Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

64.§. Rezonancia-fluoreszcencia

64.§. Rezonancia-fluoreszcencia

Fényszórásnál a színképvonalak véges szélességének figyelembevétele azokban az esetekben lényeges, amikor a beeső fénykvantum ω frekvenciája közel kerül az ωn1,ωn2 közbenső frekvenciák valamelyikéhez (ún. rezonancia-fiuoreszcencia).[225]

Tekintsük a rendszer eltolásmentes kölcsönhatását a fénnyel, alapállapotban; ekkor a kezdeti és végszintek azonosak, és szigorúan diszkrétek. Legyen a fény frekvenciája valamilyen ωn1-hez közel, ahol n gerjesztett szint és így kvázidiszkrét.

Ezt a jelenséget az előző  63§-ban bemutatott módszerrel is leírhatjuk. Ez azonban nem szükséges, mivel a feladat teljesen hasonló a III. 134. §-beli, a kvázidiszkrét szinten történő nemrelativisztikus rezonanciaszórás feladatához. Az ott nyert eredményeknek megfelelően a szórásamplitúdó tartalmazni fogja az

(1/ω–(En–i(Γn/2)–E1))

pólusszorzót. Másrészt |ω–ωn1|≫Γn esetén a képletnek át kell mennie a nemrezonáns (60,5) alakba. Ebből világos, hogy a keresett szórási hatáskeresztmetszet egyszerűen En-nek az (En–(i/2)Γn)-nel való helyettesítésével adódik, míg az n-re való összegezéskor a rezonanciatagokra szorítkozhatunk:

6.49. egyenlet - (64,1)

dσ=Mn(d2ne)(dn1e)2(ωn1ω)2+14Γn2ω4dΩ.


Az összegezést minden (különbözőMn impulzusmomentum-vetületű) En rezonanciaszinthez tartozóállapotra ki kell terjeszteni. Az 1és 2állapotok ugyanahhoz az (alap-) állapothoz tartoznak, de M1és M2értékében különbözhetnek.

(64,1) hatáskeresztmetszet ω=ωn1-nél maximális. Nagyságrendjét tekintve a maximumhoz közeli érték σmax∼ω4d4∕Γn2. Minthogy a spontán n→1 átmenet valószínűsége és vele a szélesség Γn∼ω3d2, ezért a hatáskeresztmetszet értéke a maximumnál nagyságrendileg

6.50. egyenlet - (64,2)

σmax1ω2λ2,


azaz a fény hullámhosszának négyzetével azonos nagyságrendű, és független a finomszerkezeti állandótól.

Hangsúlyozzuk, hogy mivel az atom mind az ütközés előtt, mind utána szigorúan diszkrét (alap-) állapotban van, az elsődleges és másodlagos foton frekvenciái szigorúan megegyeznek. Tehát monokromatikus fénnyel való megvilágítás esetén a szórt fény is monokromatikus. Ha a beeső fény spektrális intenzitáseloszlása I(ω), és a Γn szélesség tartományában I(ω) kevéssé változik, akkor a szórt fény intenzitása az

6.51. egyenlet - (64,3)

I(ωn1)dω(ωωn1)2+14Γn2


kifejezéssel arányos. Más szavakkal, a szórt vonal alakja az En szint spontán emissziójának során keletkező sugárzás természetes alakjával egyezik meg. A (64,1) hatáskeresztmetszetnek a

6.52. egyenlet - (64,4)

(cik)21=Mn(di)2n(dk)n1ωn1ωi2Γn


szórástenzor felel meg. Speciálisan, a polarizációs tenzor

6.53. egyenlet - (64,5)

αik=(cik)11=Mn(di)1n(dk)n1ωn1ωi2Γn.


Rögtön észrevehetjük, hogy a közbenső gerjesztett állapotok energiájához képzetes részt adva, a polarizációs tenzor hermitikussága megsérül. Megjelenik egy antihermitikus rész, amely, mint azt azonnal megmutatjuk, a fény abszorpciójával kapcsolatos.

Elnyelvén egy kvantumot, az atom előbb-utóbb újra alapállapotba kerül egy vagy több foton kisugárzásával. Ezért ebből a szempontból az abszorpciós hatáskeresztmetszet egyszerűen az összes lehetséges szórási folyamat σtot teljes hatáskeresztmetszete.[226] Másrészt az optikai tétel szerint (72. §) a hatáskeresztmetszetet a rugalmas, nulla szögű szórásf(0) amplitúdójának képzetes részével fejezhetjük ki

σtot=(4π/ω)ℑf(0)

szerint. A rugalmas fotonszórás amplitúdója (60,7) szerint

f=ω2αikei′∗ek.

A nulla szögű szórás ez esetben a foton impulzusának és polarizációjának változása nélkül végbemenő reakciót jelenti, azaz e′=e. Tehát a fotonabszorpciós hatáskeresztmetszet a következő:

6.54. egyenlet - (64,6)

σabszorp=4πω(αikeiek)=4πωeiekαikαki2i,


amely összefüggés meg is adja az abszorpcióés a polarizációs tenzor antihermitikus részének kapcsolatát.

(64,6) összefüggésnek egyszerű klasszikus jelentése van. Az E elektromos tér (1 s alatt) a töltések rendszerén ∑evE=Eḋ munkát végez. A teret (60,19) alakban írva, a dipólusmomentumot pedig (60,20)(60,21) szerint kifejezve, a munkát idő szerint átlagolva, az adódik, hogy

(1/2)ω|E|2ei∗ek(αik–αki∗/2i)

(E=eE). Másrészt, ha boldsymbolE a beeső fény tere, akkor benne az átlagos energiaáram;sűrűség (1/8π)|E|2, az atom által az időegység alatt elnyelt energia :

(1/8π)|E|2σabszorp.

A kapott két mennyiség egyenlőségét megkövetelve, (64,6)-ot kapjuk.

(64,6)-ba a (64,5)-beli polarizációs tenzort helyettesítve, az ω frekvenciájú foton abszorpciós hatáskeresztmetszetére, amennyiben ω≈ωn1, a következő összefüggést kapjuk:

6.55. egyenlet - (64,7)

σabszorp=4π2Mn|dn1e|2ωΓn2π(ωωn1)2E+14Γn2


A Γn→0 határátmenetben a képlet utolsó tényezője a δ(ω–ωn1) függvényhez tart annak megfelelően, hogy ebben az esetben csak a határozott frekvenciájú foton nyelődhet el. Essen az atomra Ike frekvencia- és szögeloszlású áramsűrűséggel jellemezhető fény [l. (44,7)]. Ekkor a fotonszám-áramsűrűség (Ike/ω)dωdΩ, és az abszorpció valószínűsége:

6.56. egyenlet - (64,8)

dwabszoprp=σabszorpIkeωdωdΩ.


Ha az Ike(ω) függvény a Γn széles intervallumban kevéssé változik, akkor frekvencia szerinti integrálás után

dwabszorp=4π2∑Mn|dn1e|2Ike(ωn1) dΩ

valószínűséget kapunk.

Észrevéve másrészt, hogy (45,5) szerint

dwspont=(ω3/2π)∑Mn|d1ne∗|2dΩ=(ω3/2π)∑Mn|dn1e|2dΩ

az ωn1 frekvenciájú foton spontán emissziójának valószínűsége, újra csak a (44,9) összefüggést kapjuk.

Feladat

Adjuk meg a foton végső polarizációja és iránya szerint, valamint az atom végső M2 momentumvetülete szerint összegezett (és a kezdeti foton polarizációra és M1 vetületre átlagolt) rezonanciaszórás teljes hatáskeresztmetszetét.

(61,8)(61,2) és (64,4) alapján a keresett hatáskeresztmetszet:

6.57. egyenlet - (1)

σ=8πω491(ωωn1)2+14Γn2(2J1+1)|Mn(di)2n(dk)n1|2¯1


(minthogy az 1és 2állapotok csak M1és M2értékében térnek el, J2=J1). A kapcsos zárójelbeli kifejezést

{… }=(1/2J1+1)∑M1M2∑MnMn′(d2ndn′2)(d1n′dn1)

alakban írjuk (az Mn szerinti összeg négyzetét Mn és Mn′ szerinti kettős összegként írjuk fel). A

∑M2(dn′2d2n)=∑M1(dn1d1n′)

összegek csak Mn=Mn′ esetén különböznek nullától, és 3Γn→1∕4ω3-nel egyenlőek, ahol Γn→1 az n→1 átmenet valószínűsége (egyúttal az En szint parciális szélessége). Ezért

{… }=(1/2J1+1)(2Jn+1)((3/4ω3)Γn→1)2,

és a teljes hatáskeresztmetszet:[227]

6.58. egyenlet - (2)

σ=gπω2Γn12(ωωn1)2+14Γn2,


ahol

g=(2Jn+1/2(2J1+1)).

Ha csak a szórás koherens része iránt érdeklődünk (1 és 2 egyezik, azaz M1=M2), akkor (64,1f)-ben a kapcsos zárójelben levő kifejezést

{|∑Mn(di)1n(dk)n1|2¯1}=(1/2J1+1)∑M1∑MnMn′(d1ndn′1)(d1n′dn1)

alakúra kell változtatni [l. (61,3)]. A d1ndn′1 skalárszorzatot gömbi vektorkomponensekkel kifejezve,

d1ndn′1=∑λ(–1)1–λ(dλ)1n(d–λ)n′1,

amely csak Mn=Mn′ esetén nem nulla. A mátrixelemeket a redukált mátrixelemekkel kifejezve, és újra bevezetve a

Γn→1=(4ω3/3)(1/2Jn+1)|⟨n∥d∥1⟩|2

parciális szélességet, σkoh-re a (64,2f) képlet adódik, a

g=((2Jn+1)2/2(2J1+1))∑M1M2(Jn 1 J1 / –MnλM1)4

jelölést használva.

A lehetséges három esetre,

Jn=J1J1±1,

közvetlen számítással a fenti összeg értékére a következő eredményt kapjuk:

g={(7J1(J1+1)+1/30J1(J1+1)), haJn=J1≠0; / ((2J1+3)[16(J1+1)2–1]/30(2J1+1)2(J1+1)), haJn=J1+1; / ((2J1–1)(16J12–1)/30J1(2J1+1)2), haJn=J1–1, J1≧1.



[225] Ezt a kérdést elsőként V. Weisskopf vizsgálta (1931).

[226] Hangsúlyoznunk kell, hogy stabil, alapállapotú rendszerrel történő abszorpcióról van szó. A véges kísérleti idő következtében gerjesztett nívóra másképpen kell a kérdést felvetni.

[227] Mint az várható volt (a feladatok formai hasonlósága miatt) ez a képlet a lassú neutronok atommagokon történő rugalmas rezonanciaszórására vonatkozó Breit–Wigner-képlettel egyezik meg. [l. III. (145,16), (145,18).] A g szorzótényező annak valószínűsége, hogy a kezdeti atom és a foton impulzusmomentumainak tetszőleges módon való összegezése során éppen az adott Jn értéket kapjuk.