Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

58.§. A deuteron fotodezintegrációja

58.§. A deuteron fotodezintegrációja

A deuteron jellegzetes tulajdonsága, hogy kötési energiája (a potenciálgödör mélységéhez képest) kicsi. Ez teszi lehetővé, hogy deuteronreakciókat le lehet írni a magerők részletes ismerete nélkül, pusztán a kötési energia segítségével (l. III. 133. §). Fel szokták tételezni, hogy az ütköző részecskék hullámhossza nagy a magerők a hatótávolságához képest.

Ez arra az esetre is vonatkozik, amikor γ-kvantumok hasítják szét a deuteront, amelyekre igaz a ka≪1 feltétel. Feltesszük azt is, hogy pa≪1, ahol p a neutron és proton relatív impulzusa a végállapotban (ez a feltevés erősebb, mint az előző[189]).

A fotoeffektus hatáskeresztmetszetének  (56,5) nemrelativisztikus alakjából indulunk ki, elvégezve az irány szerinti integrálást:

σ=(e2p/2πω)(M/2)(4π/3)|(vp)fi|2.

Itt p a proton és neutron relatív impulzusa,[190] az (56,5)-beli m-et az M∕2 redukált tömeggel helyettesítettük (M a nukleontömeg). A proton vp sebességének kell a mátrixelemét képezni, mivel csak a proton hat kölcsön a fotonnal. vp-t a p impulzussal kifejezve (vp=v∕2=p∕M),

5.176. egyenlet - (58,1)

σ(e)=e2p3Mω|pfi|2


adódik. Az (e) index arra utal, hogy a képlet elektromos dipólusátmenetnek felel meg: ep∕M=evp=d, úgyhogy epfi∕M=iωdfi.

A deuteron kezdeti (alap-) állapotának normáit hullámfüggvénye:

5.177. egyenlet - (58,2)

ψ=ϰ2πeϰrr,ϰ=MI,


ahol I=2,23 MeV a kötési energia (vö. III. 133. §).[191] A végállapot hullámfüggvénye a szabad mozgás hullámfüggvénye, azaz síkhullám,

5.178. egyenlet - (58,3)

ψ=eipr.


Ennek oka az, hogy a vizsgált elméletben a „deuteron kiterjedése”, 1∕ϰ nagy az a effektív kölcsönhatási sugárhoz képest. A proton és neutron közötti kölcsönhatás számításánál ezért elegendő az Sállapotokat figyelembe venni; az l≠0állapotok, melyeknek hullámfüggvénye kis távolságoknál kicsi, elhanyagolhatók. A kiválasztási szabályok szerint az elektromos dipólusátmenet két Sállapot (az alapállapot és a folytonos spektrum egy Sállapota) között tiltott. Ezért a végállapotban a nukleonok közötti kölcsönhatás elhanyagolható.

Parciális integrálással kapjuk, hogy a mátrixelem

pfi=i√((ϰ/2π))∫e–ipr∇(e–ϰr/r) d3x=√((ϰ/2π))p((e–ϰr/r))p=√((ϰ/2π))(2πp/p2+ϰ2)

(vö. az V. fejezet  52. lábjegyzetével).

Felhasználva az energiamegmaradást kifejező

(1/M)(ϰ2+p2)=I+(p2/M)=ω

egyenlőséget, a dezintegráció hatáskeresztmetszetére (szokásos egységekben) a

5.179. egyenlet - (58,4)

σ(e)=8π3α2MI(ωI)32(ω)3


végső alakot kapjuk (H. A. Bethe , R. Peierls , 1935). Maximuma vanhslashω=2I.nél, a ℏω→Iés ℏω→∞ határátmenetekben eltűnik.

(58,4) leírja a fotonabszorpciót elektromos dipólus-kölcsönhatás esetén , azonban a fotoeffektus küszöbének közelében (ℏω→I) nem ez adja a fő járulékot a hatáskeresztmetszethez. Ennek oka az, hogy ebben a tartományban az S állapotba való átmenetek adják a lényeges járulékot, elektromos dipólus-abszorpcióban pedig ilyenek nincsenek. Ugyancsak hiányoznak az elektromos kvadrupólus-abszorpcióból: a paritásra vonatkozó kiválasztási szabályt teljesítik ugyan, de a pálya-impulzusmomentumra vonatkozót nem (emlékeztetünk, hogy a tenzorerőt elhanyagoltuk, és így L és S külön-külön megmarad). Ezért, hogy a fotodezintegráció hatáskeresztmetszetét a küszöb közelében is kiszámíthassuk, a mágneses dipólus-abszorpciót kell vizsgálnunk, melynél a kiválasztási szabályok nem tiltják az S állapotok közötti átmeneteket (E. Fermi , 1935).

(58,1)-be az elektromos helyett a mágneses momentumot helyettesítve, azt kapjuk, hogy

5.180. egyenlet - (58,5)

σ(m)=13ωMp|μfi|2.


A pályamozgáshoz tartozó mágneses momentum nem ad járulékot μfi-be, mivel az L pálya-impulzusmomentumnak Sállapotok közötti átmenetekre nincs mátrixeleme. A spinhez tartozó mágneses momentum:

μ=2μpsp+2μnsn=2(μp–μn)sp+2μnS,

ahol S=sp+sn, és μn pedig a proton és neutron mágneses momentuma . Ha a tenzorerőket elhanyagoljuk, a teljes spin megmarad, így operátorának nincs nullától különböző átmeneti mátrixeleme. Ezért

μfi=2(sp)fi(μp–μn).

Ugyanebben a közelítésben a spin- és pályaváltozók szeparálhatók. A hullámfüggvényhez hasonlóan a mátrixelem is egy spintől és egy koordinátáktól függő rész szorzataként állítható elő:

μfi=2(μp–μn)⟨spS′M′∣sp∣spSM⟩∫ψ′∗(r)ψ(r) d3x.

A spin–spin típusú magkölcsönhatás jelenléte miatt a ψ(r) hullámfüggvényre vonatkozó egyenlet a spin S értékét paraméterként tartalmazza. Ha S′=S, akkor ψ′(r) és ψ(r) ugyanazon operátor sajátfüggvényei, és ezért ortogonálisak. Ennek következtében a 3S kezdeti állapotból csak a folytonos spektrum 1S állapotába történhet átmenet.

Az (58,5)-ben szereplő |μfi|2-et a kezdeti állapot S spinjének M vetületei szerint átlagolni kell. Ezért ki kell számítanunk az

(1/2S+1)∑M|⟨spS′M′∣sp∣spSM⟩|2

mennyiséget, az sp=sn=1∕2, S=1, S′=0 értékekkel. Az impulzusmomentumok összeadására vonatkozó általános szabályok szerint ez

(1/(2S+1)(2S′+1))|⟨spS′∥sp∥spS⟩|2=
={spS′sn / Ssp 1}2|⟨n′sp∥sp∥nsp⟩|2=(1/6)|⟨sp∥sp∥sp⟩|2

[felhasználtuk a III. (107,11), (109,3) képleteket]. A redukált mátrixelem

⟨sp∥sp∥sp⟩=√(sp(sp+1)(2sp+1))=√((3/2)).

(58,5) alakja így:

5.181. egyenlet - (58,6)

σm=13ωMp(μpμn)2ψψd3x2.


A kezdeti ψ hullámfüggvényt (58,2) adja meg. A végállapot hullámfüggvénye

ψ′=(1/p)√((π/2))Rp0(r).

Ez, lényegtelen fázisszorzótól eltekintve, az (56,7) függvény sorának első tagja (l=0), a függvény aszimptotikus alakja egy síkhullámot és egy befutó gömbhullámot tartalmaz. Mivel a magerők hatósugarán kívül a teljes térre kell integrálni, így a radiális függvény

Rp0(r)=√((2/π))(sin(pr+δ)/r).

A δ fázis a „proton + neutron” rendszer S=0 virtuális szintjével (I1=0,067 MeV) van kapcsolatban:

ctgδ=(ϰ1/p), ϰ1=√(MI1)

(l. III. 133. §). Ezzel

∫ψ′∗ψd3x=(2π)3∕2(√ϰ/pπ)ℑ∫e–ϰr+ipreiδdr=(2π)3∕2(√ϰ/pπ)ℑ(eiδ/ϰ–ip).

Egyszerű algebrai átalakítások után a hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk (a szokásos egységekben) :

5.182. egyenlet - (58,7)

σ(m)=8π3c(μpμn)2I(ωI)(I+I1)2ω(ωI+I1)


ℏω→I esetén a hatáskeresztmetszet √(ℏωI) szerint tűnik el–a reakció-hatáskeresztmetszetek általános küszöbviselkedésének megfelelően (l. III. 147. §).

A fotodezintegráció inverz folyamata az, hogy a neutron befog egy protont , közben egy foton emittálódik. A befogás hatáskeresztmetszetét (σbef) a fotoeffektus hatáskeresztmetszetével (σf) a részletes egyensúly elvének alapján fejezhetjük ki [v8. (56,15) levezetésével]. A neutron és proton spin szerinti statisztikus súlya 2⋅2=4. A deutroné (S=1 állapotban) és a fotoné 3⋅2=6. Ezért

5.183. egyenlet - (58,8)

σbef=32(ω)2c2p2σf=3(ω)22Mc2(ωI)σf.




[189] A fotoenergia, melynél pa≈1 (a=1,5⋅10–13cm), 15 MeV.

[190] Ebben a szakaszban p jelöli |p|-t.

[191] E függvény pontosabbá tehető. A korrekció a végességével függ össze, és abban áll, hogy (58,2)-ben a normálási tényezőt a √((ϰ/2π(1–aϰ)))kifejezéssel helyettesítjük (l. a III. 133. § 1. feladatot). Ennek megfelelően a hatáskeresztmetszetekre vonatkozó képletekben is megjelenik az 1∕(1–aϰ) tényező. Meg kell mondanunk, hogy a korrekció nem kicsi: a deuteron alapállapotában az aϰ≈0,4. A deuteron alapállapota 3S1 és egy kevés 3D1 állapot „keveréke”, ami a nukleáris tenzorerővel áll összefüggésben (l. III. 117. §). Ezt a kevertséget és így magát a tenzorerőt is elhanyagoljuk.