Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

48.§. A sugárzás szögeloszlása és polarizációja

48.§. A sugárzás szögeloszlása és polarizációja

46. § és 47. §-okban levezetett összefüggések arra az esetre vonatkoztak, amikor a kisugárzott foton j impulzusmomentuma és annak m vetülete meghatározott értéket vesznek fel. Ennek megfelelően feltevés volt az is, hogy a sugárzó rendszernek (például atommagnak) nemcsak J impulzusmomentuma, hanem polarizációja, azaz M értéke is meghatározott a sugárzás előtt és után.

Vizsgáljuk most az általánosabb esetet, a részlegesen polarizált mag sugárzását (a mag méreteit a hullámhosszhoz képest kicsinek tételezzük fel ugyanúgy, mint korábban). A kisugárzott foton j impulzusmomentuma legyen most is adott, polarizációja azonban csak részleges. Azt keressük, hogyan függ az emisszió valószínűsége a foton n irányától. Ezt a mag és a foton polarizációs állapotait leíró sűrűségmátrixokkal lehet kifejezni.

Előkészítésképpen felírjuk az emisszió valószínűségét, mint a foton n irányának és λ helicitásának (λ=±1) függvényét arra az esetre, amikor a mag kezdeti és végállapotában JiMi és JfMf meghatározott értékek.

Adott j és m értékekkel rendelkező foton emisszióját leíró mátrixelem a mag 2j (elektromos vagy mágneses) multipólus-momentumának mátrixelemével arányos:

5.65. egyenlet - (48,1)

JfMf;jmVJiMi(1)mJfMfQj,mJiMi.


A kibocsátott foton hullámfüggvénye (impulzusreprezentációban) Yjm(e)(n)-nel vagy Yjm(m)(n)-nel arányos. Az n impulzusirányúés λ helicitású foton hullámfüggvénye csak arányossági tényezőként tartalmazza az e(λ) polarizációs vektort. Az nλ-val adott foton emissziójának mátrixelemét (48,1)-bőlúgy kapjuk, hogy azt megszorozzuk a |jm⟩állapot hullámfüggvényének az|nλ⟩állapot hullámfüggvényére való vetületével:

⟨JfMf;nλ∣V∣JiMi⟩∝(–1)m⟨JfMf∣Qj,–m∣JiMi⟩(e(λ)∗Yjm).

(16,23) szerint mindkét típusú fotonra

5.66. egyenlet - (48,2)

e(λ)Yjm(n)Dλm(j)(n).


A multipólus-momentum mátrixelemét a szokásos módon a redukált mátrixelemmel fejezzük ki. Így az átmenet valószínűségi amplitúdójára a

5.67. egyenlet - (48,3)

JfMf;nλVJiMi(1)JfMf+mJfjJiMfmMiQDλm(j)(n)


alakot kapjuk, ahol Q a ⟨Jf∥Q∥Ji⟩ redukált mátrixelemet jelöli.

Most áttérhetünk az általános esetre, amikor a polarizációs állapot kevert. A kvantummechanika általános szabályai szerint az átmeneti valószínűség a következő kifejezéssel arányos:[148]

∑(m)⟨JfMf;nλ∣V∣JiMi⟩⟨JfMf′;nλ′∣V∣JiMi′⟩∗×

5.68. egyenlet - (48,4)

×Miϱ(i)MiMfϱ(f)Mfλϱ(γ)λ,


itt ϱ(i), ϱ(f), ϱ(γ) a mag kezdeti állapotának, végállapotának és a kisugárzott fotonnak a sűrűségmátrixa; az (m) szimbólum azt jelenti, hogy összegezni kell minden kétszer előfordulóm indexre (MiMi′MfMf′λλ′). A (48,4)-be (48,3)-at kell behelyettesíteni.

Jelöljük a foton dΩ térszögbe való kisugárzásának valószínűségét w(n) dΩ-val. A teljes valószínűség, irány szerint, ill. a foton és a végállapotbeli mag polarizációjára összegezve, nyilvánvalóan nem függ a mag kezdeti polarizációs állapotától. Ez a már ismert képletekkel kifejezhető; számunkra ez most nem érdekes. Tegyük fel ezért, hogy a w(n) valószínűség 1-re normált. így adódik, hogy[149]

w(n)=((2j+1)(2Ji+1)/8π)∑(m)(–1)2Ji–M–i–Mi′Dλm(j)Dλ′m′(j)∗×
×(JfjJi / –Mf –mMi)(JfjJi / –Mf′ –m′Mi′)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩×
×⟨Mf∣ϱ(f)∣Mf⟩⟨λ′∣ϱ(γ)∣λ⟩

(a normálás helyességéről alább meggyőződünk). A két D-függvény szorzatának sorba fejtett alakja [III. (110,2)] szerint a következő:

Dλm(j)Dλ′m′(j)∗=(–1)λ′+m′Dλm(j)D–λ′–m′(j)=
(–1)λ+m∑L(2L+1)(jjL / λ –λ′ –Λ)(jjL / m –m′ –μ)DΛμ(L)

(Λ=λ–λ′, μ=m–m′, L egész szám, L≧2j). A végső eredmény:

w(n)=((2j+1)(2Ji+1)/8π)∑L∑(m)(–1)2Ji–Mi–Mi′+m+1(2L+1)×
×(jjL / λ –λ′ –Λ)(jjL / m –m′ –μ)(JfjJi / –Mf –mMi)(JfjJi / –Mf′ –m′ –Mi′)×

5.69. egyenlet - (48,5)

×DΛμ(L)(n)Miϱ(i)MiMfϱ(f)Mfλϱ(γ)λ.


∑(m) ismét összegezést jelent minden (kétszer előforduló) m indexre. Nem szabad elfelejteni, hogy a λ, λ′ indexek különböznek a többi m indextől: nem 2j+1 lehetséges értékre összegezünk (adott j mellett), hanem csupán kétértékre: λ, λ′=±1, a foton két polarizációs állapotának megfelelően.

(48,5) tartalmaz minden szükséges információt a kisugárzott fotonok szögeloszlásáról , a foton és a másodlagos mag polarizációjáról. Természetesen feltételeztük, hogy a kezdeti sűrűségmátrixok ismertek.

Szögeloszlás

A fotonok szögeloszlását úgy kaphatjuk meg, hogy összegezünk a foton és a végállapotbeli mag polarizációjára. A polarizációra úgy átlagolunk, hogy a polarizálatlan állapot sűrűségmátrixát helyettesítjük be:

5.70. egyenlet - (48,6)

λϱ(γ)λ=12δλλ,Mfϱ(f)Mf=12Jf+1δMfMf,


az összegezés 2-vel való szorzást jelent a foton, (2Jf+1)-gyel való szorzást a mag esetében. Más szóval az összegezésnek a

5.71. egyenlet - (48,7)

λϱ(γ)λδλλ,Mfϱ(f)MfδMfMf


helyettesítés felel meg. Így a szögeloszlás

w̄(n)=((2j+1)(2Ji+1)/8π)∑L∑(m)(–1)m′+1(2L+1)D0μ(L)(n)×
×(jjL / λ –λ 0)(jjL / m –m′ –μ)(JfjJi / –Mf –mMi)×
×(JfjJi / –Mf –m′Mi′)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩.

Az m indexekre való összegezés lényegesen egyszerűsíti a fenti alakot. Felhasználjuk, hogy

5.72. egyenlet - (48,8)

jjLλλ0=(1)LjjLλλ0,


és így

∑λ=±1(jjL / λ –λ 0)={2(jjL / 1 –1 0), haLpáros, / 0, haLpáratlan.

Az L szerinti összegben így csak a páros tagok maradnak meg, csak a páros rendű (D0μ(L)) gömbfüggvények jönnek be. Ez az eredmény előre látható: a paritás megmaradása miatt az átmeneti valószínűségnek tükrözéssel, azaz az n→–n helyettesítésel szemben invariánsnak kell lennie.

Ily módon

w̄(n)=((2j+1)(2Ji+1)/4π)∑L(2L+1)(jjL / 1 –1 0)D0μ(L)(n)∑(m)(–1)m′+1×
×(jjL / m –m′ –μ)(JfjJi / –Mf –mMi)(JfjJi / –Mf –m′Mi′)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩.

Megjegyezzük, hogy a normáltságot most könnyű igazolni: az

∫D0μ(L)(n)(dΩ/4π)=δL0δμ0

összefüggés értelmében, az integrálás után csak az L=μ=0 tag marad meg; a

(jj 0 / m –m 0)=(–1)j–m(1/√(2j+1)),
∑Mfm(JfjJi / –Mf –mMi)2=(1/2Ji+1), Spϱ(i)=1

összefüggések segítségével meggyőződhetünk arról, hogy ez a tag 1.

Az mm′Mf szerinti összegezést w̄(n) belső összegében a III. (108,4) képlet segítségével végezhetjük el. A következő eredményt kapjuk:

w̄(n)=(–1)1+Ji+Jf((2j+1)√(2Ji+1)/4π)×

5.73. egyenlet - (48,9)

×Lpáros(i)L2L+1jjL110JiJiLjjJfμ𝒫Lμ(i)D0μ(L)(n),


ahol

Lμ(i)=iL√((2L+1)(2Ji+1))∑MiMi′(–1)ji–Mi′(JiLJi / –Mi′μMi)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩,

5.74. egyenlet - (48,10)

𝒫Lμ(i)=(1)Lμ𝒫L,μ(i).


(48,9)-ben a második összegezés a |μ|≦Lértékekre megy, az első minden párosL-re, melyre igaz, hogy

5.75. egyenlet - (48,11)

L2j,L2Ji


(ezek éppen azok a háromszög-egyenlőtlenségek, melyeket a (48,9)(48,10) alakúösszefüggések 3j-szimbólumaiban előfordulój indexeknek teljesíteniük kell.) Ezért az összegekben a tagok száma általában nem nagy. Ha példáulJi=0 vagy 1∕2, akkor csupán az L=0 tag marad meg, ami azt jelenti, hogy a sugárzás izotrop (könnyen kiszámítható, hogy az L=0 tag 1∕4, ami a normáltságból is következik). Ha Ji=1, 3∕2 vagy j=1, az L szerintiösszegben az L=0és L=2 tagok maradnak meg. Megjegyezzük még, hogy ha a ϱ(i) sűrűségmátrix diagonális (Mi=Mi′), akkor μ=0, és a (48,9) eloszlásfüggvény Legendre-polinomok szerint fejthető ki [(16,5)és III. (58,23) szerint a D00(L) függvények a PL(cos) függvényekre vezetnek]. Végül, ha

⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩=(1/2Ji+1)δMiMi′,

azaz a kezdeti mag polarizálatlan, akkor 00(i)=1, minden más Lμ(i)=0.[150]

A Lμ mennyiségeket, amelyek a mag polarizációs állapotára jellemzőek, polarizációs momentumoknak hívjuk. A (48,10) összefüggés megadja, hogyan fejezhetők ki a ϱMM′ sűrűségmátrixszal. A fordított irányú összefüggések könnyen meghatározhatók:

5.76. egyenlet - (48,12)

ϱMM=Lμ2L+12J+1iL(1)JMJLJMμM𝒫Lμ.


Legyen fLμ valamilyen szférikus tenzor, amely a mag polarizációs állapotától függ . Középértékét az általános szabályok szerint [l. III. (14,8)] fejezhetjük ki a ϱMM′ sűrűségmátrixszal:

5.77. egyenlet - (48,13)

f̄Lμ=MMϱMMJMfLμJM.


f L μ mátrixelemét a ⟨J∥fL∥J⟩ redukált mátrixelemmel fejezhetjük ki:

⟨J?′∣fLμ∣JM⟩=iL(–1)J–M′(JLJ / –M′μM)⟨J∥fL∥J⟩,

és a polarizációs momentumok (48,10) definícióját használva kapjuk, hogy

5.78. egyenlet - (48,14)

f̄Lμ=JfLJ(2L+1)(2J+1)𝒫Lμ.


A foton polarizációja

Ha a ϱ(γ) és ϱ(f) mátrixok (ϱ(i)-vel együtt) adottak, akkor (48,5) megadja azt az átmeneti valószínűséget, amikor meghatározott polarizációjú foton kibocsátása után a mag meghatározott polarizációs állapotban marad. Ezek az állapotok valójában nem magára a sugárzási folyamatra jellemzőek, hanem a foton és a visszalökött magot regisztráló detektorokra, ezek választják ki a meghatározott polarizációkat. Természetesebb a kérdés másfajta feltevése: a mag + foton rendszer végállapotát nem rögzítjük, és pusztán a kisugárzott foton irányát rögzítve határozzuk meg az állapot polarizációs sűrűségmátrixát .

A választ ismét a (48,5) képlet adja meg. Ezt

5.79. egyenlet - (48,15)

w=w̄(n)(m)Mf;nλϱMf;nλλϱ(γ)λMfϱ(f)Mf


alakban felírva, az ⟨Mf;nλ∣ϱ∣Mf′;nλ′⟩ kifejezés éppen a keresett sűrűségmátrix, minthogy a kvantummechanika általános szabályai szerint az adottállapotba valówátmeneti valószínűséget ennek az ismert ϱ(γ)ϱ(f)-re való„vetülete” adja meg. A w̄(n) tényezőt azért választottuk le (48,15)-ben, hogy a normálás a szokásos legyen:

∑λMf⟨Mf;nλ∣ϱ∣Mf;nλ⟩=1.

Ha csak a foton polarizációjára vagyunk kíváncsiak, akkor Mf=Mf′-re összegezni kell:

⟨nλ∣ϱ∣nλ′⟩=∑Mf⟨Mf;nλ∣ϱ∣Mf;nλ′⟩.

(48,9)-hez hasonlóan

⟨nλ∣ϱ∣nλ′⟩=(–1)1+Ji+Jf((2j+1)√(2Ji+1)/2πw̄(n))×

5.80. egyenlet - (48,16)

×L(i)L2L+1jjLλλΛJiJiLjjJfμ𝒫Lμ(i)DΛμ(L)(n)


(Λ=λ′–λ), összegezni kell L-nek azokra az egész értékeire, amelyek (48,11)-et kielégítik.

Speciálisan a cirkuláris polarizációt a

ξ2=⟨n1∣ϱ∣n1⟩–⟨n,–1∣ϱ∣n,–1⟩

Stokes-paraméter határozza meg (lásd a  8. § feladatát). (48,8) értelmében ebből a különbségből a páros L-et tartalmazó tagok kiesnek, a (48,9) kifejezéstől csak annyiban különbözik, hogy az összegezést L páratlan értékeire kell végezni.

A visszalökött mag polarizációja

Ha csak a végállapotbeli mag polarizációja iránt érdeklődünk, akkor a ϱ(γ)→δ helyettesítést kell végeznünk. Ha emellett még a foton irányára is integrálunk, megkapjuk a mag polarizációs mátrixát:

⟨Mf∣ϱ∣Mf′⟩=∫w̄(n)⟨Mfn∣ϱ∣Mf′n⟩ dΩ=
=(2Ji+1)∑mMiMi′(–1)2Ji–Mi–Mi′(JfjJi / –Mf –mMi)×
×(JfjJi / –Mf′ –mMi′)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′∣⟩.

Ennek segítségével a mag polarizációs momentumai a következők:

5.81. egyenlet - (48,17)

𝒫Lμ(f)=(1)Ji+Jf+L+j(2Ji+1)(2Jf+1)JiJiLJfJfj𝒫Lμ(i).


Ha a kezdeti mag polarizálatlan, akkor a visszalökött mag is az marad. Fellép azonban egy ún. korrelációs polarizáció, ha a sugárzás adott irányú. A ϱ(i)→δ∕(2Ji+1) (ennek megfelelően w̄(n)=1∕4π) helyettesítést elvégezve, (48,9)-hez hasonló módon kapjuk az ezt a polarizációt leíró sűrűségmátrixot:

⟨Mf;n∣ϱ∣Mf′;n⟩=
=(2j+1)(–1)Ji+Mf′+1∑Lpáros(2L+1)(jjL / 1 –1 0)(JfLJf / –Mf′μMf)×

5.82. egyenlet - (48,18)

×JfJfLjjJiD0μ(L)(n).


Az ennek megfelelő polarizációs momentumok

Lμ(f)=iL(–1)1+Ji+Jf(2j+1)√((2L+1)(2Jf+1))×

5.83. egyenlet - (48,19)

×jjL110JfJfLjjJiD0μ(L)(n).


Csak a páros rendű momentumok jönnek be (ez is a paritásmegmaradás következménye).

Ha a visszalökött mag tovább sugároz, akkor polarizált lévén, a kisugárzott fotonok eloszlása anizotrop. Mivel a (48,19) polarizációs momentumok az először kibocsátott foton n irányának függvényei, így az egymás után kisugárzott fotonok iránya között meghatározott korreláció lesz (ha a kezdeti mag polarizálatlan). Hasonló módon más korrelációs jelenségek is vizsgálhatók ilyen kaszkád folyamatokban (pl. a polarizációk közötti korreláció).[151]

Feladat

Fejezzük ki a 1μ, 2μ polarizációs momentumokat a J impulzusmomentum-vektor és a Qik kvadrupólusmomentum-tenzor várható értékének segítségével.

Megoldás. A J vektor és Qik tenzor redukált mátrixelemeit a

J̄2=(⟨J∥J∥J⟩2/2J+1), Q̄ik2=(⟨J∥Q∥J⟩2/2J+1)

egyenlőségek határozzák meg [l. III. (107,10), (107,11)]. A Qik operátor az impulzusmomentum operátorával III. (75,2) szerint fejezhető ki:

Qik=(3Q/2J(2J–1))(JiJk+JkJi–(2/3)J2δik).

Ebből az átlagérték:

Q̄ik2=(3Q2/2J2(2J–1)2)J̄2(4J̄2–3)=Q2(3(2J+1)(J+1)(2J+3)/2J(2J–1)).

A redukált mátrixelemek:

⟨J∥J∥J⟩=√(J(J+1)(2J+1)),
⟨J∥Q∥J⟩=Q√((3(2J+1)(J+1)(2J+3)/2J(2J–1))).

(48,14) kifejezésből látható, hogy a 1μ polarizációs momentum a

√((3/J(J+1)))J̄

vektor, 2μ pedig a

√((10J(2J–1)/3(J+1)(λJ+3)))(Q̄ik/Q)

tenzor szférikus komponenseivel egyezik meg.



[148] Ha a rendszer és végállapota szuperponált, ψ(i)=∑nanψn(i), ψ(f)=∑mbmψm(f), akkor a mátrixelem ⟨f∣V∣i⟩=∑mnbm∗anVmn, és négyzete |⟨f∣V∣i⟩|2=∑nn′mm′VmnVm′n′∗anan′∗bm′bm∗. Az anan′∗→ϱnn′(i), bm′bm∗→ϱm′m(f)helyettesítéssel térünk át kevert állapotokra, ekkor |⟨f∣V∣i⟩|2→∑nn′mm′VmnVm′n′∗ϱnn′(i)ϱm′m(f).

[149] Az előjelszorzó átalakításakor felhasználtuk, hogy 2Ji, 2Jf, 2Mi, 2Mf azonos párosságúak, j és m egész számok, λ=±1.

[150] Valóban, felhasználva, hogy (J 0 J / –M′ 0 M)=(–1)J–M(1/√(2J+1))δMM′, kapjuk, hogy ∑MM′(–1)J–M′(JLJ / –M′μM)δMM′=√(2J+1)∑MM′(JLJ / –M′μM)(J 0 J / –M′ 0 M)=√(2J+1)δL0δμ0, amiből a (48,10) definíció alapján kapható a végeredmény.

[151] E kérdéseket részletesen vizsgálja A. Z. Dolginova tanulmánya a Gamma-sugárzások c. könyvben (AN SZSZSZR, 1961).