Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

47.§. A mágneses multipólus-sugárzás

47.§. A mágneses multipólus-sugárzás

A mágneses típusú foton hullámfüggvényeAμ=(0,A), ahol A-t a (7,6) képlet adja meg. Ezt (46,1)-be helyettesítve, kapjuk az átmeneti mátrixelemet:

5.56. egyenlet - (47,1)

Vfi=eω2πd3xjfi(r)dΩneikrYjm(m)(n).


Az Yjm(m) vektor komponensei (7,16) szerint a j-edrendű gömbfüggvényekkel fejezhetők ki. Ismét felhasználjuk a (46,3) kifejtést; ezzel a belső integrál:

∫e–ikrYjm(m)∗(n)dΩn=4πi–jgj(kr)Yjm(m)∗((r/r)),

majd gj-t (46,5)-ből behelyettesítve azt kapjuk, hogy[147]

Vfi=ei–j(2ωj+(1/2)/(2j+1)!!)∫jfi(r)rjYjm(m)∗((r/r))d3x.

(7,4) szerint

Yjm(m)((r/r))=(1/√(j(j+1)))(r×∇Yjm).

Az integrandust átalakítjuk:

rjjfi(r×∇Yjm∗)=–(r×jfi)∇(rjYjm∗),

ezzel

5.57. egyenlet - (47,2)

Vfi=(1)mij(2j+1)(j+1)πjωj+12(2j+1)!!e(Qj,m(m))fi.


ahol

5.58. egyenlet - (47,3)

(Qjm(m))fi=1j+14π2j+1(r×jfi)(rjYjm)d3x.


Az utóbbit hívjuk a rendszer átmeneti 2j mágneses multipólus-momentumának .

Tekintettel a (47,2) és (46,6) összefüggések hasonlóságára, a sugárzási valószínűség (46,10)-től csupán annyiban különbözik, hogy az elektromos multipólus-momentumot mágnesessel kell helyettesíteni. A szögeloszlást (46,12) adja meg [ez már (7,11)-ből is látható].

Vizsgáljuk a (47,3) kifejezés szerkezetét j=1-re. Ez esetben:

√((4π/3))rY10=iz, √((4π/3))rY1,±1=∓(i/√2)(x±iy),

gradienseik pedig a (7,14)-beli e(0), e(±1) gömbi bázisvektorok . Ezért az e(Q1m(m))fi mennyiségek éppen a

5.59. egyenlet - (47,4)

μfi=e2r×jfid3x


vektor szférikus komponensei. μfi szerkezetileg a klasszikus mágneses momentummal analóg (l. II. 44.§). A következőkben megvizsgáljuk (47,4)-nek és a mágneses momentum operátora ismert nemrelativisztikus alakjának kapcsolatát.

Az átmeneti áram nemrelativisztikus alakja (l. III. 115. §):

5.60. egyenlet - (47,5)

jfi=i2m(ψfψiψiψf)+μesrot(ψfsψi),


ahol μés s a részecske mágneses momentuma és spinje. Így

μ=–(ie/4m)∫ψf∗(r×∇)ψid3x+

5.61. egyenlet - (47,6)

+ie4mψi(r×)ψfd3x+μ2sr× rot(ψfsψi)d3x.


A második tagban

∫ψi(r×∇)ψf∗d3x=–∫ψf∗(r×∇)ψid3x+∫rot(rψf∗ψi) d3x.

Az utóbbi integrál végtelen távoli felületen vett felületi integrállá alakítható át, és eltűnik. Ezért (47,6) első két tagja azonos. A harmadik tagban szereplő integrált átalakítjuk (átmenetileg az F=ψf∗sψi jelölést vezetjük be):

∫r×(∇×F)d3x=∮r×(df×F)–∫(F×∇)×rd3x.

A felületi integrál eltűnik, a második tagban az integrandus (F×∇)×r=–Fdivr+F=–2F. Így

∫(r×rotF)d3x=2∫Fd3x.

Ezzel a végeredmény:

5.62. egyenlet - (47,7)

μfi=ψfe2mL+μssψid3x,


ahol L=–i(r×∇) a részecske pálya-impulzusmomentumának operátora. Látható, hogy μfi a

5.63. egyenlet - (47,8)

μ=e2mL+μss


operátor mátrixeleme.

A mágneses multipólus-sugárzás kiválasztási szabályai hasonlóak, mint az elektromos esetben: a teljes impulzusmomentumra a (46,15), (46,16) feltételek érvényesek, a paritásra pedig

5.64. egyenlet - (47,9)

PiPf=(1)j+1,


amit úgy kaphatunk meg, hogy (46,17)-be az Mj-foton Pφ=(–1)j+1 paritását helyettesítjük.



[147] Ne tévesszük össze a j áramot a j impulzusmomentummal!