Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

6. fejezet - VI. FEJEZET FÉNYSZÓRÁS

6. fejezet - VI. FEJEZET FÉNYSZÓRÁS

60.§. A szórástenzor

A foton elektronrendszer által történő szórása (az egyszerűség kedvéért atomról beszélünk a továbbiakban) a kezdeti k impulzusú foton elnyelését és egyidejűleg egy k′ impulzusú foton kibocsátását jelenti. Ennek következtében az atom vagy eredeti állapotában maradhat, vagy egy másik diszkrét energiaszintre kerül. Az első esetben a foton frekvenciája változatlan (Rayleigh-szórás) , a másodikban

6.1. egyenlet - (60,1)

ωω=E1E2


mennyiséggel változik, ahol E1és E2 az atom kezdeti, ill. végállapotának energiája (kombinált vagy eltolási szórás).[203]

Minthogy az elektromágneses perturbáció operátorának a fotonszámot kettővel változtató átmenetekre vonatkozó mátrixelemei eltűnnek, így a szórási folyamat csak a perturbációszámítás második közelítésében jelenhet meg. Ezt meghatározott közbenső állapotokon keresztül lezajló folyamatként tekintjük; ezek az állapotok kétfélék lehetnek:

I. A k foton elnyelődik, az atom átmegy egyik En energiával jellemzett lehetséges állapotába; majd a k′ foton kibocsátásával kerül végállapotába.

II. a k′ foton kibocsátásával kerül az En állapotba az atom; majd a végállapotba való átmenet során nyeli el a k fotont.

A vizsgált folyamat mátrixeleme a következő összeg lesz [l. III. (43,7)]

6.2. egyenlet - (60,2)

V21=nV2nVn11nII+V2nVn11nII,


ahol ℰ1=E1+ω a kezdeti „atom + foton” rendszer energiája, míg

ℰnI=En, ℰnII=En+ω+ω′

a közbenső állapotbeli rendszer energiái. V.. a k foton elnyelésének mátrixeleme, V.. a k′ foton kibocsátásáé; a kezdeti állapotot a lehetséges közbenső atomállapotok közül kizárjuk (ezt jelöli az összegező jel vesszője). A szórási hatáskeresztmetszet

6.3. egyenlet - (60,3)

dσ=2π|V21|2ω2dΩ(2π)3,


ahol dΩ′ a k′ irányú térszögelem.[204]

Feltesszük, hogy a kezdeti és végső fotonok hullámhosszai egyaránt nagyok a szóró rendszer a méreteihez képest. Ennek megfelelően az összes átmenetet dipólusközelítésben vizsgáljuk. Ha a fotonokat síkhullámokkal írjuk le, akkor ennek a közelítésnek az eikr szorzók 1-gyel való helyettesítése felel meg. Ekkor a fotonok hullámfüggvényei (háromdimenziós transzverzális mérték alkalmazásával):

Aeω=√(4π)(e/√(2ω))e–iωt, Ae′ω=√(4π)(e′/√(2ω′))e–iωt.

A vizsgált körülmények között az elektromágneses kölcsönhatás operátora

6.4. egyenlet - (60,4)

V=dE


alakban írható, ahol E=–Ȧ az elektromos térerősség, d az atom dipólusmomentumának operátora (a kifejezés analóg a kisméretű rendszerek elektromos térbeli energiájának kifejezésével – l. II. 42. §). Mátrixelemei a következők:

Vn1=–i√(2πω)(edn1), V2n′=i√(2πω′)(e′∗d2n).

Ezeket a kifejezéseket (60,2)-be és (60,3)-ba helyettesítve, a hatáskeresztmetszet következő kifejezésére jutunk (a szokásos egységekben írjuk ki):[205]

6.5. egyenlet - (60,5)

dσ=n(d2ne)(dn1e)ωn1ω+(d2ne)(dn1e)ωn2+ω2ωω32c4dΩ,ωn1=EnE1,ωn2=EnE2.


Az összegezést az atom összes lehetséges állapotaira el kell végezni, beleértve a folytonos spektrumhoz tartozóállapotokat is (ennek során az1és 2állapotok automatikusan kiesnek az összegezésből, minthogy a d11, d22=0 diagonális elemek eltűnnek.)

Vezessük be a következő jelölést:[206]

6.6. egyenlet - (60,6)

(cik)21=n(di)2n(dk)n1ωn1ω+(dk)2n(di)n1ωn2+ω


(i,k=x,y,z háromdimenziós vektorindexek). Ennek segítségével a (60,5) képlet a következő alakot ölti:

6.7. egyenlet - (60,7)

dσ=ω(ω+ω12)3|(cik)21eiek|2dΩ.


(60,6) jelölést az igazolja, hogy az összeget valóban egy tenzor mátrixelemeként állíthatjuk elő. Erről a legegyszerűbben a következő egyenletet kielégítő b vektoroperátort bevezetve győződhetünk meg:

(i(d/dt)+ω)b=d.

Ennek mátrixelemei a következők:

bn1=(dn1/ω–ωn1), b2n=(d2n/ω+ωn2),

úgyhogy

6.8. egyenlet - (60,8)

(cik)21=(bkdidibk)21.


A (cik)21 mátrixelemeket a fény szórástenzorának nevezzük.

A mondottakból következik, hogy a szórás kiválasztási szabályai egybeesnek egy tetszőleges másodrendű tenzor mátrixelemeinek kiválasztási szabályaival. Rögtön megjegyezzük, hogy ha a rendszernek szimmetriacentruma van (azaz állapotait paritásuk szerint osztályozhatjuk), akkor csak az azonos paritású állapotok közötti átmenetek jöhetnek létre (pl. többek között az állapot változása nélkül). Ez a szabály ellentétes az (elektromos dipólus-)sugárzás során fennálló, a paritásra vonatkozó kiválasztási szabállyal, tehát alternatív formában a következő mondható ki: a szórásban megengedett átmenetek tiltottak sugárzás során – a sugárzásban megengedettek tiltottak szórás esetén.

Tekintsük a cik felbontását irreducibilis tenzorokra:

6.9. egyenlet - (60,9)

cik=c0δik+ciks+cika,


(60,10) ahol

6.10. egyenlet - (60,10)

c0=13cii,ciks=12(cik+cki)c0δik,cika=12(cikcki)(60,10)


rendre skalár, szimmetrikus tenzor (zérus nyommal) és antiszimmetrikus tenzor. Mátrixelemeik:

(c0)21 =(1/3)∑n(ωn1+ωn2/(ωn1–ω)(ωn2+ω))(di)2n(di)n1, (60,11)  (ciks)21 =(1/2)∑n(ωn1+ωn2/(ωn1–ω)(ωn2+ω))[(di)2n(dk)n1+(dk)2n(di)n1]–(c0)21δik, (60,12)  (cika)21 =(2ω+ω12/2)∑n((di)2n(dk)n1–(dk)2n(di)n1/(ωn1–ω)(ωn2+ω)). (60,13) 

Vizsgáljuk a szórástenzor néhány tulajdonságát a kicsiny és a nagy fotonfrekvenciák határesetében.[207]

Rugalmas szórás esetén (ω12=0) a tenzor antiszimmetrikus része ω→0 határesetben nullához tart, míg a szimmetrikus rész határértéke véges. Ennek megfelelően kis frekvenciáknál a hatáskeresztmetszet ω4-nel arányos.

Az ellenkező esetben, mikor a frekvencia nagy a (60,6)-beli összes lényeges ωn1, ωn2 frekvenciákhoz képest (de természetesen a hullámhossz ≫a feltétel továbbra is teljesül), a klasszikus elmélet formuláit kell visszakapnunk. A szórástenzor 1∕ω hatványai szerinti kifejtésének első tagja

(1/ω)∑n[(dk)2n(di)n1–(di)2n(dk)n1]=(1/ω)(dkdi–didk)21,

ami eltűnik, a d1 és d2 operátorok felcserélhetősége következtében. A sorfejtés következő tagja:

(cik)21=(1/ω2)∑n[ω2n(dk)2n(di)n1–(di)2nωn1(dk)n1]=(1/iω2)(ḋkdi–diḋk)21.

A d=∑er definíciót (az összegezés az atom összes elektronjára vonatkozik) és az impulzus és a koordináta komponensei közti felcserélési szabályt kihasználva, azt kapjuk, hogy

6.11. egyenlet - (60,14)

(cik)11=Ze2mω2δik,(cik)21=0,


ahol Z a rendszer elektronjainak száma. Így a nagyfrekvenciás határesetben, a szórástenzorban csak a skalár rész marad meg, míg a szórás a rendszerállapotváltozása nélkül zajlik le (azaz a szórás teljesen koherens– l. alább).A hatáskeresztmetszet ebben az esetben:

6.12. egyenlet - (60,15)

dσ=re2Z2|ee|2dΩ,


ahol re=e2∕m. A végállapotbeli foton polarizációjára összegezve,

6.13. egyenlet - (60,16)

dσ=re2Z2[1(en)2]dΩ=re2Z2 sin2𝜃dΩ


adódik, amely valóban egyezik a klasszikus Thomson-egyenlettel [II. (80,7)] ( a szórási irány és a beeső foton polarizációvektora által bezárt szög).

Vizsgáljuk a fény szóródását N egyforma, a fény hullámhosszához képest kis méretű térfogatban elhelyezkedő atomon. E rendszer szórástenzora az egyes atomokénak összege lesz. Az összegezés során azonban figyelembe kell venni, hogy azonos atomok hullámfüggvényei (amelyek segítségével a mátrixelemeket számolhatjuk) nem feltétlenül azonosak. Ezek ugyanis csak egy fázisfaktor erejéig meghatározottak, amelyek az egyes atomra mások és mások lehetnek. A hatáskeresztmetszetet átlagolni kell, egymástól függetlenül, az egyes atomok fázisszorzói szerint is.

Minden atom (cik)21 szórástenzora tartalmaz egy ei(φ1–φ2) szorzótényezőt, ahol φ1 és φ2 a kezdeti és a végső állapot hullámfüggvényének fázisszögei. A rugalmatlan szórás során az 1 és 2 állapot különböző, tehát a szorzó nem 1. Az

|ei′∗ek∑(cik)21|2

kifejezésben (az összegezést az N atomra kell elvégezni) a különböző atomokhoz tartozó mátrixelemek szorzatai a fázisszögre való független átlagoláskor eltűnnek, csak az egyes tagok abszolút értéke négyzeteinek összege marad vissza. Tehát az N atomon történő szórás teljes hatáskeresztmetszete az 1 atomon bekövetkező szórás hatáskeresztmetszetének N-szereseként adódik (inkoherens szórás ).

Ha az atom kezdeti és végállapota azonos, akkor ei(φ1–φ2)=1. Ekkor maga a szórási amplitúdó lesz N-szerese, tehát a hatáskeresztmetszet N2-szerese (koherens szórás ) az 1 atomon való szórásénak. Ha az atom energiaszintje nem elfajult, akkos a rugalmas szórás teljesen koherens. Ha az energiaszint elfajult, akkor inkoherens rugalmas szórás is fellép, amely a különböző, de kölcsönösen elfajult nívók között zajlik le. Megjegyezük, hogy ez utóbbi tisztán kvantumos effektust jelent: a klasszikus elméletben a frekvenciaváltozás nélküli szórás mindig koherens.

A koherens szórás mátrixelemét a (cik)11 diagonális elemek adják; jelöljük ezeket αik-val (a nehézkesség elkerülése céljából az atom állapotát jelző indexet elhagyjuk). A (60,6) összefüggés szerint:

6.14. egyenlet - (60,17)

αik(ω)(cik)11=n(di)1n(dk)n1ωn1ω+(dk)1n(di)n1ωn1+ω.


Figyelembe véve, hogy (di)1n=(di)n1∗, azonnal látjuk, hogy a tenzor hermitikus:[208]

6.15. egyenlet - (60,18)

αik=αik.


Eszerint a tenzor skalár és szimmetrikus részei valósak, antiszimmetrikus része képzetes. Megjegyezzük, hogy az antiszimmetrikus rész nyilvánvalóan eltűnik, ha az atom nemdegenerált állapotban van; az ilyen állapot hullámfüggvénye valós,[209]és így a diagonális mátrixelemek is azok lesznek.

Az αik tenzor az atom külső elektromos térbeli polarizálhatóságát jellemzi. Hogy a kapcsolatot láthassuk, számoljuk ki az

6.16. egyenlet - (60,19)

12(Eeiωt+Eeiωt)


külső elektromágneses térbe helyezett rendszer átlagos dipólusmomentumának korrekcióját. Ezt a perturbációszámítás jól ismert összefüggését felhasználva (l. III. 40. §) tehetjük meg: ha a rendszerre

V=Fe–iωt+F+eiωt

perturbáció hat, akkor valamely f mennyiség diagonális mátrixelemeihez az elsőrendű járulékot az

f11(1)(t)=–∑n{[(f1n(0)Fn1/ωn1–ω)+(fn1(0)F1nF1n/ωn1+ω)]e–iωt+[(f1n(0)F1n∗/ωn1+ω)+(fn1(0)Fn1∗/ωn1–ω)]eiωt}

képlet adja.

Esetünkben

F=–(1/2)dE,

így a dipólusmomentum diagonális mátrixelemeinek korrekciója

6.17. egyenlet - (60,20)

d11(1)=12(d̄eiωt+d̄eiωt),


ahol a d̄ vektor komponensei a következők:

6.18. egyenlet - (60,21)

d̄i=αikEk.


Az utolsó képletből kitűnik, hogy a rugalmas koherens szórás αik(ω) tenzora egyidejűleg a ω frekvenciájú térbe helyezett atom polarizációs tenzora is. A (60,21) képlet ω=0 esetén átmegy a III. (76,5) összefüggésbe, amelyben azαik(0) sztatikus polarizálhatóság szerepel abban a formában, ahogyanállandó térben a szokásos perturbációszámítással kiszámítható.

Feladatok[210]

1. Számítsuk ki két foton egy atom által történő egyidejű kibocsátásának valószínűségét (M. Göppert–Mayer, 1931).[211]

Megoldás. A két kvantum kibocsátása, csakúgy, mint a szórás, a perturbációszámítás másodrendjében megjelenő folyamat. A keresett valószínűség (60,5)-től csak: 1. az ω→–ω, e→e∗ cserében (ω frekvenciájú foton kibocsátása elnyelés helyett), 2. a

(d3k/(2π)3)=(ω2dωdΩ/(2π)3)

új tényezőben tér el. Így a kisugárzás valószínűsége az (időegység alatt),

6.19. egyenlet - (1)

dw=n(d2ne)(dn1e)ω1nω+(d2ne)(dn1e)ω1nω2ω3ω3(2π)3c62dΩdΩdω


(a frekvenciák összege ω12=ω+ω′). A fotonok polarizációjára az összegezéstés a kirepülés térszögére az integrálást elvégezve,

dω=(8/9π)|∑n[((di)2n(dk)n1/ω1n–ω)+((di)2n(dk)n1/ω1n–ω′)]|2(ω3ω′3/ℏ2c6) dω

adódik.

2. Számítsuk ki az „indukált szórás” hatáskeresztmetszetét a k beeső foton nem változik, de hatására az atom két fotont bocsát ki – még egy ugyanolyan k fotont és egy k′ „szórt” fotont.

Megoldás. A vizsgált folyamat valószínűsége két kvantum egyidejű kibocsátásának az 1. feladatban megkapott (1) valószínűségétől Nke szórzótényezőben különbözik, ahol Nke a beeső fény adott k és e vektorokkal jellemzett fotonjainak száma. A bejövő fotonok áramsűrűsége:

dI=cNke(d3k/(2π)3)=Nke(ω2/8π3c2) dωdΩ.

Ebből Nke-t dI-vel kifejezve és a folyamat valószínűségét dI-vel osztva, kapjuk a hatáskeresztmetszetet:

dσ=|∑n[((d2ne′∗)(dn1e∗)/ω1n–ω)+((d2ne∗)(dn1e′∗)/ω1n–ω′)]|2(ωω′3/ℏ2c4) dΩ′.

Itt ω a beeső és az „indukált” foton, ω′ a szórt foton frekvenciája (ω+ω′=ω12).

3. Számítsuk ki (nemrelativisztikus) elektron majdnem monokromatikus álló fényhullámon való rugalmas szórásának valószínűségét (P. L. Kapica , P. A. M. Dirac , 1933).

Megoldás. Az állóhullámot k és –k impulzusú (azonos polarizációjú) fotonok összességének tekinthetjük. Az elektron szóródása k impulzusú foton elnyeléséből és –k impulzusú foton indukált kisugárzásából álló folyamat, melynek során az elektron p impulzusa 2ℏk-val változik (nagysága állandó), szöggel elfordul: |p|sin(/2)=(ℏω/c). A folyamat valószínűsége a Thomson-szórás (60,15).

dσ=re2|e′∗e|2dΩ′=re2dΩ′

hatáskeresztmetszetéből kapható, ezt meg kell szorozni a k impulzusú fotonok áramsűrűségével és a –k impulzusú fotonok számával.

A dω frekvenciatartományba eső fotonok áramsűrűsége:

(cUωdω/2ℏω),

ahol Uωdω az állóhullám energiasűrűsége a dω frekvenciatartományban (az 1∕2 szorzóval azt vettük figyelembe, hogy a hullám energiája egyenlően oszlik meg az ellentétes irányú fotonok között). Az állóhullámot alkotó összes fotonok k impulzusai meghatározott n iránnyal (az állóhullám „irányával”) párhuzamosak. Más szavakkal, az energiasűrűség mint a fotonok frekvenciájának és n′ irányának függvénye: Uωn′=Uωδ(2)(n′–n). Ennek megfelelően a –k impulzusú fotonok száma:

∫N–kdΩ′=(8π3c3/ℏω3)(Uω/2)

[vö. (44,8)]. Az elektronszórás (1 s-ra jutó) valószínűsége:

w=(2π3e4/m2ℏ2ω4)∫Uω2dω.

Az ω–4 szorzótényezőt kihoztuk az integrálás alól, mivel a Δω diszperziót kicsinek tekintettük. Az integrál értéke (adott teljes impulzus mellett) Δω-val fordítva arányos.



[203] Ebben a fejezetben a kezdeti, ill. végállapotbeli mennyiségeket 1, ill 2 indexszel jelöljük.

[204] Az (1 s alatt) a dΩ′ szögbe szórt fény dI′ energiája az I beesési intenzitás (energiaáram-sűrűség) segítségével a dI′=I(ω′/ω)dσösszefüggéssel fejezhető ki.

[205] Ezt a képletet elsőként H. A. Kramers és W. Heisenberg vezették le 1925-ben.

[206] A további eredmények, melyeket a  60. §62. §-okban sorolunk fel, főként G. Placzek nevéhez fűződnek (1932–1933).

[207] A rezonancia esetét, amikor ω valamely ωn1 vagy ωn2 frekvenciákhoz van közel, a  64. §-ban fogjuk vizsgálni.

[208] Ez az eredmény a természetes vonalszélesség, valamint a beeső foton elnyelési lehetősége elhanyagolásának következménye – l.  64. §.

[209] Emlékeztetünk, hogy ez a körülmény az időtükrözési szimmetriával kapcsolatos (feltéve, hogy külső mágneses tér nincs jelen). Ha ugyanis t-t –t-re változtatjuk, a stacionárius állapothullámfüggvény ψ∗-ra változik, tehát ψ és ψ∗ azonos energiájú állapotokat írnak le. Ebből következik, hogy ha a nívó nemelfajult, ψ és ψ∗ meg kell, hogy egyezzék (egy lényegtelen fázisszorzó erejéig), azaz ψ-t mindig definiálhatjuk valós függvényként. Ha a szint elfajult, az adott szinthez tartozó hullámfüggvények komplex konjugáláskor egymás között transzformálódnak, így nem feltétlenül valósak.

[210] A feladatokban a szokásos egységeket használjuk.

[211] Két, ω és ω′ frekvenciájú foton kibocsátási valószínűsége általában igen kicsiny az egy, ω+ω′ frekvenciájú kibocsátási valószínűségéhez képest. Kivételt képeznek azok az esetek, amikor a kiválasztási szabályok megtiltják az utóbbi reakciót, de megengedik az elsőt. Ilyenek például a két J=0 állapot közötti átmenetek, amelyeknél egy foton kibocsátása szigorúan tiltott. Másik példa a H-atom (2s1∕2) gerjesztett állapotából az (1s1∕2) alapállapotba való átmenet. Az E1-sugárzást a paritás szigorúan megtiltja. De tiltott (az igen kis spin–pálya kölcsönhatást elhanyagolva) az M1-sugárzás is; ez esetben a mágneses momentum (l=0) tisztán spin eredetű, és mátrixeleme a különböző főkvantumszámú nívók hullámfüggvényeinek ortogonalitása miatt nulla. Így a (2s1∕2) nívó élettartama, amelyet a kétfotonos sugárzás határoz meg ≈1∕7 s.