Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

52.§. Atomok sugárzása. A hidrogénatom

52.§. Atomok sugárzása. A hidrogénatom

A hidrogénatom az egyetlen, amelyre vonatkozóan az átmeneti mátrixelemek kiszámítása analitikus módon végigvihető (W. Gordon , 1929).

A hidrogénatom egy állapotának paritása (–1)l, azaz az elektron pálya-impulzusmomentuma egyértelműen meghatározza (emlékeztetünk rá, hogy az l kvantumszám ezt a szerepét relativisztikus esetben, azaz a spin–pálya kölcsönhatás figyelembevétele után is megőrzi). Ezért a paritásra vonatkozó kiválasztási szabály szigorúan tiltja az l változása nélküli elektromos dipólusátmenetet; csak az l→l±1 átmenetek megengedettek. Az n főkvantumszám tetszőlegesen megváltozhat.

A hidrogénatom dipólusmomentuma az elektron helyvektorával kifejezve: d=er. Mivel az atomi elektron hullámfüggvénye a szögfüggő és a radiális rész (Rnl függvények) szorzataként állítható elő, ugyanez fennáll a rádiuszvektor redukált mátrixelemeire is:

⟨n′,l–1∥r∥nl⟩=⟨l–1∥ν∥l⟩∫0∞Rn′,l–1rRnlr2dr,

ahol ⟨l–1∥ν∥l⟩ az r irányú ν egységvektor redukált mátrixeleme. Az utóbbira fennáll, hogy

⟨l–1∥ν∥l⟩=⟨l∥ν∥l–1⟩∗=i√l

(l. a III. (29,14) képletet). Így

5.115. egyenlet - (52,1)

n,l1rnl=nlrn,l1=il0Rn,l1Rnlr3dr.


A hidrogénatom diszkrét spektrumának nemrelativisztikus radiális hullámfüggvényeit III. (36,13) adja meg:[164]

5.116. egyenlet - (52,2)

Rnl=2nl+2(2l+1)!(n+1)!(nl1)!(2r)lernFn+l+1,2l+2,2rn.


Két elfajult hipergeometrikus függvény szorzatának (52,1) integrálját a III. f. §-ban használt képletek segítségével számíthatjuk ki.[165] Az eredmény:

⟨n′,l–1∥r∥nl⟩=i√l((–1)n′–1/4(2l–1)!)√(((n+l)!(n′+l–1)!/(n–l–1)!(n′–l)!))×
×((4nn′)l+1(n–n′)n+n′–2l–2/(n+n′)n+n′){F(–n+l+1,–n′+l,2l,–(4nn′/(n–n′)2))–

5.117. egyenlet - (52,3)

nnn+n2Fn+l1,n+l,2l,4nn(nn)2,


ahol F(α,β,γ,z) hipergeometrikus függvények. Mivel az adott esetben az α,β paraméterek nempozitív egész számok, a függvények polinomok.[166]

Megadjuk az (52,3) mátrixelemet néhány speciális esetben (l jelölésére a spektroszkópiai s, p, d, … szimbólumokat használjuk):

5.118. egyenlet - (52,4)

|1srnp|2=28n7(n1)2n5(n+1)2n+5,|2srnp|2=217n7(n21)(n2)2n6(n+2)2n+6,|2prnd|2=219n9(n21)(n2)2n73(n+2)2n+7,|2prns|2=215n9(n2)2n63(n+2)2n+6.(52,4)


(52,3) nem használható olyan átmenetekre, ahol az n főkvantumszám nem váltózik (egy szint finomszerkezetének komponensei közötti átmenetekre). Ez esetben (n=n′) a radiális hullámfüggvények általánosított Laguerre-polinomokkal kifejezett alakjából indulunk ki:

5.119. egyenlet - (52,5)

Rnl=2n2(nl1)![(n+l)!]3ern2rnlLn+l2l+12rn.


Az

∫0∞En,l–1Rnlr3dr∝∫0∞e–ϱϱ2l+2Ln+l2l+1(ϱ)Ln+l–12l–1(ϱ) dϱ

integrálban az egyik polinomot a generátorfüggvénnyel kifejezett alakjában írjuk be (l. III. d. §):

Ln+l2l+1(ϱ)=–((n+l)!/(n–l–1)!)eϱϱ–2l–1((d/dϱ))n–l–1e–ϱϱn–l.

(n–l–1)-szer parciálisan integrálva, a következő alakot kapjuk:

∫0∞e–ϱϱn+l((d/dϱ))n–l–1ϱLn+l–12l–1(ϱ) dϱ,

ahová a Laguerre-polinom

Lnm(ϱ)=(–1)mn!∑k=0n–m(n / m+k)((–ϱ)k/k!)

explicit alakját helyettesítjük. Differenciálás után három tag marad meg, az integrálás ezután elemi. A következő egyszerű végeredmény adódik:

5.120. egyenlet - (52,6)

n,l1rnl=il32nn2l2.


Az

∫0∞Rn′,l–1Rnlr3dr=∫0∞χn′,l–1(rχnl) dr

integrál az rχnl függvény χn′,l–1(n′=1,2,… ) ortogonális függvények szerinti kifejtésének együtthatóit adja meg. A kifejtési együtthatók abszolút értékeinek négyzetösszege a függvény négyzetének integrálját adja.[167] Ezért

5.121. egyenlet - (52,7)

n|n,l1rnl|2=l0r2χnl2dr.


Felhasználva r2-nek az nlállapotban vett várhatóértékére ismert kifejezést (l. III. (36,16)], a következőösszegszabályt kapjuk:

5.122. egyenlet - (52,8)

n|n,l1rnl|2=ln22[5n2+13l(l+1)].


Adott n,l mellett n′ nagy értékeire az nl→n′l′átmenet mátrixeleme

5.123. egyenlet - (52,9)

|nlrnl|23n3


szerint csökken, amiről az (52,4) speciális kifejezésekből vagy az (52,3)általános képletből meggyőződhetünk. Az eredmény természetes: az E′=–1∕(2n′2) Coulomb-energiaszintek nagy n′ mellett kvázifolytonosan helyezkednek el, és valamelyik, a dE′ intervallumba eső szintre valóátmenet valószínűsége arányos a nívósűrűséggel, ami pedig n′–3-nal arányos.

A hidrogénatom Stark-effektusának sajátságos, ismert tulajdonsága (l. III. 77. §), hogy a felhasadás az elektromos erőtér nagyságával arányos. Feltevés szerint a tér bár nem erős (hogy a perturbációszámítás használható legyen), de olyan, hogy a szintek felhasadása nagy a finomszerkezethez képest. Az impulzusmomentum általában nem marad meg, a szinteket az n1, n2, m parabolikus kvantumszámok szerint kell osztályozni. Az utóbbi – az m mágneses kvantumszám – ugyanúgy, mint korábban, a pálya-impulzusmomentum z tengelyre (a tér irányára) vett vetületét határozza meg, ami az adott feltételek mellett (a spin—pálya kölcsönhatást elhanyagolva) megmarad. Ezért rá a szokásos kiválasztási szabály érvényes:

5.124. egyenlet - (52,10)

mm=0,±1.


Az n1, n2 kvantumszámok változására nincs korlátozás.

A dipólusmomentum mátrixeleme parabolikus koordináták mellett analitikus módón is számítható. A képletek azonban igen terjedelmesek, azokkal most nem foglalkozunk.[168]

Feladat

Határozzuk meg a hidrogénatom szintjeinek Stark-felhasadását abban az esetben, ha a felhasadás mértéke kicsi a finomszerkezet intervallumaihoz képest (de nagy a Lamb-eltolódáshoz képest).

Megoldás. A mondott feltételek mellett az l=j±(1/2) perturbálatlan szintek kétszeres degenerációja megmarad, így a Stark-felhasadás lineáris az elektromos térben. Nagysága (Δ) a

|–Δ –E(dz)12 / –E(dz)12 –Δ|=0, Δ=±E|(dz)12|

szekuláris egyenletből határozható meg (az 1, 2 indexek az l=j±(1/2) állapotokat jelölik, adott m mágneses kvantumszám mellett; a V=–Edz perturbáció m szerint diagonális mátrix, l-ben diagonális mátrixeleme nincs). dz mátrixelemét a III. (29,7), III. (109,3) képletek segítségével számíthatjuk:

⟨j,l–1,m∣dz∣jlm⟩=(m/√(j(j+1)(2j+1)))⟨j,l–1∥d∥jl⟩,
⟨j,l–1∥d∥jl⟩=–(2j+1){l–1 j 1∕2 / jl 1}⟨l–1∥d∥l⟩,

l=j+(1/2); az ⟨l–1∥d∥l⟩ redukált mátrixelemet (52,6) adja meg. A végeredmény

Δ=±(3/4)√(n2–(j+(1/2))2)(nm/j(j+1))E.



[164] Ebben a szakaszban atomi egységeket használunk. A koordináták mátrixelemeinek a szokásos egységekben felírt kifejezéseit ℏ2∕me2-tel való szorzással kapjuk (ha hidrogénatomszerű, Z rendszámú ionról van szó, akkor a szorzótényező ℏ2∕mZe2).

[165] Az ottani jelöléseket használva a J2l+212(–n+l+1,–n′+l) integrált kell kiszámítani. Ezt az (f,12)–(f,16) képletek segítségével végezhetjük el.

[166] A hidrogénatomra vonatkozó átmeneti valószínűségek és mátrixelemek táblázatos formában megtalálhatók H. Bethe , E. Salpeter : Egy- és kételektronos atomok kvantummechanikája c. könyvében, M., 1960.

[167] Összegezni kell a diszkrét és a folytonos spektrum állapotaira egyaránt.

[168] A képletek és a megfelelő táblázatok H. Bethe , E. Salpeter már idézett könyvében megtalálhatók.