Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

63.§. A színképvonalak természetes kiszélesedése

63.§. A színképvonalak természetes kiszélesedése

Eddig a fényemisszió és -abszorpció tanulmányozása során a rendszer (mondjuk atom) összes szintjeit mint szigorúan diszkrét vonalakat tekintettük. Ugyanakkor a gerjesztett nívóknak, amelyek bizonyos valószínűséggel fényt bocsáthatnak ki, véges élettartamuk van. Ez a kvantummechanika általános szabályai szerint az energia-szintek kvázidiszkrétté válásához vezet, azaz a nívók véges (kicsiny) szélességre tesznek szert (l. III. 134. §); így azokat E–(1/2)iΓ alakban kell írni, ahol Γ(=Γ∕ℏ) az adott állapot (1 másodpercre jutó) teljes „bomlási” valószínűsége .

Vizsgáljuk meg, hogyan tükröződik ez a körülmény a sugárzási folyamatban (V. Weisskopf , E. Wigner , 1930). Eleve világos, hogy a véges nívószélesség miatt a kibocsátott fény nem szigorúan monokromatikus: a frekvenciák egy Δω∼Γ(=Γ∕ℏ) szélességű intervallumban fognak szórni. Ahhoz azonban, hogy a fotonok frekvencia-eloszlását ilyen pontossággal mérhessük meg, T≫1∕Δω∼ℏ∕Γ időre van szükségünk. Ezalatt a nívó igen nagy valószínűséggel lebomlik. Ezért az adott frekvenciájú foton emissziójának teljes, és nem 1 másodpercre jutó valószínűségét kell vizsgálnunk. Számítsuk ki mindenekelőtt ezt az átmeneti valószínűséget valamely

E1–(i/2)Γ1

gerjesztett nívóról az E2 alapszintre történő átmenetre; ez utóbbi végtelen élettartalmú, azaz szigorúan diszkrét nívó.

Legyen Ψ az atom és a fotontér együttes hullámfüggvénye, H=H(0)+V e rendszer Hamilton-operátora , amelyben V az atom és a fotontér kölcsönhatását leíró operátor. A következő Schrödinger-egyenlet megoldását keressük:

6.36. egyenlet - (63,1)

iΨt=(H(0)+V)Ψ,


a megoldást a rendszer perturbálatlan hullámfüggvényei szerinti sorfejtés alakjában vesszük fel:

6.37. egyenlet - (63,2)

Ψ=νaν(t)Ψν(0)=νaν(t)eiνtψν(0).


Az aν(t) együtthatókra a következő egyenletrendszert kapjuk:

6.38. egyenlet - (63,3)

iaνt=ννVνaνexp{i(νν)t}.


Legyen |ν⟩ az ℰν=E2+ω energiájú állapot, amelyben az atom az E2 alapnívón tartózkodik, és egy meghatározott ω frekvenciájú kvantum van jelen; jelöljük ezt az állapotot |ω2⟩-vel. A rendszer kezdetben az |1⟩állapotban van, amelyben az atom az E1 szintre van gerjesztve, foton pedig nincs jelen. Más szavakkal, t=0 esetén

6.39. egyenlet - (63,4)

a1=1,aν=0,haν1.


(63,3) egyenletnek e kezdőfeltétel mellett adódó megoldása (a hullámfüggvények megfelelő normálása esetén) megadja az atom egy dω frekvenciaintervallumba eső fotonja kibocsátásával kísért 1→2állapotátmenetének valószínűségét a t pillanatig:

|aω2(t)|2dω.

Bennünket a t→∞ esetén adódó végső valószínűség érdekel:

6.40. egyenlet - (63,5)

dw=|aω2()|2dω.


A kérdésfeltevés jobb megvilágítása érdekében megemlítjük, hogy az1→2átmenet szokásos (1 másodpercre jutó) sugárzási valószínűségének számításakor (a vonalszélesség figyelembevétele nélkül) a (63,3) egyenletet kell megoldani, jobb oldalán első közelítésben minden aν′-t a (63,4)értékekkel helyettesítve. Azután a kapott megoldást t nagy értékeire vizsgáljuk (l. III. 42. §). Ennek az eljárásnak az értelme pontosabban a következő: olyan időtartamokra vonatkozik, amelyek a gerjesztett szint élettartamához képest kicsik; azaz nagy t alatt az 1∕(E1–E2) periódushoz képest nagy, de 1∕Γ1-hez viszonyítva kicsiny időket értünk.

Esetünkben azokat az időtartamokat vizsgáljuk, amelyeknek hossza 1=Γ1-gyel összemérhető; ekkor az a1(t) függvény az idővel az

6.41. egyenlet - (63,6)

a1(t)=eΓ12t


törvény szerint változik. Az aν′(t) függvények, amelyek a |ν′⟩állapotok megjelenését jellemzik az atom sugárzása során, időben növekszenek. Ha az E1 nívóról (E2-n kívül) különféle atomi szintekre lehetséges sugárzásiátmenet, akkor sok növekvőaν′(t) függvény jelenik meg; mindegyik olyanállapotnak felel meg, amelyben az atom valamelyik energia sajátállapotában van, és egy megfelelő energiájú foton is megjelenik. Azonban (63,3) jobb oldalán továbbra is csak egyetlen tag, a |ν′⟩=|1⟩ marad. Ugyanis csak a bizonyos energiájú fotonok számát 1-gyel változtatóátmenetek mátrixelemei különböznek nullától, ezért eleve nulla azoknak az átmeneteknek a mátrixeleme, amelyek egy-egy különböző energiájú fotont tartalmazóállapot közötti átmenetet írnak le.

Így aω2(t)-re a következő egyenlet adódik:

6.42. egyenlet - (63,7)

idaω2dt=ω2V1ei(E2+ωE1)ta1=ω2V1expi(ωω12)tΓ12t


(ahol ω12=E1–E2). Az aω2(0)=0 kezdeti feltétellel elvégezve az integrálást,

6.43. egyenlet - (63,8)

aω2=ω2V11 expi(ωω12)tΓ12tωω12+i2Γ1


az eredmény. Ebből a (63,5)-beli dw valószínűség:

dw=|⟨ω2∣V∣1⟩|2(dω/(ω–ω12)2+(1/4)Γ12).

Minthogy Γ1≪ω12, így az |⟨ω2∣V∣1⟩|2 szorzótényezőben ω=ω12 írható. Ekkor a 2π|⟨ω2∣V∣1⟩|2 mennyiség az ω12 frekvenciájú foton szokásos (1 másodpercre jutó) kisugárzási valószínűsége; a foton egyéb jellemzőitől (irány, polarizáció) eddig a jelölés rövidsége kedvéért eltekintettünk. Megjegyezzük, hogy az ezektől a kvantumszámoktól való függést az |⟨ω2∣V∣1⟩|2 mátrixelemnégyzet teljesen meghatározza. Más szavakkal, a nívószélesség figyelembevétele nem változtatja meg a sugárzás polarizációs és szögelosztási tulajdonságait. A

6.44. egyenlet - (63,9)

Γ:12=2π|ω2V1|2


összeg, melyet a kibocsátott foton polarizációjáraés mozgása irányára vettünk, az emisszió szokásos teljes valószínűsége. Ez egyúttal az E1 nívó szélességének az a járuléka, amely az 1→2átmenetből származik (parciális szélesség), megkülönböztetésként azösszes lehetséges „bomlási” mód járulékából összeadódó teljes szélességtől.[220]

A fenti összegezést a dw valószínűségre elvégezve, a következő végleges formulát kapjuk a kibocsátott fény frekvenciaeloszlására

6.45. egyenlet - (63,10)

dw=wtotΓ12πdω(ω12ω)2+Γ124,


ahol wtot=Γ1→2∕Γ1 az adott 1→2átmenet teljes relatív valószínűsége. Ez diszperzív jellegű eloszlás. A spektrálvonalak (63,10) szerinti alakja az izolált rögzített atomra jellemző; neve természetes[221] vonal alak .

Legyen most az E2 szint szintén gerjesztett, Γ2 véges szélességű. Ezt a körülményt azzal vesszük figyelembe, hogy a (63,1) egyenlet „perturbálatlan” H0 Hamilton-operátorába bevesszük az összes tagot (azaz mátrixelemet), melyek a 2 állapot bomlását előidézik. Ekkor a (63,7) egyenlet jobb oldalán az E2 energiát E2–(1/2)iΓ2-vel helyettesíthetjük. Az ⟨ω2∣V∣1⟩ mátrixelemen a megkövetelt közelítésben H(0) változása (Γ2 kicsinysége miatt) nem tükröződik. így (63,8) helyett

6.46. egyenlet - (63,11)

aω2(t)=ω2V11 expi(ωω12)t12(Γ1Γ2)tωω12+i2(Γ1Γ2)


adódik. A 2állapot, amely véges élettartamú, maga is elbomlik valamely ω′ frekvenciájú foton kibocsátásával, és az atom végül azE0 alapállapotba megy át [ennek megfelelően az atom 2állapotbeli|aω2(t)exp(–Γ2t∕2)|2 találati valószínűsége t→∞ esetén nullához tart).[222] A rendszernek e végállapotában így az atom az E0 alapszinten helyezkedik el, és egy-egy foton ω, ill. ω′ frekvenciával van még jelen. Ebben az állapotban azaωω′0(t) együttható olyan egyenletet elégít ki, amely (63,7)-től csak jelölésekben tér el:

i(daωω′0/dt)=aω2⟨ωω′0∣C∣ω2⟩exp{i(E0+ω+ω′)t–i(E2+ω)t–(Γ2/2)t}=
=aω2⟨ωω′0∣V∣ω2⟩exp{i(ω′–ω20)t–(Γ2/2)t}.

Ennek az egyenletnek a jobb oldalába aω2(t)-t (63,11)-ből beírva, integrálva [az aω2(0)=0 kezdőfeltételnek eleget téve], végül a t→∞ határátmenetet végrehajtva, a következőket kapjuk:

aωω′0(∞)=(⟨ω2∣V∣1⟩⟨ωω′0∣V∣ω2⟩/ω–ω12+(i/2)(Γ1–Γ2))
{(1/ω′–ω20+(i/2)Γ2)–(1/ω+ω′–ω10+(i/2)Γ1)}=
=(⟨ωω′0∣V∣ω2⟩⟨ω2∣V∣1⟩/(ω′–ω20+(i/2)Γ2)(ω+ω′–ω10+(i/2)Γ1)).

Az ω és ω′ fotonok kibocsátási valószínűsége:

dw=|aωω′0(∞)|2dωdω′=

6.47. egyenlet - (63,12)

Γ122πΓ202πdωdω(ωω20)2+14Γ22(ω+ωω10)2+14Γ12.


Amint azt elvártuk, e kifejezésnek éles maximumai vannak az ω′≈ω20és ω≈ω12 helyeken.

A színképvonalnak az 1→2 átmenethez tartozó keresett alakját (63,12)dω′ szerinti integrálásával kapjuk meg [az integrál kiterjeszthető a teljes (–∞,+∞) tartományra]. Az integrált legegyszerűbb a reziduumtétel segítségével kiszámítani; az eredmény a következő:[223]

6.48. egyenlet - (63,13)

dw=wtotΓ1+Γ22πdω(ωω12)2+14(Γ1+Γ2)2,


ahol wtot=(Γ1→2Γ2→0/Γ1Γ2) a tetszőleges 1→2→0 kettős átmenet teljes valószínűsége.[224]

(63,13) alakja Γ1→Γ1+Γ2 cseréjével adódik (63,10)-ből – azaz a vonalszélesség a kezdeti és a végállapot szélességének összege.

Megjegyezzük, hogy a vonalszélesség általában nem egyenlő az 1→2 átmenet Γ1→2 valószínűségével, azaz nem arányos a vonal intenzitásával (amint az a klasszikus elméletben lenne). Minthogy Γ1+Γ2>Γ1→2, így a vonalnak nagy szélessége lehet viszonylag kis intenzitás mellett.



[220] Megjegyezzük, hogy a folytonos spektrumba történő átmenetek, melyek a vonalszélességet végessé teszik, nem feltétlenül járnak a foton kisugárzásával. Az erősen gerjesztett (Röntgen-) nívók elektronemissziójával is elbomolhatnak, alapállapotú pozitív iont keltve (Auger-effektus).

[221] Megkülönböztetésül az atomnak más atomokkal való kölcsönhatása (ütközési kiszélesedés) vagy a sugárforrásban különböző sebességgel mozgó atomok jelenléte következtében létrejövő kiszélesedéstől (Doppler-kiszélesedés ).

[222] Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy a 2→0 átmenet közvetlenül, és nem közbenső szinteken át valósul meg. Ez a feltevés nem elvi jellegű, így a (63,13) végeredményt nem befolyásolja.

[223] Az integrálást a valós ω′ tengelyből és a felső félsík végtelen távoli félköréből álló vonal mentén végezzük el. Az integrandusnak a felső félsíkban két pólusa van: ω′=ω20+(i/2)Γ2, ω′=ω10–ω+(i/2)Γ1, melyek reziduumai rendre: (1/iΓ2)[(ω–ω12+(i/2)Γ2)2+(Γ12/4)]–1és (1/iΓ1)[(ω–ω12–(i/2)Γ1)2+(Γ22/4)]–1.

[224] Bonyolultabb esetekben (l. a VI. fejezet  21. lábjegyzetét) wtot az összes 1→2 átmenettel kezdődő és a 0 szinten végződő bomlás teljes valószínűsége.