Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

7. fejezet - VII. FEJEZET A SZÓRÁSMÁTRIX

7. fejezet - VII. FEJEZET A SZÓRÁSMÁTRIX

65.§. A szórásamplitúdó

Az ütközésekre vonatkozó általános feladat a következő: adjuk meg a rendszer egy adott kezdeti állapotából a különböző végállapotokba való átmenet valószínűségét (átmenet szabad részecskék valamely adott halmazából más részecskékből álló halmazba). Ha az |i⟩ szimbólummal a kezdőállapotot jelöljük, akkor a szórás eredményét, mint a

7.1. egyenlet - (65,1)

fffSi


szuperpozíciót állíthatjuk elő, ahol az összegezés a lehetséges|f⟩ végállapotokra vonatkozik. A kifejtési ⟨f∣S∣i⟩ (vagy rövidírásmódban az Sfi) együtthatók alkotják az S-mátrixot[228] vagyszórásmátrixot. Az |Sfi|2 mennyiségek adják az adott |f⟩-be valóátmenet valószínűségét.

Kölcsönhatás hiányában a rendszer állapota nem változna, ennek a helyzetnek egységnyi S-mátrix felelne meg (nincs szórás). Ezt az egységet hasznos leválasztani, ezzel a szórásmátrix elemeinek a következő alakot adva:

7.2. egyenlet - (65,2)

Sfi=δfi+i(2π)4δ(4)(PfPi)Tfi,


ahol Tfi egy újabb mátrix eleme. A második tagban leválasztottuk a négyesimpulzus megmaradását kifejezőδ-függvényt (Pfés Pi rendre a vég-és a kezdőállapotbeli részecskék eredő négyesimpulzusai); az egyéb szorzótényezők csak a továbbiak kényelmes írásmódját szolgálják. A nemdiagonális mátrixelemekhez (65,2) első tagja nem ad járulékot, így az i→fátmenetet leíróSés T mátrixelemek kapcsolata az

7.3. egyenlet - (65,3)

Sfi=i(2π)4δ(4)(PfPi)Tfi


alakra egyszerűsödik. A Tfi mátrixelemeket, amelyek a δ-függvény leválasztása után maradnak vissza, nevezzük szórásamplitúdóknak .

Az |Sfi| abszolút értékek négyzetre emelésekor a δ-függvény négyzete jelenik meg. Ezt a következőképpen értelmezzük. A δ-függvényt a

7.4. egyenlet - (65,4)

δ(4)(PfPi)=1(2π)4ei(PfPi)xd4x


előállításából származtatjuk. Ha ezt az integrált Pf=Pi melett számítjuk ki (ennek egy már jelenlevőδ-függvény az oka), és az integrálást egy nagy, de véges V térfogatra és t időre terjesztjük ki, Vt∕(2π)4 adódik.[229] Ezért írhatjuk, hogy

|Sfi|2=(2π)4δ(4)(Pf–Pi)|Tfi|2Vt.

t-vel osztva az egységnyi időre vonatkoztatott átmeneti valószínűséget, kapjuk, hogy

7.5. egyenlet - (65,5)

wfi=(2π)4δ(4)(PfPi)|Tfi|2V.


Az összes (kezdeti és végállapotbeli) szabad részecskét hullámfüggvényeírja le – valamely u amplitúdóval szorzott síkhullám (az elektronra ez egy bispinor, a fotonra pedig négyesvektor). A Tfi amplitúdó szerkezete a következő:

7.6. egyenlet - (65,6)

Tfi=u1u2Qu1u2,


ahol balra a végállapotbeli, jobbra a kezdeti részecskék hullámfüggvényeiállnak; Q valamely mátrix (a részecskék hullámfüggvényeinek komponenseihez kapcsolódó indexekkel).

A legfontosabbak azok az esetek, amikor a kezdeti állapotban egy vagy két részecske található. Az előbbi esetben bomlásról, az utóbbiban két részecske ütközéséről beszélünk.

Először tekintsük egy részecske tetszőleges számúra történő elbomlását . Az utóbbiak impulzusa pa′, és a ∏ad3pa′ fázistérfogat-elemben helyezkednek el (az a index a végállapotbeli részeket számozza, így ∑pa′=Pf). E térfogatelemben található állapotok száma (V térfogatra való normálás esetén)[230]

∏a(Vd3pa′/(2π)3).

Ezzel a mennyiséggel kell szoroznunk (65,5)-öt:

7.7. egyenlet - (65,7)

dw=(2π)4δ(4)(PfPi)|Tfi|2VaVd3pa(2π)3.


E képletben az összes részecske hullámfüggvényeit „egy részecske/V térfogat” normájúnak kell választanunk.[231]Így az elektronra ez a (23,1) síkhullám lesz, az 1 spinű részekre a (14,12), a fotonra a (4,3) képletek által megadott hullámfüggvények lesznek. Mindezek a függvények egy1∕√(2εV) szorzót tartalmaznak, ahol ε a részecske energiája. Mégis, a továbbiakban kényelmesebb az összes számításban a hullámfüggvényeket egyezményesen e szorzók nélkül írni (melyeket a valószínűség kifejezésében expliciten kiírunk). Így az elektron-síkhullám

7.8. egyenlet - (65,8)

ψ=ueipx,,ūu=2m,


a fotonhullám

7.9. egyenlet - (65,9)

A=4πeeikx,ee=1,ek=0.


Az e függvényekkel kiszámított szórásamplitúdót (Tfi-től való megkülönböztetésként) Mfi-vel jelöljük. Világos, hogy

7.10. egyenlet - (65,10)

Tfi=Mfi(2𝜀1V2𝜀1V)12,


ahol a nevezőben minden egyes kezdeti és végső részecskének egy √(2εV) tényező felel meg.

Ekkor a bomlás valószínűségére  (65,7) helyett

7.11. egyenlet - (65,11)

dw=(2π)4δ(4)(PfPi)|Mfi|212𝜀ad3pa(2π)32𝜀a


adódik, ahol ε a bomló részecske energiája; a normálási térfogat, mint azt elvártuk, a végképletből kiesett.[232]

Adjunk még zártabb alakot (65,11)-nek (eltávolítva belőle a δ-függvényt) abban az esetben, ha a végállapot két (p1′ és p2′ impulzusú, ε1′, és ε2′ energiájú) részecskét tartalmaz. A bomló részecske nyugalmi rendszerében p1′=–p2′≡p′és ε1′+ε2′=m. Ekkor

dw=(1/(2π)2)|Mfi|2(1/2m)(1/4ε1′ε2′)δ(p1′+p2′)δ(ε1′+ε2′–m) d3p1′d3p2′.

Az első δ-függvényt d3p2′ szerinti integrálással távolítjuk el; a d3p1′ differenciált a következő alakban írjuk:

7.12. egyenlet - (65,12)

d3p=p2d|p|dΩ=|p|dΩ𝜀1𝜀2d(𝜀1+𝜀2)𝜀1+𝜀2


(ennek helyességéről ε1′2–m12=ε2′2–m22=p′2 figyelembevételével könnyű meggyőződni). A d(ε1′+ε2′) szerinti integrálással tűnik el a másodikδ-függvény, és adódik, hogy

7.13. egyenlet - (65,13)

dw=132π2m2|Mfi|2|p|dΩ.


Tekintsük most két (p1 és p2 impulzusú, ε1 és ε2 energiájú) részecske ütközését , melynek során tetszőleges számú, pa′ impulzusú részecskékké alakulnak át. (65,11) helyett most a

dw=(2π)4δ(4)(Pf–Pi)|Mfi|2(1/4ε1ε2V)∏a(d3pa′/(2π)32εa′)

eredményt kapjuk.

A bennünket érdeklő mennyiség azonban most nem a valószínűség, hanem dσ. A (Lorentz-transzformációkkal szemben) invariáns hatáskeresztmetszetetdw-ből a

7.14. egyenlet - (65,14)

j=IV𝜀1𝜀2


mennyiséggel való osztás révén kapjuk, ahol I négyesskalár mennyiség,

7.15. egyenlet - (65,15)

I=(p1p2)2m12m22


(l. II. 12.ú§).[233] A tömegközépponti rendszerben (p1=–p2≡p)

7.16. egyenlet - (65,16)

I=|p|(𝜀1+𝜀2),


így

7.17. egyenlet - (65,17)

j=|p|V1𝜀1+1𝜀2=v1+v2V,


ami megegyezik a (v1,v2 sebességű)[234]ütköző részek áramsűrűségének szokásos kifejezésével. Így a hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk:

7.18. egyenlet - (65,18)

dσ=(2π)4δ(4)(PfPi)|Mfi|214Iad3pa(2π)32𝜀a.


Ezt a képletet zártabb alakban is írhatjuk, a δ-függvényt kiküszöbölve belőle abban az esetben, ha a végállapot két részecskét tartalmaz. Vizsgáljuk a reakciót a tömegközépponti rendszerből. Legyen ε=ε1+ε2=ε1′+ε2′ a teljes energia; p1=–p2≡p és p1′=–p2′≡p′ a kezdeti és a végső impulzusok. A δ-függvényt a (65,13) levezetésével azonos módon távolíthatjuk el, és

7.19. egyenlet - (65,19)

dσ=164π2|Mfi|2|p||p|𝜀2dΩ


adódik. (A rugalmas szórás speciális esetében, amikor az ütközés során a részecskék neme változatlan: |p|=|p′|).

Írjuk át ezt a képletet szembetűnően invariáns alakra, bevezetve a

7.20. egyenlet - (65,20)

t(p1p1)2=m12+m12(p1p1)=m12+m122𝜀1𝜀1+2|p1p1|cos𝜃


invariáns mennyiséget, ahol a p1és p1′által bezárt szög. A tömegközépponti rendszerben a |p1|≡|p|és |p1′|≡|p′| impulzusokat az ε teljes energia meghatározza,és ennek adott értékére

7.21. egyenlet - (65,21)

dt=2|pp|dcos𝜃.


Ezért (65,19)-ben elvégezhető a

dΩ′=–dφdcosφ=(dφd(–t)/2|p∥p′|)

helyettesítés, ahol φ a p1′ impulzus p1-hez képest vett azimutszöge.[235] Tehát

7.22. egyenlet - (65,22)

dσ=164π|Mfi|2dtI2dφ2π


[itt (65,16)-ot használva, újra bevezettük I-t]. A φ azimutszög és vele a (65,22) alakú hatáskeresztmetszet invariáns a részecskék relatív mozgását változatlanul hagyó Lorentz-transzformációkkal szemben. Ha a hatáskeresztmetszet független az azimutszögtől, akkor (65,22) különösen egyszerű alakot ölt:

7.23. egyenlet - (65,23)

dσ=164π|Mfi|2dtI2.


Ha az ütköző részecskék egyike elegendően nehéz (és az ütközés következtében állapota nem változik), akkor a folyamatban egy állandó tér rögzített forrása lesz. Ennek megfelelően, minthogy állandó térben az energia megmarad (de nem az impulzus!), a reakciót így tárgyalva az S-mátrix elemeit

7.24. egyenlet - (65,24)

Sfi=i2πδ(EfEi)Tfi


alakban állítjuk elő.

Az |Sfi|2 kifejezésben az egydimenziós δ-függvényt

[δ(Ef–Ei)]2→(1/2π)δ(Ef–Ei)t

helyettesítéssel kell négyzetre emelni. Ezután [csakúgy mint (65,11) levezetésénél] az Mfi amplitúdókra áttérve Tfi helyett, a következő kifejezést kapjuk annak a folyamatnak a valószínűségére, amelyben az állandó téren szóródó részecske a végállapotban néhány más részecskét kelt:

dw=2πδ(Ef–ε)|Mfi|2(1/2εV)∏a(d3pa′/(2π)32εa′).

Itt ε(=Ei) a kezdeti részecske energiája, pa′ és εa′ a végső részecskék impulzusai és energiái. A reakció hatáskeresztmetszetét a dw valószínűséget a j=v∕V áramsűrűséggel osztva kapjuk, ahol v=|p|∕ε a szórt részecske sebessége . Ekkor, mint várható volt, a normálási térfogat kiesik, és

7.25. egyenlet - (65,25)

dσ=2πδ(Ef𝜀)|Mfi|212|p|ad3pa(2π)32𝜀a


az eredmény.

A rugalmas szórás speciális esetében (nagyságát tekintve) azonos impulzusú és energiájú egyetlen részecskét találunk a végállapotban. Elvégezve a d3p′→p′2d|p′|dΩ′=|p′|ε′dε′dΩ′ helyettesítést, a dε′ szerinti integrálással eltávolítva a δ(ε′–ε) függvényt, a rugalmas hatáskeresztmetszet végső alakja:

7.26. egyenlet - (65,26)

dσ=116π2|Mfi|2dΩ.


Végül, ha a külső tér függ az időtől (például meghatározott mozgást végző nehéz részecskék rendszerének tere esetén), akkor az S-mátrix az energiamegmaradást biztosítóδ-függvényt sem tartalmazza. Ekkor Sfi=Tfi, majd Tfi-ről  (65,10) szerint Mfi-re térve át, részecskék adott halmazának keletkezésére a

7.27. egyenlet - (65,27)

dw=|Mfi|2ad3pa(2π)32𝜀a


valószínűséget kapjuk.



[228] Az angol scattering vagy a német Streuung szóból.

[229] Ez másképp is bemutatható, ha először (65,4)-ben az integrálást koordinátánként véges határok között elvégezzük, majd a III. (42,4) képletet használva, a határokkal végtelenhez tartunk: limξ→∞(sin2αξ/α2ξ)=πδ(α).

[230] A szemléletesség kedvéért ebben a szakaszban nem tételezünk fel egységnyi normálási térfogatot.

[231] Emlékeztetünk, (l. az V. fejezet4. lábjegyzetét), hogy ez a normálási mód ekvivalens azzal, amelynél a végállapotbeli részecskék hullámfüggvényei δ(p)-re normáltak, és a valószínűség d3p1′…-re vonatkozik.

[232] Ha a végső részek között N azonos található, az impulzusok szerinti integrálás során (az integrális valószínűség megadásakor) egy 1∕N! tényezőt kell beiktatnunk, amely a részecskék permutációjával keletkező állapotok azonosságát veszi figyelembe.

[233] A későbbi hivatkozásokra tekintettel I-t a következő alakban is felírjuk: I2=(1/4)[s–(m1+m2)2][s–(m1–m2)2], (65,15a)ahol s=(p1+p2)2.

[234] Tetszőleges vonatkoztatási rendszerben j=(1/V)√((v1–v2)2–(v1×v2)2). Ez a kifejezés mindig a szokásos áramsűrűségre vezet, ha v1∥v2, azazj=(1/V)|v1–v2|.

[235] Mivel a differenciál helyes előjele a hasonló esetekben nyilvánvaló, ezért alább az egyszerűség kedvéért dt-t írunk d(–t) helyett.