Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

67.§. Kinematikai invariánsok

67.§. Kinematikai invariánsok

Vizsgáljunk néhány kinematikai összefüggést azokra a reakciókra vonatkozóan, amelyek mind a kezdeti, mind a végállapotban csak két-két részecskét tartalmaznak. Olyan összefüggésekre gondolunk, melyek csak az impulzusmegmaradás általános törvényéből következnek, és így a részecskék és kölcsönhatásaik természetétől függetlenül érvényesek.

A négyesimpulzus megmaradása általános alakban, amely nem jelzi, mely impulzusok tartoznak a kezdeti és melyek a végső állapotbeli részekhez, a következő:

7.41. egyenlet - (67,1)

q1+q2+q3+q4=0.


Itt ±qa az impulzusok négyesvektorai, közülük kettő a beeső, kettő pedig a kifutó részeknek felel meg. Az utóbbi két impulzushoz –qa tartozik. Más szavakkal, e két qa időkomponensére qa0, a másik kettőére pedig qa0<0.

A négyesimpulzus megmaradása mellett a töltésmegmaradást is figyelembe kell venni. Itt töltésként nemcsak az elektromos töltést, hanem olyan más megmaradó mennyiséget is érthetünk, amelynek előjele a részecskékre és antirészecskékre különböző.

A folyamatban részt vevő részecskék tömegeit megadva (qa2=ma2) a qa négyesimpulzusok négyzeteit is rögzítjük. A qa0 időkomponensek által felvett értékektől függően három különböző reakcióra jutunk. Írjuk ezeket a következő formában:

7.42. egyenlet - (67,2)

I)1+23+4,II)1+3̄2̄+4,III)1+4̄2̄+3.(67,2)


Itt a számok a részecskék sorszámát jelölik, a szám fölötti esetleges vonás pedig az antirészecskére utal. Az áttérés az egyik reakcióról a másikra, azaz a részecskének átvitele az egyik oldalról a másikra a megfelelő qa0 időkomponens és a töltés előjelének megváltoztatásával, akkor valósul meg, ha a részecskét antirészecskéjével helyettesítjük. [Természetesen (67,2)-vel együtt a fordított reakciók is lehetségesek.]

(67,2)-beli három folyamatról mint egy (általánosított) reakció három keresztezett csatornájáról beszélhetünk.

Vegyünk néhány példát. Ha az 1 és 3 részecskék elektronok, a 2 és 4 fotonok, akkor az I. csatorna az elektron–foton szórást írja le; a foton valódi semlegessége miatt a III. csatorna ezzel azonos. A II. csatorna viszont elektron–pozitron pár kétfotonos szétsugárzását írja le. Ha mind a négy részecske elektron, akkor az I. csatorna elektron–elektron szórást ír le, a II. és III. csatorna viszont elektron–pozitron szórást. Ha az 1 és 3 részecske elektron, a 2 és 4 müon, akkor az I. csatorna az e–μ szórást, a III. csatorna az e–μ̄ szórást, a II. pedig az eē pár μμ̄ párba való átalakulását írja le.

A szórásfolyamatok leírásában különleges szerepet játszanak a négyesimpulzusok-ból összeállítható invariáns mennyiségek. Ezek függvényei lesznek a szórás invariáns amplitúdói (71. §).

A négy négyesimpulzusból két független invariáns alkotható. Ugyanis (67,1) következtében három független qa négyesvektorunk van; legyenek ezek pl. q1,q2,q3. Belőlük hat invariáns mennyiség készíthető: a három impulzusnégyzet (q12,q22,q32) és a három vegyes szorzat (q1q2,q2q3,q3q1). Az első hármat azonban a részecskék tömegei rögzítik, a másik három között viszont fennáll egy, a

(q1+q2+q3)2=q42=m42

összefüggésből következő kapcsolat.[238]

A szimmetrikusabb írásmód kedvéért hasznosabb három invariánst tekintetbe venni; a következőket választjuk:

7.43. egyenlet - (67,3)

s=(q1+q2)2=(q3+q4)2,t=(q1+q3)2=(q2+q4)2,u=(q1+q4)2=(q2+q3)2.(67,3)


Mint az rögtön látható, a következőösszefüggés áll fenn köztük:

7.44. egyenlet - (67,4)

s+t+u=h,


ahol

7.45. egyenlet - (67,5)

h=m12+m22+m32+m42.


A direkt (I.) csatornában az s változónak egyszerű fizikai jelentése van: az ütköző (1 és 2) részecskék teljes tömegközépponti energiájának négyzete [p1+p2=0 esetén s=(ε1+ε2)2]. A II. csatornában hasonló szerepe van t-nek, III.-ban u-nak. Ennek megfelelően az I., II., III. csatornákat rendre s-, t-, u- csatornáknak hívják.

Nem nehéz az s, t, u invariánsokat valamelyik csatornában ütköző részecskék impulzusaival, energiáival kifejezni. Vegyük az s-csatornát. Az 1 és 2 részecske tömegközépponti rendszerében a qa négyesvektorok komponensei a következő módon adhatók meg:

7.46. egyenlet - (67,6)

q1=p1=(𝜀1,ps),q2=p2=(𝜀2,ps),q3=p3=(𝜀3,ps),q4=p4=(𝜀4,ps)


(a psés ps′s indexe arra utal, hogy az s-csatornabeli folyamat tömegközépponti rendszerében vagyunk). Ekkor

7.47. egyenlet - (67,7)

s=𝜀s2,𝜀𝜀s=𝜀1+𝜀2=𝜀3+𝜀4;


7.48. egyenlet - (67,8)

4sps2=[s(m1+m2)2][s(m1m2)2],4sps2=[s(m3+m4)2][s(m3m4)2];(67,8)


7.49. egyenlet - (67,9)

2t=hs+4psps1s(m12m22)(m32m42),2u=hs4psps+1s(m12m22)(m32m42).(67,9)


Rugalmas szórás esetén (m1=m3,m2=m4) |ps|=|ps′|; így ε1=ε3ésε2=ε4 (67,9) helyett pedig egyszerűbb képletekre jutunk:

7.50. egyenlet - (67,10)

t=(pspsps)2=2ps2(1 cos𝜃s),u=2ps2(1+ cos𝜃s)+(𝜀1𝜀2)2,(67,10)


ahol s a psés ps′által bezárt szög. Megjegyezzük, hogy a –t invariáns ekkor az ütközés során átadott hármasimpulzus négyzetét adja.

A többi csatornára vonatkozó megfelelő képleteket egyszerű átjelöléssel kapjuk. A t-csatornára való áttéréshez (67,6)(67,10)-ben az s↔t, 2↔3 cserét, az u-csatornához az s↔u, 2↔4 cserét kell elvégezni.



[238] Általában, mikor a reakcióban n≧4 részecske vesz részt, a független invariáns változók száma 3n–10. Valóban, összesen 4n mennyiség van – az n négyesimpulzus qa komponensei. Ezek között a qa2=ma2 összefüggés n függvénykapcsolatot ad, a ∑n=1nqa=0 megmaradási törvény további négyet. Tetszőleges értéket vehet fel 6 mennyiség, az általános Lorentz-transzformációt (általános, négydimenziós forgatást) meghatározó paramétérek száma 6. Ezért a független invariáns változók száma 4n–n–4–6=3n–10.