Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

49.§. Atomok sugárzása. Az elektromos típus

49.§. Atomok sugárzása. Az elektromos típus[152]

Az atomok külső (az optikai sugárzási átmenetekben részt vevő) elektronjainak energiája hozzávetőleges becslés szerint E∼me4∕ℏ2 nagyságrendű, így a kisugárzott hullámhossz λ∼ℏc∕E∼ℏ2∕(αme2). Az atom mérete a a∼ℏ2∕(me2). Az atomok optikai spektrumában tehát fennáll az a∕λ∼α≪1 egyenlőtlenség. A v∕c hányados is α nagyságrendű, ahol v az optikai elektronok sebessége.

Így az atomok optikai spektrumában érvényes a feltétel, mely szerint az elektromos dipólussugárzás valószínűsége (a kiválasztási szabály teljesülése esetén) lényegesen felülmúlja a multipólus-átmenetek valószínűségét.[153] Így érthető, hogy az atomspektroszkópiában a legfontosabb szerepet az elektromos dipólusátmenetek játsszák.

Mint már láttuk, ezek az átmenetek teljesítik az atom J teljes impulzusmomentumára és a P paritásra szigorúan érvényes kiválasztási szabályokat[154]

|J′–J|≦1≦J+J′, (49,1) PP′=–1. (49,2)

A |J′–J|≦1 egyenlőtlenség szerint a J impulzusmomentum változása 0,±1 lehet: a J+J′≧1 egyenlőtlenség megtiltja a 0→0 átmenetet. A kezdeti és végállapot paritása ellentétes kell, hogy legyen.[155]

Az nJM→n′J′M′átmenet közben létrejövő sugárzás valószínűségét az atom dipólusmomentumának mátrixeleme határozza meg:

5.84. egyenlet - (49,3)

w(nJMnJM)=4ω33c3|nJMdmnJM|2,


ω=ω(nJ→n′J′).

Ha (49,3)-ban (adott M mellett) M′=M–m egész értékeire összegezünk, megkapjuk az nJ atomi szint adott frekvenciájú sugárzásának teljes valószínűségét. Az összegezést (46,20) segítségével végezhetjük el:[156]

5.85. egyenlet - (49,4)

w(nJnJ)=4ω33c312J+1|nJdnJ|2.


Az itt fellépő redukált, mátrixelem abszolút értékének négyzetét néha az átmenet vonalerősségének hívják; ez a mennyiség a kezdeti és a végállapotra nézve szimmetrikus.

Az atomspektrum átmeneteinek valószínűségeiről további kijelentéseket csak úgy tehetünk, ha megadjuk az atom állapotának egyik vagy másik jellemzőjét. Nem foglalkozunk itt a mátrixelemek kiszámításának módszereivel, az alkalmazott közelítések elméletileg nem mindig megalapozottak. Csupán néhány összefüggést vezetünk le, melyek az állapotok elég széles osztályában érvényesek (különösen könnyű atomokban), ahol is a csatolás LS típusú (l. III. 72. §). Ezekben az állapotokban a teljes impulzusmomentum mellett az L pálya-impulzusmomentum és az S spin is meghatározott megmaradó értéket vesz fel.

Mivel a dipólusmomentum operátora tisztán pályamennyiség, ezért felcserélhető a spin operátorával, azaz mátrixa S szerint diagonális. Az L szerinti kiválasztási szabályok ugyanazok, mint amik tetszőleges spintől független vektorra érvényesek (l. III. 29. §). Így LS-csatolás esetén a következő kiegészítő kiválasztási szabályok is, érvényesek [(49,1)(49,2) mellett]:

S′–S=0, (49,5) |L′–L|≦1≦L+L′. (49,6)

Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy ezek a szabályok közelítő jellegűek, és nem teljesülnek, ha a spin–pálya kölcsönhatást is figyelembe vesszük.

Megjegyezzük, hogy a (49,5) szabály (amely különböző multiplicitású állapotok között tiltja meg az átmenetet) nemcsak dipólusátmenetre, hanem minden elektromos típusú átmenetre igaz: minden rendű elektromos multipólus-momentum spintől független tenzor, mátrixa a spin szerint diagonális. Így elektromos kvadrupólusátmenetre az általános

5.86. egyenlet - (49,7)

|JJ|2J+J,PP=1


szabályok mellett, LS-csatolás esetén az

5.87. egyenlet - (49,8)

SS=0,|LL|2L+L


kiválasztási szabályok is fennállnak.

A sugárzási valószínűség S, L, J′ függése egyszerűen meghatározható. Használhatjuk a szférikus tenzorok mátrixelemeire vonatkozó általános képleteket. III. (109,3) szerint:[157]

5.88. egyenlet - (49,9)

|nLSJdnLSJ|2=(2J+1)(2J+1)LJS2JL1|nLdnL|2.


Ezt (49,4)-be helyettesítve kapjuk, hogy

5.89. egyenlet - (49,10)

w(nLSJnLSJ)=4ω32c3(2J+1)LJSJL12|nLdnL|2,


ahol ω=ω(nLS→N′L′S).[158]

A valószínűségekre összegszabályokat írhatunk fel. A 6j-szimbólumok négyzetösszegére fennáll, hogy (l. III. (108,7)]

5.90. egyenlet - (49,11)

J(2J+1)LJSJL12=12L+1.


Ennek felhasználásával (49,10)-ből következik, hogy

5.91. egyenlet - (49,12)

Jw(nLSJnLSJ)=4ω32c312L+1|nLdnL|2.


Megjegyezzük, hogy e mennyiség értéke J-től független.

Olyan gázban, amelynek hőmérséklete jóval nagyobb, mint az atomi nSL szintek finomszerkezetében levő nívókülönbségek, a különböző J értékű állapotok populációja egyenletes, azaz minden J egyformán valószínű. Ebben az esetben annak valószínűsége, hogy az atom valamelyik meghatározott J értékű szinten van,

5.92. egyenlet - (49,13)

2J+1(2L+1)(2S+1),


azaz a szint statisztikus súlyának és az nSL term teljes statisztikus súlyának hányadosa. Ha a (49,10) vagy (49,12) kifejezést átlagolni akarjuk, akkor (49,13)-mal kell szorozni; az átlagolást felülvonással jelöljük. Egy spektrális multiplett összes vonalai kisugárzásának teljes valószínűsége (az nSL, n′SL′ termek finomszerkezeteinek komponensei között lehetséges összes átmenet) a következőösszeg:

5.93. egyenlet - (49,14)

w̄(nLSnLS)=JJw̄(nLSJnLSJ).


Mivel ∑J(2J+1)=(2S+1)(2L+1), ezért a teljes valószínűségre éppen a (49,12) kifejezést kapjuk. Így az egyes vonalak relatív valószínűsége (vagy ami ugyanaz, a relatív intenzitás)

5.94. egyenlet - (49,15)

w̄(nLSJnLSJ)w̄(nLSnLS)=(2J+1)(2J+1)(2S+1)LJSJL12.


Az összefüggést numerikusan vizsgálva megállapíthatjuk, hogy egy multipletten belül azoknak a vonalaknak az intenzitása a legnagyobb, amelyekre ΔJ=ΔL (ezeket hívják fő vonalaknak , a multiplett többi tagját szatelliteknek ). A fő vonalak intenzitása annál nagyobb, minél nagyobb J kezdeti értéke.

Ha (49,15)-öt J vagy J′ szerint összegezzük, kapjuk hogy

5.95. egyenlet - (49,16)

Jw̄(nLSJnLSJ)w̄(nLSnLS)=2J+1(2L+1)(2S+1),Jw̄(nLSJnLSJ)w̄(nLSnLS)=2J+1(2L+1)(2S+1).(49,16)


Ily módon egy spektrális multiplett olyan vonalainak összintenzitása, amelyekre a kezdeti (vagy a végső) szint ugyanaz, arányos a kezdeti (vagy végső) szint statisztikus súlyával.

Vizsgáljuk meg még az atom spektrális vonalainak hiperfinom szerkezetét . Emlékezzünk vissza, hogy az atomi szintek hiperfinom felhasadása az elektron és a mag–spin kölcsönhatásának következménye (l. III. 122. §). Az atom F teljes impulzusmomentuma (a magot is beleértve) az elektronok J és a mag I impulzusmomentumából tevődik össze. Az nJ szint hiperfinom szerkezetének komponenseit az F kvantumszám értéke jellemzi.

Az impulzusmomentum megmaradás szerint az F teljes impulzusmomentumra a következő szigorú kiválasztási szabály érvényes: elektromos dipólussugárzás esetén

5.96. egyenlet - (49,17)

|FF|1F+F.


Mivel az elektronnak a magspinnel való kölcsönhatása rendkívül gyenge, ez a megkötés az elektronhéj elektromos (és mágneses) momentumai mátrixelemeinek számításakor teljesen elhanyagolható. Ezért a J impulzusmomentumra és az elektronhéj paritására vonatkozó kiválasztási szabályok is érvényben maradnak. Nevezetesen, az utóbbi szerint egy term hiperfinom szerkezetéhez tartozó komponensek között elektromos dipólusátmenet nem lehetséges: e szintek paritása azonos, és mint láttuk, átmenet csak különböző paritásúállapotok között jöhet létre.

Mivel a dipólusmomentum operátora a magspinnel felcserélhető, a mátrixelemek I-től és F-től való függése explicit alakban írható; a levezetések csak jelölésben különböznek az LS-csatolásra korábban elvégzettektől. A sugárzási valószínűség , az F teljes impulzusmomentum vetületének végállapotbeli értékeire összegezve:

5.97. egyenlet - (49,18)

w(nJIFnJIF)=4ω33c312F+1|nJIFdnJIF|2,


ω=ω(nJ→n′J′),

ahol a redukált mátrixelem négyzete:

5.98. egyenlet - (49,19)

|nJIFdnJIF|2=(2F+1)(2F+1)JFIFJ12|nJdnJ|2.


Feladat

Az alkálifémek spektrumának legtöbb vonala leírható egy külső (optikai) elektron átmenetével a zárt konfigurációt alkotó atomi maradék önkonzisztens terében; a csatolás LS típusú. E feltevésekkel határozzuk meg a spektrumvonalak finomszerkezeti komponenseinek relatív intenzitását.

Megoldás. Az atom L teljes impulzusmomentuma és S=1∕2 spinje megegyezik az optikai elektron pálya-impulzusmomentumával és spinjével. Az állapot paritása ezért (–1)L (az atomi maradék zárt konfigurációjának paritása pozitív). A paritásra vonatkozó kiválasztási szabály tiltja az L′=L dipólusátmenetet, ezért csak L′–L=±1 átmenet lehetséges. Az nL és n′,L–1 dublettek komponensei közötti átmenetek a J-re vonatkozó kiválasztási szabály szerint három vonalat adnak (1. ábra).

1. ábra.

Relatív intenzitásuk (jelöljük a, b, c betűvel) egyszerűen meghatározható [(49,15)-öt nem használjuk közvetlenül] a (49,16) szabályból. Két egyenlőséget kapunk, ha a különböző kezdeti (vagy végső) állapotokra felírjuk az összegezett intenzitások hányadosát:

(b+c/a)=(2L/2L+2), (a+b/c)=(2L/2L–2),

innen

a:b:c=[(L+1)(2L–1)]:1:[(L–1)(2L+1)].

Ha L=1, az alsó szint nem hasad fel, c vonal nincs és a∕b=2.



[152] 49. §51. §53. §55. §-okban a szokásos egységeket használjuk.

[153] A dipólusátmenetek valószínűsége a spektrum optikai tartományában 108s–1 nagyságrendű.

[154] A kezdeti és végállapot kvantumszámait most vesszőtlen és vesszős betűkkel jelöljük. n és n′ fogja jelenteni a maradék kvantumszámok összességét (az expliciten kiírtakon kívül) a rendszer meghatározott állapotában.

[155] A paritásra érvényes kiválasztási szabályokat először O. Laporte állapította meg 1924-ben.

[156] A sugárzás megfigyelt intenzitását úgy kapjuk, hogy w-t megszorozzuk ℏω-val, és a forrás adott gerjesztett szinten levő atomjainak számával (NnJ). T hőmérsékletű gázban NnJ∝(2J+1)exp(–EnJ∕T); a (2J+1) szorzótényező a J impulzusmomentumú szint statisztikus súlya.

[157] A III. 109. § képleteiben az „1 és 2 alrendszerek impulzusmomentumai” helyébe az atom pálya-impulzusmomentumát és spinjét kell helyettesíteni; a kettő közötti kölcsönhatást elhanyagoljuk. Az f1q(1) mennyiség szerepét a dq vektor játssza.

[158] A mátrixelemek kiszámítása során elhanyagolva a spin–pálya kölcsönhatást, egyúttal elhanyagoljuk a frekvencia függését J-től és J′-től, azaz a kezdeti és a végső atomi szintek finomszerkezetétől.