Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

59.§. Fékezési sugárzás Mágneses térben

59.§. Fékezési sugárzás Mágneses térben[192]

A klasszikus elmélet szerint (l. II. 74. §) az állandó mágneses térben mozgó ultrarelativisztikus elektron kvázifolytonos színképet sugároz ki, melynek maximuma az

5.184. egyenlet - (59,1)

ωω0𝜀m3


frekvenciánál van, ahol

5.185. egyenlet - (59,2)

ω0=veH|p|eH𝜀


az ε energiájú (a térre merőleges síkban) körpályán mozgó elektron körfrekvenciája.[193]

A mágneses térben való fékezési sugárzás kvantumos effektusai kettős eredetűek: az egyik az elektron kvantummechanikai mozgása, a másik a foton emissziójával együttjáró kvantummechanikai visszalökődés . Az utóbbit a ℏω∕ε arány határozza meg, és a klasszikus elmélet alkalmazhatóságának feltétele az, hogy ez kicsi legyen. Ezzel kapcsolatban a

5.186. egyenlet - (59,3)

χ=HH0|p|mH𝜀H0mω0𝜀𝜀m3


paramétert célszerű bevezetni, ahol H0=(m2/eℏ)(=(m2c3/eℏ))=4,4⋅1013gauss=4,4⋅109T. A klasszikus tartományban χ∼ℏω∕ε≪1. Az ellenkező esetben (χ≫1) a kisugárzott foton energiája ℏω∼ε, és (mint később látni fogjuk) a spektrum lényeges része egészen addig a frekvenciáig terjed, amelynél az elektron energiája sugárzás után

5.187. egyenlet - (59,4)

𝜀mH0H.


Hogy az elektron ultrarelativisztikus maradjon, ahhoz a külső térnek a

5.188. egyenlet - (59,5)

HH01


feltételt kell kielégítenie.

Az elektron mozgásának kvantáltságára a ℏω0∕ε arány jellemző; ℏω0 a szomszédos energianívók közötti távolság mágneses térben való mozgás esetében. Mivel

(ℏω0/ε)=(H/H0)((m/e))2,

ezért (59,5)-re való tekintettel ℏω0≪ε, azaz χ értékétől függetlenül az elektron mozgása kváziklasszikus. Más szavakkal, eltekinthetünk attól, hogy az elektron dinamikai változóinak operátorai nem cserélhetők fel egymással (∼ℏω0∕ε nagyságrendű mennyiségek), viszont figyelembe kell vennünk, hogy azok nem cserélhetők fel a fotontér operátoraival (∼ℏω∕ε nagyságrendű mennyiségek).[194]

Külső térben mozgó elektron stacionárius állapotának kváziklasszikus hullámfüggvénye szimbolikusan a

5.189. egyenlet - (59,6)

ψ=12Hu(p)eiHtφ(r)


alakba írható, ahol φ(r)∼exp(iS∕ℏ) a nulla spinű részecske kváziklasszikus hullámfüggvénye [S(r) a megfelelő klasszikus hatásfüggvény]; u(p) egy bispinor operátor:

u(p)=(√(H+m)w / (1/√(H+m))(σp)w),

amelyet az u(p) síkhullám bispinor amplitúdójából úgy kapunk, hogy p és ε helyébe a nekik megfelelő operátorokat írjuk:[195]

p=P–eA=–iℏ∇–eA, H=√(p2+m2),

P az A(r) vektorpotenciállal megadott térben mozgó részecske általánosított impulzusa; az operátorok sorrendje a ψ hullámfüggvényben nem lényeges, mivel azt, hogy nem felcserélhetőek, elhanyagoltuk; az elektron spinállapotait a w háromdimenziós spinor határozza meg.

A fotonemisszió valószínűségének kváziklasszikus számításakor nem a perturbációszámítás (44,3) végképletéből, hanem abból az alakból célszerű kiindulni, amely az idő szerinti integrálást még tartalmazza. A (teljes időtartamra vett) differenciális hatáskeresztmetszet:

5.190. egyenlet - (59,7)

dw=f|afi|2d3k(2π)3,afi=Vfi(t)dt


[vö. III. (41,2)]; az elektron lehetséges végállapotaira kell összegezni.

(59,6)-ot felhasználva egy ω,k négyesimpulzusú foton emissziójának Vfi(t) mátrixelemét a következő alakban írhatjuk:

Vfi(t)=–(e√(4π)/√(2ℏω))∫d3x⋅[φf∗e(i/ℏ)Ht(u+(p)/√(2H))]eiωt–ikr(e∗α)(u(p)/√(2H))e–(i/ℏ)Htφi(t),

ahol a [… ] zárójelben álló operátorok a φf∗ hullámfüggvényre hatnak; a fotonteret Coulomb-mértékben írtuk fel. Az exp(±iHt∕ℏ) szorzótényezők a köztük álló Schrödinger-operátorokat az időtől explicit módon függő Heisenberg-képbeli operátorokká alakítják. Vfi-t a

Vfi(t)=(e√(2π)/√(ℏω))⟨f∣eiωtQ(t)∣i⟩

alakban írhatjuk, ahol Q(t) a következő Heisenberg-operátor :

5.191. egyenlet - (59,8)

Q(t)=uf+(p)2H(αe)eikr(t)ui(p)2H,


az ⟨f∣…∣i⟩ mátrixelemet pedig a φf, φi függvények segítségével kell képezni. (59,7)-ben a végállapot φ hullámfüggvényeire összegezni kell; ez a φ rendszer teljességét kifejező

∑fφf∗(r′)φf(r)=δ(r′–r)

egyenlőség segítségével végezhető el.[196] Végeredményként kapjuk, hogy

5.192. egyenlet - (59,9)

dw=e2ωd3k4π2dt1dt2eiω(t1t2)iQ+(t2)Q(t1)i.


Ha elegendően nagy időtartományra integrálunk, akkor t1, t2 helyett a

τ=t2–t1, t=(t1+t2/2)

új változókat vezethetjük be, és a dt szerinti integrálban az integrandust az időegységre jutó sugárzási valószínűségként értelmezhetjük. ℏω-val szorozva kapjuk az intenzitást:

5.193. egyenlet - (59,10)

dI=e24π2d3keiωτiQ+t+τ2Qtτ2idτ.


Az ultrarelativisztikus elektron a v sebessége körüli szűk, ∼m∕ε nyílásszögű kúpba sugároz. Ezért adott n=k∕ω irányba a pályának arról a részéről érkezik sugárzás, melyen a v sebesség ∼m∕ε szöggel fordul el. Ezt a részt az elektron akkora τ idő alatt futja keresztül, melyre τ|v̇|∼τω0∼m∕ε≪1. Éppen ez a tartomány ad lényeges járulékot a dτ szerinti integrálban. Ezért a továbbiakban minden mennyiséget sorba fejtünk ω0τ hatványai szerint. Néhol azonban nem elegendő a sorfejtés első tagjánál megállni, mivel az egyes tagok egymást kiejthetik, ugyanis 1–nv∼2∼(m∕ε)2.

Ha a Q+Q operátort egymással (a megkövetelt pontossággal) felcserélhető operátorok szorzataként írjuk fel, akkor az ⟨i∣…∣i⟩ diagonális mátrixelemek kiszámításánál az operátorokat a megfelelő klasszikus értékükkel (időfüggvények) helyettesíthetjük. A számítás menete a következő.

A korábban elmondottak szerint Q(t) kifejezésében csak arra kell tekintettel lennünk, hogy az elektronra vonatkozó operátorok nem cserélhetők fel a fotontérrel kapcsolatos exp(–ikr(t)) operátorral. Így

pe–ikr =e–ikr(p–ℏk), (59,11) H(p)e–ikr =e–ikrH(p–ℏk). (59,12)

Ezek az összefüggések annak következményei, hogy e–ikr az eltolás operátora impulzustérben. (59,11) és (59,12) segítségével (59,8)-ban az e–ikr operátor balra vihető, és írhatjuk, hogy

5.194. egyenlet - (59,13)

Q(t)=eikr(t)R(t),R(t)=uf+(p)2H(αe)ui(p)2H


ahol H′=H–ℏω, p′=p–ℏk. Most

5.195. egyenlet - (59,14)

Q2+Q1=R2eikr2eikr1R1


(itt és a következőkben az 1és 2indexek a különböző mennyiségekt1=t–τ∕2és t2=t+τ∕2 időpillanatokban felvett értékeit jelölik). Ki kell még számítanunk, az eikr2és eikr1 egymással nem felcserélhető operátorok szorzatát. E szorzat a többi tényezővel már felcserélhető.

Vezessük be az

5.196. egyenlet - (59,15)

L(ξ)=eiωτ(ξ)1eiξkr2eiξkr1


jelölést, ahol ξ csupán segédváltozó; minket az L(1) operátorérdekel. Az (59,15) definíciós egyenletet ξ szerint differenciálva, a

5.197. egyenlet - (59,16)

dLdξ=L(ξ)eiξkr2beiξkr1


differenciálegyenlethez jutunk. A rövidség kedvéért a

b=ik(r2–r1)–iωτ

jelölést vezettük be. Ez kifejezhető p1=p(t1)-gyel, ha felhasználjuk a H-ra merőleges síkban való klasszikus mozgásra vonatkozó egyenletet:[197]

r2–r1=(p1/eH)sin(eHτ/ε)+(p1×H/eH2)(1–cos(eHτ/ε))

(l. II. 21. §). τ hatványai szerint sorba fejtve,

5.198. egyenlet - (59,17)

b(p1)iωτ(v1n1)+τen(p1×H)2𝜀2×2e2H26𝜀2


(az utolsó tagban az nv1≈1 helyettesítést végeztük el). Ismét felhasználjuk, hogy e–ikr1 a p térben az eltolás operátoraként viselkedik:

eiξkr1b(p1)e–iξkr1=b(p1–ξℏk)≡b–;

a mínusz index itt és a továbbiakban azt jelenti, hogy a mennyiség a p1–ξℏk argumentum függvénye. b– (59,17) segítségével meghatározható. Az első tagban

v–n–1≈(1/2)[(v–n)2–1]=(1/2ε–2){(p1n–ξℏω)2–(p1–ξℏk)2–m2}=
=((p1n)2–ε2/2ε–2)≈(ε2/ε–2)(v1n–1).

A további tagok csak annyiban változnak, hogy a nevezőben ε helyébe ε– kell írni. Így b–=(ε∕ε–)2b. Figyelembe véve, hogy p és n egymással bezárt szöge kicsi, és ε≈p, a szükséges pontossággal írhatjuk, hogy ε–≈ε–ξℏω.

Az (59,16) egyenlet végső alakja:

(dL/dξ)=L(ξ)(ε2b/(ε–ℏξω)2).

Itt a tényezők nagyságrendje már lényegtelen, és minden mennyiség klasszikusként kezelhető. Az egyenletnek az L(0)=eiωτ feltételt kielégítő megoldása:

L(ξ)=exp{b(ξε/ε–ℏωξ)+iωτ},

tehát

5.199. egyenlet - (59,18)

L(1)= expiωτ+i𝜀𝜀(kr2kr1ωτ),


ahol ε′=ε–ℏω.

Átalakítjuk (59,14) többi tényezőjét. Az R(t)-ben levő szorzást [a (21,20)-beli α mátrixok segítségével] elvégezve, azt kapjuk, hogy

5.200. egyenlet - (59,19)

R(t)=wfe[A+i(B×σ)]wi,A=p21𝜀+1𝜀=𝜀+𝜀2𝜀v,B=12p𝜀+mp𝜀+mω2𝜀nv+vm𝜀,


ahol ε′=ε–ℏω, p′(t)=p(t)–ℏk, n=k∕ω; az m∕ε-ban magasabb rendű tagokat elhagytuk. Végső soron

5.201. egyenlet - (59,20)

iQ2+Q1i=R2R1 expiωτ+i𝜀𝜀(kr2kr1ωτ),R2R1= Sp1+ζiσ2[(A2iB2×σ)e]1+ζfσ2[(A1+iB1×σ)e].


Az (1+ζσ/2) tényezők a kezdeti és végállapotbeli elektron kétsoros polarizációs sűrűségmátrixai.

A sugárzás intenzitását vizsgáljuk, a foton és a végállapotbeli elektron polarizációjára összegezünk, a kezdeti elektronéra átlagolunk. Egyszerű számítás után kapjuk, hogy[198]

(1/2)∑polarR2∗R1=(ε2+ε′2/2ε′2)(v1v2–1)+(1/2)((ℏω/ε′))2((m/ε))2.

A megkövetelt pontossággal

v1v2=v2–(τ2/4)v̇2+(τ2/4)vv̈=1–(m2/ε2)–(1/2)ω02τ2.

E kifejezést (59,20)-ba, majd (59,10)-be helyettesítve (59,17) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

5.202. egyenlet - (59,21)

dI=e24π2ω2dωdΩnm2𝜀𝜀+𝜀2+𝜀24𝜀2ω02τ2 expiωτ𝜀𝜀1nv+τ224ω02dτ.


Ez a képlet adja meg a sugárzás intenzitásának spektrálisés szögeloszlását .

Jelöljük n és az elektron pályájának síkja által bezárt szöget ϑ-val, az n vektor e síkra való vetületének és a v vektornak egymással bezárt szögét ψ-vel. Tekintetbe véve, hogy az integrálban a lényeges járulékot a kis szögek adják, írható, hogy

nv=vcosϑcosψ≈v(1–(ϑ2+ψ2/2)).

Az (59,21) integrál kiszámításához érdemes bevezetni τ és ψ helyett az x, y változókat:

ω0τ=((1ω0ε′/εω))1∕3(x+y), ψ=((2ω0ε′/εω))1∕3(x–y/2).

Az exponenciális tényező kitevője ekkor (59,21)-ben a következő:

–i(xη+(x3/3)+yη+(y3/3)),

ahol bevezettük az

5.203. egyenlet - (59,22)

η=u2χ23(1+δ2),u=ω𝜀=ω𝜀ω,δ=𝜗𝜀m


jelölést. A dxdy szerinti integrál az Airy-függvénnyelés deriváltjával fejezhető ki.[199] A spektrális eloszlásra a következő alakot kapjuk:

(dI/dω)=(2e2m2/πℏε)(u/1+u)((u/2χ))1∕3×

5.204. egyenlet - (59,23)

×Φ2(η)+(1+δ2)1+u22(1+u)Φ2(η)+1ηΦ2(η)dδ.


A lényeges járulékot a ϑ∼m∕ε(δ∼1) szögtartomány adja. Az eloszlás maximuma olyan frekvenciáknál van, amelyekre η∼((ℏω/ε′χ))2∕3. Ebből χ≪1 esetén (59,1), χ≫1 esetén (59,4) következik.

5. ábra.

Az 5. ábra a különböző χ értékekhez tartozó spektrális eloszlásokat mutatja.[200] Az

(1/(3/2)Ikl)(dI/d(ω∕ωc))

mennyiséget ábrázoltuk az ω∕ωc hányados függvényeként, ahol

ℏωc=(εχ/(2/3)+χ), Ikl=(2e2m2χ2/3ℏ2)=(2e4H2ε2/3m4).

Az Ikl mennyiség a sugárzás teljes klasszikus intenzitása [vö. II. (74,2)].

Felhasználva a

Φ2(η)+(1/η)Φ′2(η)=(1/2η)(d2/dη2)Φ2(η)

összefüggést, valamint bevezetve az ((u/2χ))2∕3δ2=t változót, (59,23) a

(dI/dω)=(2e2m2/πℏε)(u/1+u){–1+(2/x)(1+(u2/2(1+u)))(d2/dx2)}∫0∞(dt/√t)Φ2(2–2∕3x+t)

alakban írható, ahol x=(u∕χ)–2∕3. Felhasználva továbbá az

∫0∞(dt/√t)Φ2(2–2∕3x+t)=(√π/2)∫0∞Φ(x) dx

összefüggést,[201] a spektrális eloszlásra a

5.205. egyenlet - (59,24)

dIdω=e2m2π𝜀u1+uxΦ(x)dx+2x1+u22(1+u)Φ(x)


alakot kapjuk. Klasszikus határesetben ℏω≪ε, így u≈ℏω∕ε, x≈(ω∕ω0)2∕3(m∕ε)2,és (59,24) a II. (74,13) klasszikus képletbe megy át.

A

dI=(dI/dω)dω=(dI/dω)(ε/(1+u)2ℏ)du

kifejezést u szerint 0-tól ∞-ig integrálva [(59,24) első tagjában kétszer integrálunk] kapjuk, hogy

5.206. egyenlet - (59,25)

I=e2m2χ22π204+5χx32+4χ2x3(1+χx32)4Φ(x)xdx.


A 6. ábrán az I(χ)∕Ikl függvényt ábrázoltuk. Ha χ≪1, az integrálban a jelentős járulékot az x∼1 tartomány adja. Az integrandust χ szerint sorba fejtve és az integrálást az

inf0∞xyΦ′(x) dx=–(1/2√π)3(4ν–1)∕6Γ((ν/3)+1)Γ((ν/3)+(1/3))

képlet szerint elvégezve,

5.207. egyenlet - (59,26)

I=Ikl155316χ+48χ2


adódik.

6. ábra.

Ha χ≫1, a lényeges tartomány az, amelyre χx3∕2∼1, azaz x≪1. Φ′(x) ezért első közelítésben Φ′(0)=–31∕6Γ(2∕3)∕2√π-vel helyettesíthető, és ezzel az eredmény integrálás után a következő alakot ölti:

5.208. egyenlet - (59,27)

I32Γ(23)e2m22432(2χ)23=0,82e2m22H𝜀H0m23.


A mágneses fékezési sugárzás során az elektronok polarizálódnak (A. A. Szokolov , L. M. Ternov , 1963). Ennek vizsgálatához meg kell határozni az olyan sugárzási átmenet valószínűségét, amelynek során a spin iránya megfordul.

(59,20)-ba a ζi=–ζf≡ζ és |ζ|=1 összefüggéseket helyettesítve, azt kapjuk, hogy

R2∗R1=(B1B2)–(e∗B1)(eB2)–[e∗(B1×ζ)][e(B2×ζ)]–i(ζe∗)[e(B1×B2)].

A foton polarizációjára való összegezés egyszerű átalakítások után azt adja, hogy

∑eR2∗R1=(B1B2)[1–(ζn)2]+

5.209. egyenlet - (59,28)

+(ζn)(nB1)(ζB2)+(ζn)(nB2)(ζB1)i[ζn(nζ)](B1×B2).


Feltesszük, hogy x≪1, és csak a valószínűség ℏ szerinti sorának vezető tagját keressük. Mivel (59,28)-ban [B-n keresztül, l. (59,19)] már ℏ2 fordul elő, ezért minden további mennyiségben [az (59,20)-ban szereplő exponenciális kifejezés kitevőjében is]ε′ε-nal helyettesíthető.

Írjuk fel B1 és B2 kifejtésére, hogy

B1=(ω/2ε)(n–v+(τ/2)v̇+v(m/ε)),
B2=(ω/2ε)(n–v–(τ/2)v̇+v(m/ε)),
r2–r1=τv+(τ3/24)v̈,

és helyettesítsük (59,28)-at (59,20)-ba, majd (59,10)-be; így megkapjuk az egységnyi időre jutó differenciális átmeneti valószínűséget (dw=(dI/ℏω)). Ennek d3k szerinti integrálját az

5.210. egyenlet - (59,29)

f(kμ)eikxd3kω=f(iμ)4π(x0i0)2x2


összefüggés segítségével számíthatjuk ki, az adott esetben:

x0=τ, x=r2–r1, x2=x02–x2=τ2((m2/ε2)+(τ2ω02/12)).

Az eredmény

w=(α/π)(ℏ2/m2)((ε/m))ω03∮(dz/(1+z2∕12)3)[(3/z4)–(5/12z2)+((1/z4)+(5/12z2))(ζv)2–(2i/z2ω0)ζ(v̇×v)],

ahol z=τω0ε∕m, a dz szerinti integrációs út a valós tengely alatt halad, és az alsó félsíkban záródik. Elvégezve ez utolsó integrálást, megkapjuk a spin irányának megfordulásával járó sugárzási átmenet teljes valószínűségét:

5.211. egyenlet - (59,30)

w=53α162m2𝜀mω03129ζ28315e|e|ζ,


ahol ζ∥=ζv, ζ⊥=ζH∕H. E képlet egyaránt érvényes elektronra (e<0) és pozitronra (e>0).

Az (59,30) valószínűség nem függ a ζ∥ longitudinális polarizáció előjelétől, de függ ζ⊥ előjelétől. Ezért a sugárzás során létrejövő polarizáció is transzverzális.[202] Elektronoknál a „térrel párhuzamos” (ζ⊥) spinű állapotból a „térrel ellentétes” spinű állapotba való átmenet valószínűsége nagyobb, mint a fordított átmeneté. Ezért az elektronok sugárzási polarizációja a térrel ellentétes irányú, és stacionárius állapotban a polarizáció foka (ζ∥0 mellett)

(w(ζ⊥=–1)–w(ζ⊥=1)/w(ζ⊥=–1)+w(ζ⊥=1))=(8√3/15)=0,93.

A pozitronok polarizációja a térrel párhuzamos (nagysága az előzővel azonos).



[192] E szakasz társszerzője V. N. Bajer.

[193] E szakaszban c=1, ℏ-t azonban kiírjuk.

[194] A mágneses fékezési sugárzás teljes kvantumos leírását először N. P. Klepikov (1954), a klasszikus eredményekhez járuló első kvantummechanikai korrekciót A. A. Szokolov , N. P. Klepikov és I. M. Ternov adták meg (1952). Az (59,23) és (59,30) képletek e szakaszban bemutatott levezetése, amely lényegesen kihasználja a mozgás kváziklasszikus jellegét, V. N. Bajertől és V. M. Katkov tól származik (1967). Hasonló módszert használt korábban J. Schwinger (1954) a sugárzás intenzitásához adódó első kvantummechanikai korrekció kiszámítására.

[195] Ebben a szakaszban (a IV. fejezettől eltérően) P-vel jelöljük az általánosított impulzust; p a közönséges (kinetikus) impulzust jelöli.

[196] Emlékeztetünk rá, hogy (59,7)-ben az idő szerinti integrálást még nem végeztük el, az energia-megmaradás nem korlátozza a φf szerinti összegezést.

[197] Ez megtehető, mivel az, hogy a mágneses térbeli sebességkomponensek nem cserélhetők fel, ℏω0∕ε relatív nagyságrendű tagokhoz vezet, így ezek elhanyagolhatók.

[198] Felhasználtuk, hogy az e szerinti összegezésnél ∑e(v1e)(v2e∗)=v1v2–(v1n)(v2n). (59,20)-nek (59,9)-be való helyettesítésekor parciálisan lehet integrálni, észrevéve, hogy (v1n)exp(–(iε/ε′)kr1)=(iε′/εω)(d/dt1)exp(–(iε/ε′)kr1), ugyanúgy v2n-re. Az eredmény az, hogy az egész további integrálás során v1n és v2n1-gyel helyettesíthető.

[199] Az Airy-függvény definíciójára, valamint a Macdonald-függvényekkel való kapcsolatára lásd a III. b. §-t.

[200] Az 5. és 6. ábra grafikonjai N. P. Klepikov számításai alapján készültek.

[201] E képlet levezetése a következő cikkben található: D. E. Aspnes , Phys. Rev. 147, 554 (1966)

[202] Ez a tény egyébként előre látható: a polarizáció vektora axiális vektor, ez csak a feladatban szereplő egyetlen axiális vektor, H irányába mutathat.