Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

56.§. Fotoeffektus. A nemrelativisztikus eset

56.§. Fotoeffektus. A nemrelativisztikus eset

49. §52. §-okban a diszkrét spektrumhoz tartozó atomi szintek közötti sugárzási átmeneteket (foton emisszióját vagy abszorpcióját) tárgyaltuk. A fotoeffektus csupán annyiban különbözik az ilyen abszorpciós folyamatoktól, hogy ott a végállapot a folytonos spektrumhoz tartozik.

A fotoeffektus hatáskeresztmetszete hidrogénatomra vagy hidrogénatomszerű ionra Z≪137 magtöltéssel) végig analitikus formában kiszámítható.

A kezdeti állapotban az elektron a diszkrét εi≡–I (I az atom ionizációs energiája) energiaszinten van, a foton impulzusa k. A végállapotban az elektron impulzusa p (energiája εf≡ε). Mivel p értékkészlete folytonos, a fotoeffektus hatáskeresztmetszetét a

5.149. egyenlet - (56,1)

dσ=2π|Vfi|2δ(I+ω𝜀)d3p(2π)3


összefüggés adja meg [vö. (44,3)], az elektron végállapotbeli hullámfüggvényét az „egységnyi térfogatban egy részecske” szabály szerint normáltuk. Legyen ugyanilyen a foton hullámfüggvényének normálása is; a dσ hatáskeresztmetszetre valóáttéréskor a dw valószínűséget a fotonok áramsűrűségével (c∕V=c) osztani kell, de relativisztikus egységekben ez az (56,1) képletre nem jelent változást.

A fotonra a Coulomb-mértéket használjuk [ugyanúgy, mint (45,2)-ben]. Ekkor

Vfi=–eAjfi=–e√(4π)(1/√(2ω))Mfi,

ahol

5.150. egyenlet - (56,2)

Mfi=ψ(αe)eikrψd3x


(ψ≡ψi, ψ′≡ψf rendre az elektron kezdeti és végállapotának hullámfüggvényei). Elvégezve (56,1)-ben a d3p→p2d|p| dΩ=ε|pdεdΩ| helyettesítést és aδ-függvény segítségével az ε szerinti integrálást, azt kapjuk, hogy

5.151. egyenlet - (56,3)

dσ=e2𝜀|p|2πω|Mfi|2dΩ.


A foton energiájának nagysága szerint két esetet különböztethetünk meg: ω≫I, vagy ω≪m. Mivel I∼me4Z2≪m, ez a két eset részben átfedi egymást (ha I≪ω≪m), úgyhogy vizsgálatukkal a fotoeffektus teljes leírását adhatjuk.

Legyen először

5.152. egyenlet - (56,4)

ωm.


Ilyenkor az elektron sebessége mind a kezdeti, mind a végállapotban kicsi,úgyhogy az elektront illetően a feladat nemrelativisztikus. (56,2)-ben ezért α helyébe a v=–i∇∕m nemrelativisztikus sebességoperátort helyettesíthetjük (vö. 45. §). Ezenkívül dipólusközelitést használhatunk –írhatjuk, hogyeikr≈1, azaz a foton impulzusát elhanyagolhatjuk az elektronéhoz képest. Ekkor

5.153. egyenlet - (56,5)

dσ=e2m|p|2πω|evfi|2dΩ,vfi=imψψd3x.


A fotoeffektust arra az esetre vizsgáljuk, mikor a hidrogénatom vagy hidrogénszerű ion kezdetben alapállapotban van. Ekkor

5.154. egyenlet - (56,6)

ψ=(Ze2m)32πeZe2mr


(a szokásos egységekben me2→1∕a0, ahol a0=(ℏ2/me2) az első Bohr-sugár ).

A ψ′ hullámfüggvény aszimptotikus alakjának egy síkhullámot (eipr) és ezzel együtt egy befutó gömbhullámot kell tartalmaznia (l. III. 136. §, ott ezt a függvényt ψp–-vel jelöltük). Az l szerinti kiválasztási szabály értelmében s állapotból csak p állapotba történhet átmenet (dipólus eset). Ezért elegendő a

5.155. egyenlet - (56,7)

ψp=1pπ2l=0il(2l+1)eiδlRpl(r)Pl(nn1)


(n=p∕p,n1=r∕r) sor[184]l=1 tagját néznünk.[185] A lényegtelen fázistényezőket elhagyva,

5.156. egyenlet - (56,8)

ψ=3pπ2(nn1)Rp1(r).


ψés ψ′ (56,6)és (56,8) alakjait használva,

evfi=(3(Ze2m)5∕2/√2mp)∬(nn1)(n1e)e–Ze2mrRp1(r) dΩ1⋅r2dr=
=(23∕2π(Ze2m)5∕2/pm)(ne)∫0∞r2e–Ze2mrRp1(r) dr.

III. (36,18) és III. (36,24) szerint a radiális függvény (az itt használt egységekkel)

Rp1=(2Ze2m/3)√((1+ν2/ν(1–e–2πν)))pre–iprF(2+iν,4,2ipr),

ahol

5.157. egyenlet - (56,9)

ν=Ze2mp=Ze2v.


Az integrált az

∫0∞e–λzzγ–1F(α,γ,kz) dz=Γ(γ)λα–γ(λ–k)–α

képlet [l. III. (f,3)] segítségével számíthatjuk ki. Felhasználva még, hogy

((ν+i/ν–i))iν=e–2νarcctgν,

kapjuk, hogy

evfi=(27∕2πν3(ne)/√pm(1+ν2)3∕2)(e–2νarcctgν/√(1–e–2πν)).

A hidrogénatom (vagy hidrogénszerű ion) alapállapotában az ionizációs energiaI=Z2e4m∕2. Ezért

5.158. egyenlet - (56,10)

ω=p22m+I=p22m(1+ν2).


Ezt is figyelembe véve, a hatáskeresztmetszet végső alakja, ha az elektron a dΩ térszögbe lökődik ki:

5.159. egyenlet - (56,11)

dσ=27παa2Iω4e4ν arc ctgν1e2πν(ne)2dΩ,


ahol a=(ℏ2/mZe2)=(a0/Z) (itt és a továbbiakban a szokásos egységeket használjuk). Megjegyezzük, hogy a fotoelektronok szögeloszlását az (ne)2 tényező határozza meg. Ez a bejövő foton polarizációjának irányával párhuzamos irányban maximális, az e-re merőleges irányokban, beleértve a beesés irányát, pedig eltűnik. Ha a foton polarizálatlan, akkor az (56,11) képletet e iránya szerint átlagolni kell, ez az

(ne2)→(1/2)(n0×n)2

helyettesítésnek felel meg, ahol n0k∕k [l. (45,4b)].

Az (56,11) képlet térszög szerinti integrálja adja a fotoeffektus teljes hatáskeresztmetszetét

5.160. egyenlet - (56,12)

σ=29π23αa2Iω4e4ν arc ctgν1e2πν


(M. Stobbe , 1930).

σ határértéke ℏ→I (azaz ν→∞) esetén:

5.161. egyenlet - (56,13)

σ=29π23e4αa2=29π23e4αa02Z2.


(a nevezőben 2=2,71…!). Mint ahogy annak lennie kell, az olyan reakciókban, amelyekben töltött részecskék keletkeznek (l. III. 147. §), a fotoeffektus hatáskeresztmetszete is konstans határértékhez tart a küszöbnél.

A ℏω≫I eset (miközben ℏω≪mc2) a Born-közelítésnek felel meg (ν=(Ze2/ℏv)≪1). Az (56,12)-nek megfelelő összefüggés most

5.162. egyenlet - (56,14)

σ=28π3αa02Z5I0ω72


(I0=(e4m/2ℏ2) a hidrogénatom ionizációs energiája ).

A fotoeffektus inverz folyamata az elektronnak mozdulatlan ionnal való sugárzási rekombinációja. E folyamat hatáskeresztmetszete (σrekomb) kifejezhető a fotoeffektus hatáskeresztmetszetével (σf) a részletes egyensúly elve alapján (l. III. 144. §). Az utóbbi szerint az i→f és f→ folyamatok (mind az i, mind az f állapotban két-két részecskével) hatáskeresztmetszetei között a

gipi2σi→f=gfpf2σf→i

összefüggés áll fenn, ahol pi, pf a részecskék relatív impulzusai, gi, gf az i és f állapotok (spinnel kapcsolatos) statisztikus súlyai. Mivel fotonra g=2 (két polarizációs irány van), ezért

5.163. egyenlet - (56,15)

σrekomb=σf2k2p2


(p=mv a beeső elektron, k a kisugárzott foton impulzusa).

Feladat

Határozzuk meg gyors, nemrelativisztikus elektron (I≪mv2≪mc2)atommaggal (Z≪137) való, sugárzási rekombinációjának teljes hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. A K-befogás (a főkvantumszám n=1) hatáskeresztmetszetét megkapjuk, ha (56,14)-et (56,15)-be helyettesítjük:

σ1rekomb=(27π/3)Z5α3a02((I0/ε))5∕2

(ε=mv2∕2 a beeső elektron energiája; ℏω≈ε). A keletkező atom többi állapotai közül csak az s állapotok lényegesek: ha a mátrixelemet Born-közelítésben számoljuk, a kötött állapot hullámfüggvényének kis r-eknél felvett értékei lényegesek (amint ezt az  57. §-ban látni fogjuk), és l>0 esetén ezek kicsinyek az l=0 hullámfüggvényhez képest; emellett elegendő ψ-nek r szerinti hatványsorában az első két tagot figyelembe venni. Tetszőleges n mellett, l=0-nál e két tag:

ψ=(1/√πa3∕2n3∕2)(1–(r/a)),

azaz n csupán a közös n–3∕2 szorzótényezőben fordul elő [a felírt kifejezés a III. (36,13) függvény sorba fejtett alakjából kapható]. Így a rekombináció teljes hatáskeresztmetszete

σrekomb=∑n=1∞σnrekomb∑n=1∞(1/n3)=ζ(3)σ1rekomb

(a ζ függvény értéke: ζ(3)=1,202).



[184] A továbbiakban ebben a szakaszban p jelöli |p|-t

[185] A III. (136,5)-től ez egy szorzótényezőben különbözik, mivel az Rpl függvényt most másképpen normáltuk.