Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

66.§. Polarizált részecskék reakciói

66.§. Polarizált részecskék reakciói

Ebben a szakaszban egyszerű példákon mutatjuk be, hogyan vesszük számításba a hatáskeresztmetszetek kiszámításakor a reakcióban részt vevő részecskék polarizációs állapotát.

Legyen jelen a kezdeti és a végső állapotban egy-egy elektron. Ekkor a szórásamplitúdó

7.28. egyenlet - (66,1)

Mfi=ūAu(ūiAikuk)


alakú, ahol ués u′ a kezdeti és a végső elektron bispinor amplitúdói, A pedig (a reakcióban részt vevő egyéb részecskék impulzusától, polarizációsállapotától függő) valamely mátrix.

A szórás hatáskeresztmetszete|Mfi|2-tel arányos, így

(ū′Au)∗=u′γ0∗A∗u∗=u∗A+γ0+u′

vagy

7.29. egyenlet - (66,2)

(ūAu)=ūĀu


figyelembevételével, ahol[236]

Ā=γ0A+γ0,

azt kapjuk, hogy

7.30. egyenlet - (66,3)

|Mfi|2=(ūAu)(ūĀu)uiūkAklulūmĀmi.


Ha a kezdeti elektron kevert (részlegesen polarizált) állapotban van, melyet a ϱ sűrűségmátrixír le, és ha bennünket a határozott, előre megadott ϱ′, polarizációjú elektron keltésével járó folyamat hatáskeresztmetszete érdekel, akkor a bispinor amplidútók komponenseinek szorzatán az

ui′ūk′→ϱik′, ulūm→ϱlm

helyettesítést kell elvégezni. Ekkor

7.31. egyenlet - (66,4)

|Mfi|2= Sp(ϱAϱĀ).


A ϱés ϱ′ sűrűségmátrixokat a (29,13) képlet adja meg:

7.32. egyenlet - (66,5)

ϱ=12(p̂+m)(1γ5â)


(és hasonlóϱ′ kifejezése is).

Ha a kezdeti elektron polarizálatlan, akkor

7.33. egyenlet - (66,6)

ϱ=12(p̂+m).


Ennek behelyettesítése (66,3)-ba egyenértékű az elektron polarizációjára valóátlagolással. Ha a tetszőleges polarizációjú végső elektronra vonatkozó hatáskeresztmetszetet kell megadnunk, akkor ugyancsak ϱ′=(p̂′+m)∕2 helyettesítendő be, majd az eredmény dupláját kell venni; ez az eljárás ekvivalens az elektronpolarizációkra valóösszegezéssel. Így adódik, hogy

7.34. egyenlet - (66,7)

12polar|Mfi|2=12Sp{(p̂+m)A(p̂+m)Â}


ahol ∑polar a kezdeti és végső polarizációkra valóösszegezés, az 1∕2 szorzó pedig az egyik összegezésből az átlagolás eredménye.

(66,4)-beli sűrűségmátrix közbenső fogalom, amely valójában a (végelektron egyik vagy másik polarizációját kiválasztó) detektor tulajdonságait jellemzi, nem pedig magát a szórási folyamatot. Felmerül az a kérdés, milyen polarizációs állapotba kerül a részecske magának a szórásfolyamatnak hatására. Ha ϱ(f) ennek az állapotnak a sűrűségmátrixa, akkor az elektron ϱ′ állapotban történő detektálásának valószínűségétϱ(f)-nek ϱ′-re való vetítésével, azaz Sp(ϱ(f)ϱ′) képzésével kapjuk.Ezzel a mennyiséggel arányos a megfelelő hatáskeresztmetszet, azaz |Mfi|2 is. (66,4)-gyel összehasonlítva, arra következtethetünk, hogy

7.35. egyenlet - (66,8)

ϱ(f)AϱĀ.


Mivel előzetesen tudjuk, hogy ϱ(f) (66,5) alakú, valamilyen a(f) négyesvektorral, így ez utóbbi határozandó meg. Ezt a (29,14) képlettel tehetjük meg, de még egyszerűbb az alábbiakban bemutatandó eljárás.

Mint a  29. §-ban láttuk, az a négyesvektor komponenseit a ζ hármasvektor (az elektron nyugalmi rendszerbeli spin átlagértékének kétszerese) segítségével fejezhetjük ki. Ezek a vektorok teljességgel jellemzik az elektronok polarizációs állapotait, így célszerű a hatáskeresztmetszetet is velük kifejezni. Világos, hogy |Mfi|2 lineáris mind ζ-ban, mind ζ′-ben, melyek rendre az elektron kezdeti és szórt állapotát jellemzik. Így mint ζ′ függvénye,

7.36. egyenlet - (66,9)

|Mfi|2=α+βζ


alakú, ahol αés β maguk is lineáris függvénye ζ-nak.

(66,9)-beli ζ′ vektor a végállapotbeli elektronnak a detektor által kiválasztott, adott polarizációjára. A ζ(f) vektor, amely megfelel a ϱ(f) sűrűségmátrixnak, a következő módszerrel adható meg. A mondottakkal összhangban

|Mfi|2∼Sp(ϱ′ϱ(f)).

A relativisztikus invariancia értelmében ez a mennyiség tetszőleges vonatkoztatási rendszerben kiszámítható. A nyugvó végső elektron rendszerében (29,20) szerint

ϱ′ϱ(f)∼(1+σζ′)(1+∼ ζ′(f)).

Ezért

|Mfi|2∼1+ζ′ζ(f),

melyet (66,9)-cel összehasonlítva,

7.37. egyenlet - (66,10)

ζ(f)=βα


adódik. Így a hatáskeresztmetszetet mint ζ′ függvényét kiszámítva, egyidejűleg ζ(f)-et is meghatározzuk.

Bonyolultabb esetekben, mikor egynél több kezdeti és végső elektronunk van, az ismertetetthez hasonlóak a számítások.

Így, ha kezdetben és végül egyaránt két-két elektron van jelen, a szórásamplitúdó

Mfi=(ū1′Au1)(ū2′Bu2)+(ū2′Cu1)(ū1′Du2)

alakú, ahol u1 és u2 a kezdő, u1′, u2′ a végső elektronok bispinor amplitúdói. |Mfi| képzésekor

|ū1′Au1|2|ū2′Bu2|2

és

(ū1′Au1)(ū2′Bu2)(ū2′Cu1)∗(ū1′Du2)∗

alakú tagok jelennek meg. Az előbbiek két, (66,4) alakú nyom szorzatára, az utóbbiak pedig

Sp(ϱ1′Aϱ1C̄ϱ2′Bϱ2D̄)

alakúakra vezetnek.

A pozitronokat a „negatív frekvenciás” u(–p) amplitúdók írják le. A pozitronokat tartalmazó reakciók esetében a fent elmondottaktól annyi az eltérés, hogy a pozitronok sűrűségmátrixai(66,5) és (66,6) szerintiekből m előjelének megváltoztatásával adódnak [l. (29,16)(29,17)].

Vizsgáljuk most a résztvevő fotonok polarizációs állapotait .

Minden kezdeti foton polarizációját a szórásamplitúdó lineárisan, az e négyesvektor alakjában tartalmazza, a végső fotonokra a megfelelő négyesvektor e∗. A hatáskeresztmetszet (azaz |Mfi|2) mindkét esetben az eμeν∗ négyestenzort tartalmazza. Tetszőleges, részlegesen polarizált fotonállapotra a tenzort a négydimenziós sűrűségmátrixszal, a ϱμν, négyestenzorral helyettesítve térhetünk át:

7.38. egyenlet - (66,11)

eμeνϱμν.


Speciálisan, polarizálatlan fotonra (8,15) alapján:

7.39. egyenlet - (66,12)

ϱμν=12gμν.


Tehát a foton polarizációja szerinti átlagolás|Mfi|2-ben tenzorkontrakcióra vezet – a megfelelőμν tenzorindexek szerint.[237]

Ha nem átlagolni, hanem összegezni kell a fotonpolarizációkra, akkor eμeν∗-ot az előző kifejezés kétszeresével kell helyettesíteni:

7.40. egyenlet - (66,13)

eμeνgμν.


A polarizált foton sűrűségmátrixát(8,17) kifejezés adja. Az e(1), e(2) négyesvektorok kiválasztását ott a feladat konkrét viszonyai diktálják. Bizonyos feladatokban ezek a vektorok egy adott vonatkoztatási rendszer meghatározott térszerű irányaival kapcsolatosak. Másutt megfelelőbb a feladatban szereplő karakterisztikus négyesvektorokkal – a részecskék négyesimpulzusaival kifejezni azokat.

(8,17)-ben a foton polarizacióját a Stokes-paraméterekkel jellemezzük, melyek a ξ=(ξ1,ξ2,ξ3) „vektort” alkotják. Csakúgy mint az elektronra, különbséget kell tennünk a végső foton ξ(f) polarizációja és a detektor által jelzett ξ′ polarizáció között. Ha a szórásamplitúdó négyzete mint ξ′ függvénye ismert:

|Mfi|2=α+βξ′,

akkor a ξ(f)=β∕α polarizáció (66,10)-hez teljesen hasonló módon adódik.



[236] Az Ā mátrix képzésével kapcsolatban megjegyezzük a következő, könnyen ellenőrizhető összefüggéseket: γμ¯=γμ, γμγν…γϱ¯=γϱ…γνγμ, γ5¯=–γ5, γtγμ¯=γ5γμ.

[237] (66,12) kifejezés a foton két valóban lehetséges polarizációs állapota szerinti átlagolást az eμ négyesvektor négy független komponensére történő átlagolásra vezeti vissza.