, a bomló részecske nyugalmi rendszerében

q1=(m1,0), q2=(–ε2,–p2), q3=(–ε3,–p3), q4=(–ε4,–p4),
ε2+ε3+ε4=m1, p2+p3+p4=0.

Az invariánsok:

7.62. egyenlet - (68,12)

s=m12+m222m1𝜀2,t=m12+m322m1𝜀3,u=m12+m422m1𝜀4.(68,12)


Ekkor (68,1)-ből azt kapjuk, hogy

7.63. egyenlet - (68,13)

(m3+m4)2s(m1m2)2,(m2+m4)2t(m1m3)2,(m2+m3)2u(m1m4)2.(68,13)


Tehát mindhárom invariáns pozitív, azaz a bomlási csatorna fizikai tartománya a koordináta-háromszög belsejében van. Ezt a (68,10)-zel megadott zárt görbe határolja.

Feladatok

1. Adjuk meg a fizikai tartományt három egyenlő tömeg: m1≡m, m2=m3=m:4≡μ esetén (pl. K+π→π+π).

(68,10) egyenlet

7.64. egyenlet - (1)

stu=μ2(m2μ2)2


alakot ölt, és

s+t+u=3μ2+m2.

Az I., II., III. tartományokat azonos alakú görbék határolják (I.-re: s>0, t<0, u<0, és hasonlóak az egyenlőtlenségek II. és III. esetére is). Ha m>3μ, akkor (68,1f)-nek s s>0, t>0, u>0 értékekhez tartozó ága is van (zárt görbe), amely a IV. csatorna határát adja (l.  12. ábra).

12. ábra.

13. ábra.

2. Ugyenez, m1≡m, m2≡μ, m3=m4=0, m>μ esetére (pl. μ+ν→e+ν reakció).

(68,5) feltétel

stu≧m2μ2s

alakú, és érvényes az s+t+u=m2+μ2 mellékfeltétel. Tehát a fizikai tartományt az s=0 egyenes és a tu=m2μ2 hiperbola két ága határolja (13. ábra).

3. Ugyanez, az m1=m3≡m, m2=0m4≡μ esetre, ahol m>2μ (pl. a p+γ→p+π0 reakció).

(68,10) határgörbe egyenlete

stu=a(s+u)+bt

alakú, ahol

ah=m2μ4, bh=m4(2m2–μ2), h=2m2+μ2.

μ-t kiküszöbölve kapjuk, hogy

t2+((b–a/s)+s–h)t+(ah/s)=0.

Adott s-re ez t-ben másodfokú egyenlet. Ha s>(m+μ)2 (s-csatorna tartománya), minden s-hez két negatív t érték tartozik. Ha s=(m+μ)2, a másodfokú egyenlet két gyöke egybeesik: t=–mμ2∕(m+μ). A három csatorna fizikai tartományának határait a 14. ábrán láthatjuk. Az s-csatorna határoló görbéjének alsó ága aszimptotikusan az u=0 egyeneshez közeledik, míg a felső ezt az egyenest a t=μ4∕(μ4–m2) pontban metszi.

Az u-csatorna fizikai tartománya szimmetrikus az s-csatorna tartományára.

14. ábra.



[239] Pl. a 7. ábrán a P pontot a háromszög ABC csúcsaival összekötve, a háromszög három újabbra esik szét, melyek magasságai rendre s, t, u; a részterületek összegének és az ABC háromszög területének egyenlőségét felhasználva kapjuk a keresett egyenlőséget. Hasonló a bizonyítás menete akkor is, ha a P pont az ABC háromszögön kívül van.