Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

57.§. Fotoeffektus. A relativisztikus eset

57.§. Fotoeffektus. A relativisztikus eset

A következőkben az

5.164. egyenlet - (57,1)

ωI


esetet vizsgáljuk. Most is igaz, hogy ε=ω–I≫I, és ezért a mag Coulomb-terének a fotoelektron hullámfüggvényére (ψ′) gyakorolt hatását a perturbációszámítás segítségével vehetjük figyelembe. ψ′-t a

5.165. egyenlet - (57,2)

ψ=12𝜀(ueipr+ψ(1))


alakban írjuk. A fotoelektron relativisztikus lehet, ezért a pertubálatlan részt a (23,1) relativisztikus síkhullám formájában írtuk.

Bár a kezdeti állapotban az elektron nemrelativisztikus, ψ hullámfüggvényében nem hagyhatjuk el (később tisztázandó okokból) a relativisztikus korrekciót (∼Ze2). A

5.166. egyenlet - (57,3)

ψ=1i2mγ0γu2mψnemrel


függvény ezt teljesíti (l. a 39. § feladatát), ahol ψnemrel a kötött állapot (56,6) nemrelativisztikus hullámfüggvénye, u a nyugvó elektron ūu=2m szerint normált bispinor amplitúdója.

Helyettesítsük az (57,2), (57,3) függvényeket az (56,2) mátrixelembe:[186]

Mfi=(1/2√(mε))∫{ū′(γe)[(1–(i/2m)γ0γ∇)uψnemrel]e–i(p–k)r+

5.167. egyenlet - (57,4)

+ψ̄(1)(γe)eikruψnemreld3x.


Mivel a mátrixelemnek Ze2-ben elsőrendű tagjára vagyunk kíváncsiak, a kapcsos zárójel második tagjában ψnemrel helyébe a (Ze2m)3∕2∕√πállandót írhátjuk. Az első tag ilyen közelítésben (ha p–k≠0) eltűnne (éppen ezért kell ψ-ben az első relativisztikus korrekciót is figyelembe venni, ami Ze2-tel arányos; v∼1 esetén ez ugyanolyan rendű járulékot ad a hatáskeresztmetszethez, mint ψnemrelZe2 szerinti sorának második tagja).

(57,4) első tagjában parciálisan integrálunk, a ∇ operátort ψnemrel az exponenciálisra hárítva. Eredményként azt kapjuk, hogy

5.168. egyenlet - (57,5)

Mfi=(Ze2m)322(ψm𝜀)12ū(γe)1+12mγ0γ(pk)u(eZe2mr)pk+ψ̄k(1)(γe)u,


a vektorindex a térbeli Fourier-komponenst jelöli. Ze2 szerint első rendben:[187]

5.169. egyenlet - (57,6)

(eZe2mr)pk=8πZe2m(pk)4.


A ψk(1) Fourier-komponens kiszámítása céljából írjuk fel a ψ(1)-re érvényes egyenletet:

(γ0ε+iγ∇–m)ψ(1)=e(γμAμ)u′eipr=–(Ze2/r)γ0u′eipr

[ezt (57,2)-nek (32,1)-be való helyettesítésével kapjuk]. Mindkét oldalra alkalmazva a (γ0ε+iγ∇+m) operátort, kapjuk, hogy

(Δ+p2)ψ(1)=–Ze2(γ0ε+iγ∇+m)(γ0u′)(1/r)eipr.

Az egyenletet e–ikr-rel szorozzuk és d3x szerint integráljuk; a Δ és ∇ operátorokat tartalmazó tagokban a szokásos módon parciálisan integrálunk:

(p2–k2)ψk(1)=–Ze2(γ0ε–γk+m)(γ0u′)((1/r))k–p=
=–Ze2(2εγ0–γ(k–p))(γ0u′)(4π/(k–p)2).

A második átalakításnál kihasználtuk, hogy u′ kielégíti az

(εγ0–pγ–m)u′=0 vagy (εγ0+pγ–m)γ0u′=0

egyenletet. Ebből

5.170. egyenlet - (57,7)

ψ̄k(1)=ψk(1)γ0=4πZe2ū2𝜀γ0+γ(kp)(k2p2)(kp)2γ0.


(57,6)és (57,7) segítségével az (57,5) mátrixelemre a következő alakot kapjuk:

Mfi=(4π1∕2(Ze2m)5∕2/(εm)1∕2(k–p)2)ū′Au,

ahol

A=a(γe)+(γe)γ0(γb)+(γc)γ0(γe),
a=(1/(k–p)2)+(ε/m)(1/k2–p2), b=–(k–p/2m(k–p)2), c=(k–p/2m(k2–p2)).

A hatáskeresztmetszet

dσ=(8e2(Ze2m)5|p|/ω(k–p)4m)(ū′Au)(ūĀu′) dΩ,

ahol Ā=γ0A+γ0 (l.  66. §). Ezt a kifejezést még az elektron spinjének végállapotbeli irányaira összegezni, kezdeti állapotbeli irányaira átlagolni kell. Ez a később, a  66. §-ban leírt szabályok szerint végezhető el, felhasználva a kezdeti és a végállapot polarizációs sűrűségmátrixát:

ϱ=(m/2)(γ0+1), ϱ′=(1/2)(γ0ε–γp+m)

(a kezdeti állapotban p=0,ε=m). Az eredmény

dσ=(16e2(Ze2m)5|p|/mω(k–p)4)Sp(ϱ′AϱĀ) dΩ.

A nyom kiszámítása tisztán algebrai feladat, a következő eredményt adja:[188]

Sp(ϱ′AϱĀ)=(m/ε+m)[ap–(b–c)(ε+m)]2+4m(be)[(ε+m)(ce)+a(pe)]

(feltételezzük, hogy az e vektor valós – a foton lineárisan polarizált).

A hatáskeresztmetszet végső alakját a p irányát meghatározó polár- és φ azimutszöggel adjuk meg; a koordináta-rendszert úgy választjuk, hogy k a z tengely irányába mutasson, a k és e vektorok síkja legyen az xz sík (úgyhogy pe=|p|cosφsin). ω≫I esetén az energiamegmaradás ε–m=ω alakban írható (ε–m=ω–I helyett). Könnyű igazolni, hogy ekkor

k2–p2=2m(ε–m), (k–p)2=2ε(ε–m)(1–vcos),

ahol v=p∕ε a fotoelektron sebessége. Egyszerű átalakítások után kapjuk, hogy

dσ=Z5α4re2(v3(1–v2)3sin2/(1–√(–v2))5(1–vcos)4){((1–√(1–v2))2/2(1–v2)3∕2)(1–vcos)+

5.171. egyenlet - (57,8)

2(11v2)(1vcos𝜃)1v2 cos2φdΩ,


ahol re=e2∕m.

Ultrarelativisztikus esetben (ε≫m) a hatáskeresztmetszetnek kis szögeknél (∼√(1–v2)) éles maximuma van, azaz az elektronok túlnyomóan a beeső foton irányában lépnek ki. A maximum körül

1–vcos≈(1/2)[(1–v2)+2],

és (57,8) vezető tagjait megtartva, azt kapjuk, hogy

5.172. egyenlet - (57,9)

dσ4Z5α4re2(1v2)32𝜃3(1v2+𝜃2)3d𝜃dφ.


Elemi, de eléggé hosszadalmas, szög szerinti integrálással adódik a teljes hatáskeressztmetszet (F. Sauter , 1931):

5.173. egyenlet - (57,10)

σ=2πZ5α4re2(γ21)32(γ1)543+γ(γ2)γ+1112γγ21lnγ+γ21γγ21,


ahol a rövidség kedvéért bevezettük a

5.174. egyenlet - (57,11)

γ=11v2=𝜀mm+ωm


„Lorentz-tényezőt” . Ultrarelativisztikus esetben az egyszerű

5.175. egyenlet - (57,12)

=2πZ5α4re21γ


eredményt kapjuk. I≪ω≪m esetén az ismert (56,14) képlet adódik, ha (57,10)-ben aγ–1→0 határátmenetet elvégezzük.



[186] Az (57,3) függvény az r∼1∕(mZe2) távolságokra jó, a korrekciós tagok relatív nagyságrendje ilyen r mellett Ze2. Alapállapotra (és általában minden s állapotra) (57,3) tetszőleges r mellett érvényes, minthogy az (56,6) tiszta exponenciális függvény differenciálhányadosa [és így az (57,3)-hoz adódó korrekciós tag is] mindig Ze2-tel arányos. Ezért használható (57,3) most, amikor (mint látni fogjuk) a kis r értékek lényegesek.

[187] A (Δ–λ2)(e–λr/r)=–4πδ(r)egyenlőség mindkét oldalának Fourier-transzformáltját véve, azt kapjuk, hogy ((e–λr/r))q=(4π/q2+λ2). Ezt λ szerint differenciálva, (e–λr)q=(8πλ/(q2+λ2)2).

[188] A nyomok számítására alkalmas háromdimenziós képletek a  22. §-ban levezetett négydimenziósakkal azonosak. Csak páros számú γ0-t és γ mátrixot tartalmazó szorzat nyoma különbözik nullától; minden γ01-gyel helyettesíthető, két és négy γ-t tartalmazó kifejezések nyomait pedig a következő egyenlőségek adják meg: (1/4)Sp(aγ)(bγ)=–ab, (1/4)Sp(aγ)(bγ)(cγ)(dγ)=(ab)(cd)+(ad)(bc).