Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

61.§. Szórás szabad irányítású rendszereken

61.§. Szórás szabad irányítású rendszereken

Ha az atom energiaszintjei nem elfajultak, akkora polarizálhatóságot és a koherens szórás intenzitását ugyanaz az αik≡(cik)11 tenzor határozza meg. Ha azonban a szintek elfajultak, akkor a fenti mennyiségek megfigyelhető értékei az adott szinthez tartozó összes állapotra való átlagolással adódnak:[212]

αik=(cik)11¯.

A megfigyelt intenzitást a

(cik)11(cim)11¯

szorzat értékei határozzák meg. Ezért a polarizálhatóság és a szórási intenzitás kapcsolata kevésbé közvetlen.

Szabad (külső tér hatásától mentes) atomok vagy molekulák energiaszintjeinek degeneráltsága általában a térben szabadon orientálódó impulzusmomentummal kapcsolatos. Legyen a kezdeti állapot impulzusmomentuma J1, a végállapoté J2. Mint szokásos, a hatáskeresztmetszetet az M1 momentumvetület értékeire átlagolva, M2-re összegezve kapjuk meg. Az első átlagolás után a hatáskeresztmetszet M2-től függetlenné válik, tehát a további összegezés csak a 2J2+1 tényező megjelenésére vezet. Így az átlagolt szórási hatáskeresztmetszet:

6.20. egyenlet - (61,1)

dσ̄=ωω3ciklm(21)eiekelemdΩ,


ahol

6.21. egyenlet - (61,2)

ciklm(21)=12J1+1M1M2(cik)21(clm)21=(2J2+1)(cik)21(clm)21¯1,


és az 1 indexű felső vonás M1 szerinti átlagolást jelent.

Rugalmas szórásnál az 1 és 2 állapotok azonos energiájú állapotokat jelölnek (ω12=0). Ha csak koherens szórást vizsgálunk, akkor 1 és 2 teljesen meg kell, hogy egyezzék, azaz M1=M2. Így az M2-re való összegezés és vele a (61,2)-beli 2J2+1 szorzó elesik,

6.22. egyenlet - (61,3)

ciklmkoh=(cik)11(clm)11¯1.


Az átlagolás eredményét különösebb számítások nélkül is megadhatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy az M1 szerinti átlagolás a rendszer összes iránya szerinti átlagolást jelent, és így az átlagot a δik egységtenzor segítségével fejezhetjük ki. Ekkor csak a szórástenzor skalár , szimmetrikus és antiszimmetrikus részeinek külön-külön vett szorzatai adhatnak nullától különbözőátlagot; világos ugyanis, hogy az egységtenzor segítségével nem lehet olyan mennyiségeket előállítani, amelynek szimmetriatulajdonságai a keresztszorzatokéival egyeznének. Tehát

6.23. egyenlet - (61,4)

ciklm(21)=G210δikδlm+ciklm(21)s+ciklm(21)a,


ahol

6.24. egyenlet - (61,5)

D210=(2J2+1)|(c0)21|2¯1,ciklm(21)s=(2J2+1)(ciks)21(clms)21¯1,ciklm(21)a=(2J2+1)(cika)21(clma)lm¯1.(61,5)


Más szavakkal, a szórás hatáskeresztmetszete (és ezzel intenzitása is) szabad orientációjú rendszer esetén három független rész összegére esik szét, melyeket skalár , szimmetrikusés antiszimmetrikus szórásként fogunk emlegetni.

(61,4) mindhárom tagja egyetlen független mennyiséggel jellemezhető. A skalár szórás G210-lal fejezhető ki, a szimmetrikus és antiszimmetrikus szórásra pedig a következő összefüggések érvényesek:

6.25. egyenlet - (61,6)

ciklm(21)s=110G21sδilδkm+δimδkl23δikδlm,G21s=(2J2+1)(ciks)21(ciks)21¯1;ciklm(21)a=16G21a(δilδkmδimδkl),G21a=(2J2+1)(cika)21(cika)21¯1(61,6)


(az egységtenzor-kombinációkat a megfelelő szimmetriatulajdonságok alapjánállítjuk össze, majd az együtthatókat az ilés km indexek páronkéntiösszeejtésével állapítjuk meg).

(61,4)(61,6) képleteket (61,1)-be helyettesítve, a hatáskeresztmetszet következő kifejezését kapjuk:

6.26. egyenlet - (61,7)

dσ̄=ωω3G210|ee|2+110G21s1+|ee|223|ee|2+16G21a(1|ee|2)dΩ.


Ebben a kifejezésben explicit módon találjuk meg a szórás szögfüggését és polarizációs tulajdonságait.

A szórás teljes hatáskeresztmetszetét, összegezve a végső foton polarizációjára és irányára, átlagolva a kezdeti fotonéra, (61,1)-ből könnyű közvetlenül megkapni. Ehhez megjegyezzük, hogy

ei∗ek¯=(1/3)δik,

ha az átlagolást egyidejűleg a beeső foton polarizációjára és irányára is elvégezzük (az eszerinti összegezés 2⋅4π-szer nagyobb eredményt ad). Így végeredményben

6.27. egyenlet - (61,8)

σ̄=8π9ωω3cikik(21)=8π9ωω3(3G210+G21s+G21a)


adódik.

Fentebb már említettük, hogy a szórás kiválasztási szabályai azonosak egy tetszőleges másodrendű tenzor mátrixelemeinek kiválasztási szabályaival. Minthogy az intenzitást három független tag összegére bontottuk fel, célszerű ezeket a szabályokat külön-külön megfogalmazni az egyes tagokra.

A szimmetrikus szórás kiválasztási szabályai azonosak az elektromos kvadrupólussugárzáséval, mivel ez utóbbit szintén egy szimmetrikus, irreducibilis tenzor határozza meg (a kvadrupólusmomentum-tenzor ). Az antiszimmetrikus szórásra a mágneses dipólussugárzás kiválasztási szabályai érvényesek, minthogy mindkettőt egy axiális vektor határozza meg [emlékeztetünk arra, hogy egy axiális vektor ekvivalens (duális) egy antiszimmetrikus tenzorral].[213] Eltérést azonban találunk abban, hogy a sugárzási esetben a diagonális elemek az elektromos, ill. mágneses dipólusmomentum átlagértékét adják (nem tartoznak semmiféle sugárzási átmenethez), a szórás esetén viszont ezek lényegesek – a koherens szórást írják le.

A skalár szórásra a skalármennyiségek mátrixelemeire érvényes kiválasztási szabályok adódnak. Eszerint csak azonos szimmetriájú állapotok között lehetséges átmenet. Például a teljes impulzusmomentum J és vetületének M értéke is meg kell, hogy egyezzék [a diagonális elemek M-től függetlenek – l. III. (29,3)]. Így a rugalmas szórásra az 1 és 2 állapotoknak teljesen meg kell egyezniük (nemcsak energiában, de M szerint is), azaz a rugalmas skalár szórás teljesen koherens lesz. Fordítva, minthogy a skalár szórásban az állapotok mindig önmagukkal kombinálódnak, így a koherens szórásnak mindig van skalár része .

Szabad irányítású rendszerekre a polarizálhatóság tenzorát J1 irányai szerint is átlagolni kell, a hatáskeresztmetszet fenti átlagolásának megfelelő módon. Az átlagolás elvégzése egyszerű: nyilvánvaló ugyanis, hogy

αik≡(cik)11¯1=(c0)11¯1δik.

A szórástenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus részének átlaga nullát ad, δik ugyanis az egyetlen izotrop másodrendű tenzor.

Fentebb megjegyeztük, hogy a tenzor skalár részének diagonális mátrixelemei M1-től függetlenek, így a (c0)11 feletti átlagolási jelet elhagyhatjuk (és azt tetszőleges M-re számolhatjuk), így a polarizálhatóság

6.28. egyenlet - (61,9)

αik=(c0)11δik.


Azonos ok miatt hagyhatjuk el az átlagolási jelet G110 fölül is, amely a koherens szórás skalár részét határozza meg:

6.29. egyenlet - (61,10)

G110=|(c0)11|2¯1=(c0)112


[a 2J2+1 szorzót (61,3)-nak megfelelően hagytuk el]. Így egyszerű kapcsolatot találhatunk az átlagos polarizálhatóság és a koherens szórás skalár része között. Mindkettőt a

6.30. egyenlet - (61,11)

(c0)11=23nωn1ωn12ω2|dn1|2


mennyiség határozza meg.

Feladatok

1. Adjuk meg a szögeloszlást és a depolarizáció fokát lineárisan polározott fény szórása esetén.

Megoldás. Legyen az n′ szórásirány és a beeső fény e polarizációs iránya által bezárt szög. A szórt fénynek két független komponense van: az (n′e) síkban polarizált (intenzitása I1) és az erre merőlegesen polarizált (intenzitása I2); a depolarizáció fokát az I2∕I1 hányados adja meg. Az I1 és I2 intenzitásokat a (61,7) képlet adja, a megfelelő módon irányított e′ vektorokat behelyettesítve.

Skalár szórás esetén a fény teljesen polarizált marad ugyanabban a síkban (I2=0), a szögeloszlást pedig az

I=(3/2)sin2

kifejezés adja meg. (Itt és alább az I=I1+I2 kifejezéseket úgy normáltuk, hogy az irányokra való átlagolás után 1-et adjanak.) Szimmetrikus szórás esetén

I=(3/20)(6+sin2), (I2/I1)=(3/3+sin2).

Antiszimmetrikus szórásra pedig

I=(3/4)(1+cos2), (I2/I1)=(1/cos2).

2. Ugyanez, természetes fény szórására. (61,7) képletet természetes (polarizálatlan) fényre az

eiek∗→(1/2)(δik–nink)

helyettesítéssel lehet átírni, amely az e polarizáció átlagolásának felel meg adott n beesési irány esetén. A szórt fény részlegesen polarizált, és szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy két független komponense lineárisan polarizált az (n,n′) szórási síkban (I∥ intenzitással), illetve arra merőlegesen (I⊥ intenzitással). A szórási szöget (melyet n és n′ zár be) ϑ-val jelöljük.

Skalár szórásra

I=I⊥+I∥=(3/4)(1+cos2ϑ), (I∥/I⊥)=cos2ϑ.

Szimmetrikus szórásra

I=(3/40)(13+cos2ϑ), (I∥/I⊥)=(6+cos2ϑ/7).

Antiszimmetrikus szórásra

I=(3/8)(2+sin2ϑ), (I∥/I⊥)=1+sin2ϑ.

3. Határozzuk meg a „fordítási hányadost” (az ellenkező irányban cirkulárisan polározott szórt fény intenzitásának az eredeti irányban polározott szórt fény intenzitásával képzett hányadosát) cirkulárisan polározott beeső fény esetére.

Megoldás. Cirkuláris beeső fény esetén a szögeloszlás és a depolarizációs hányados (I∥∕I⊥) azonos a természetes fény esetére számítottal.

Legyen e a beeső fény vektora e=(1/√2)(1,i,0) (abban a koordináta-rendszerben, ahol az xz sík a szórási síkkal esik egybe, és a z tengely n irányába mutat). Ekkor a fordított és az eredeti irányban cirkulárisan polározott szórt fény komponensek polarizációs vektorai a következők:

e′=(1/√2)(cosϑ,–i,–sinϑ) ése′=(1/√2)(cosϑ,i,–sinϑ).

(61,7) segítségével kiszámítva az intenzitásokat, a következő fordítási együtthatót kapjuk a három szórási típusra:

P0=tg4(ϑ/2), Ps=(13+cos2ϑ+10cosϑ/13+cos2ϑ–10cosϑ),
Pa=(1–cos4(ϑ/2)/1–sin4(ϑ/2))

(ϑ a szórás szöge).

4. Számítsuk ki a γ-sugarak deuteronon való rugalmas szórásának hatáskeresztmetszetét. (H. A. Bethe és R. Peierls , 1935).

Megoldás. A deuteron alapállapotának és folytonos spektrumbeli állapotainak (disszociált deuteron) hullámfüggvényei a következők:

ψ0=√((ϰ/2π))e–ϰr, ψp=eipr, ϰ=√(MI)

[l. (58,2)(58,3)]. Dipólusmomentuma d=er∕2 (töltése csak a protonnak van, melynek helyvektora r∕2). Mátrixeleme:

dp0=∫ψp∗dψ0d3x=e√((ϰ/2π))(∂/i∂p)∫(d3x/r)e–ϰr+ipr=8πie√((ϰ/2π))(p/(ϰ2+p2)2)

[az integrált (57,6a) segítségével számíthatjuk ki].

A polarizációs tenzor:

αik=∫(2ωp0/ωp02–ω2)(di)0p(dk)p0(d3p/(2π)3)–(e2/2Mω2)δik={(2/3)∫(ωp0/ωp02–ω2)|d0p|2(d3p/(2π)3)–(e2/2Mω2)}δik.

Az első tag a deuteron belső szabadsági fokainak virtuális gerjesztéséből származik; a (61,11) alakban írtuk, ωp0=(p2+ϰ)∕M. A második tag a hullámtérnek a deuteron mint egész, haladó mozgására kifejtett hatásából ered. Mivel a mozgás kváziklasszikus, így a szórástenzor megfelelő részét a (60,14) összefüggés adja, az m tömeg helyére a deuteron 2M tömegét írva.

α i k kiszámítása a következő integráléra vezethető vissza:

J=∫–∞∞(z4dz/(z2+1)3[(z2+1)2–γ2]), z=(p/ϰ), γ=(Mω/ϰ2)=(ω/I).

Erre a következő előállítás igaz:

J=(1/8)(d/dλ)((1/λ)(dJ0/dλ))|λ=1,
J0=∫–∞∞=(z4dz/(z2+λ2)[(z2+1)2–γ2]).

Ha γ<1, akkor a komplex z sík felső félsíkjában az integrandusnak pólusai vannak az iλ, i√(1+γ), i√(1–γ) pontokban; a J0, integrál a reziduumtétel segítségével kiszámítható. Az eredmény:

J=π{((1+γ)3∕2/2γ4)+((1–γ)3∕2/2γ4)–((3/8γ2)+(1/γ4))}.

A teljes hatáskeresztmetszet αik-val (61,8) révén fejezhető ki, és (a szokásos egységekben) a következő:

σ=(8π/3)((e2/Mc2))2|–1–(4/3γ2)+(2/3γ2)[(1+γ)3∕2+(1–γ)3∕2]|2, haγ=(ℏω/I)<1.

Ha γ>1 (a deuteron disszociációs küszöbe felett), a szórásamplitúdó a γ<1 eset amplitúdójából analitikus folytatással adódik, ennek során pozitív képzetes része jelenik meg:

σ=(8π/3)((e2/Mc2))2|–1–(4/3γ)+(2/3γ2)(γ+1)3∕2+i(2/3γ2)(γ–1)3∕2|2, haγ>1.

Ha γ≫1, akkor σ=(8π/3)((e2/Mc2))2, amely a szabad protonon történő (nemrelativisztikus) szórásnak felel meg.

A sugárzás szögeloszlása ,

dσ=σ(3/4)(1+cos2)(dΩ/4π),

ahol π a szórási szög. A szórásamplitúdót a dσ=|f|2dΩ összefüggéssel definiálva,

ℑf(0)=(2e2/3Mc2)((γ–1)3∕2/γ2), haγ>1

adódik. Az optikai tételnek megfelelően ennek ωσt∕4π-vel kell megegyeznie, ahol σt a teljes, rugalmatlan és rugalmas szórási hatáskeresztmetszet jelöli. Ez esetben azonban a rugalmas szórás hatáskeresztmetszete magasabb rendű járulékból ered (∼e4), mint a disszociációé [∼e2, l. (58,4)], így ℑf(0)≈ωσdissz∕4π. Ez az oka annak, hogy a vizsgált közelítésben γ<1 esetén (azaz a disszociáció küszöbe alatt) a szórási amplitúdó valósnak bizonyult.



[212] Bármelyik (cik)11 komplex is lehet ugyan, átlagértékük azonban (ha a rendszer nincs mágneses térben) valós. Valóban, az átlagolás során a független hullámfüggvények (adott elfajult szinthez tartozók) tetszőlegesen választhatók, és mindig elérhető, hogy az összes valós legyen.

[213] Természetesen azokról a kiválasztási szabályokról van szó, amelyek a szimmetriatulajdonságokhoz és nem az axiális vektor konkrét alakjához kapcsolódnak: pl. a mágneses momentumnak van spinjáruléka is, a szórás esetén viszont tisztán pálya jellegű koordinátamennyiség mátrixelemeiről van szó.