Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

46.. Az elektromos multipólus-sugárzás

46.. Az elektromos multipólus-sugárzás

A továbbiakban adott irányú (tehát adott impulzusú) foton kisugárzása helyett azt az esetet vizsgáljuk, amikor a kisugárzott foton j impulzusmomentuma és annak valamilyen kiválasztott z tengelyre való m vetülete vesz fel meghatározott értéket. A  6. §-ban láttuk, hogy az ilyen fotonok elektromos vagy mágneses típusúak lehetnek; először az elektromos típusúakkal foglalkozunk. A sugárzó rendszer méreteit ismét kicsinek tekintjük a hullámhosszhoz képest.

A számítás során előnyös, ha a foton hullámfüggvényének impulzusreprezentáció-beli alakját használjuk, tehát az Aμ(r) négyesvektort Fourier-integrálként állítjuk elő. A mátrixelem ekkor

5.36. egyenlet - (46,1)

Vfi=ejfiμ(r)Aμ(r)d3x=ed3xjfiμ(r)d3k(2π)3Aμ(k)eikr


(az írásmód egyszerűsítése érdekében a foton hullámfüggvényéből elhagytuk az ωjm indexeket).

Az Ej-foton hullámfüggvényét (7,10)-ből vesszük, a C tetszőleges állandót a következőképpen választjuk:

C=–√((j+1/j)).

Ennek az a célja, hogy a hullámfüggvény térszerű komponenseiben a (j–1)-edrendű gömbfüggvényeket tartalmazó tagok eltűnjenek [ez (7,16)-ból látszik]. Így A-ban csak (j+1)-edrendű gömbfüggvények maradnak, ezek járuléka Vfi-hez (amint az a továbbiakból látható) egy nagyságrenddel kisebb (a∕λ magasabb hatványát tartalmazza), mint az A0≡Φ komponensből adódó járulék, mivel A0 alacsonyabb, j-edrendű gömbfüggvényeket tartalmaz. Tehát feltesszük, hogy

Aμ=(Φ,0), Φ=–√((j+1/j))(4π2/ω3∕2)δ(|k|–ω)Yjm(n)

(n=k∕ω). Ezt (46,1)-be helyettesítve és a d|k| szerinti integrálást elvégezve kapjuk,

5.37. egyenlet - (46,2)

Vfi=ej+1jω2πd3xϱfi(r)dΩneikrYjm(n).


A belső integrál kiszámításához (24,12)-t használjuk a következő alakban:

5.38. egyenlet - (46,3)

eikr=4πl=0m=llilgl(kr)YlmkkYlmrr,


ahol[142]

5.39. egyenlet - (46,4)

gl(kr)=π2krJl+12(kr).


(46,2)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy

∫e–ikrYjm∗(n)dΩn=4πi–jgj(kr)Yjm∗((r/r))

(a többi tag a gömbfüggvények ortogonalitása miatt eltűnik). Az a∕λ≪1 feltevés, következtében a d3x integrálban csak az a tartomány jelentős, amelyre ke≪1. Ezért a gj(kr) függvényt kr szerinti sorának első tagjával lehet helyettesíteni:[143]

5.40. egyenlet - (46,5)

gj(kr)(kr)j(2j+1)!!.


A végeredmény:

5.41. egyenlet - (46,6)

Vfi=(1)m+1ij(2j+1)(j+1)πjωj+12(2j+1)!!e(Qj,m(e))fi,


ahol

5.42. egyenlet - (46,7)

(Qjm(e))fi=4π2j+1ϱfi(r)rjYjmrrd3x


[Yj,–m=(–1)j–mYjm∗]. Ezt a megfelelő klasszikus mennyiség analógiájára (l. II. 41. §) a rendszer átmeneti elektromos multipólus-momentumának hívják.[144]

Külső térben mozgó elektronra ϱfi=ψf∗ψi, és ekkor (46,7) a

Qjm(e)=√((4π/2j+1))rjYjm

klasszikus mennyiség mátrixelemeként számítható.

Ha a részecskék sebessége nemrelativisztikus, az átmeneti momentum elvileg hasonló módon számítható N egymással kölcsönható részecske tetszőleges rendszerére. Az átmeneti sűrűség a hullámfüggvény segítségével a

5.43. egyenlet - (46,8)

ϱfi(r)=ψj(r1,,rN)ψi(r1,,rN)n=1Nδ(rrn)d3x1d3xN


alakban írható, ahol az integrálás a teljes konfigurációs térre kiterjed.[145]

A foton hullámfüggvénye az ω-skálán (δ-függvényre normált (koordinátareprezentációban), ahogy azt (44,2) levezetésekor feltételeztük. Behelyettesítve az utóbbiba (46,6)-ot, megkapjuk az Ej-sugárzás valószínűségét[146]

5.44. egyenlet - (46,9)

wjm(e)=2(2j+1)(j+1)j[(2j+1)!!]2ω2j+1e2|(Qj,m(e))fi|2.


A j=1 esetben

5.45. egyenlet - (46,10)

w1m(e)=4ω33e2|(Q1,m(e))fi|2.


Q1m(e) az elektromos dipólusmomentum vektorkomponenseivel a következőképpen függ rössze:

5.46. egyenlet - (46,11)

eQ10(e)=idz,eQ1,±1(e)=i2(dx±idy).


Ha (46,10)-ben m lehetséges értékeire összegzünk, a már ismert (45,7) képlethez jutunk, amely megadja a dipólussugárzás teljes valószínűségét.

A multipólus-sugárzás összegeloszlását (7,11) határozza meg. Ha ezt a sugárzás teljes valószínűségére, wjm-re normáljuk, akkor azt kapjuk, hogy

5.47. egyenlet - (46,12)

dwjm=|Yjm(e)(n)|2wjmdΩ=wjmj(j+1)|nYjm|2dΩ.


A j=1 esetben

Y10=i√((3/4π))cos, Y1,±1=∓i√((3/8π))sin⋅e±iφ,

ahol és φ az n iránynak a z tengelyhez viszonyított polár- és azimutszöge. A gradienst kiszámítva, a dipólussugárzás szögeloszlására adott m mellett a következő képleteket kapjuk:

5.48. egyenlet - (46,13)

dw10=w1038πsin2𝜃dΩ,sw1±1=w1,±138π1+ cos2𝜃2dΩ.


Ezeket természetesen (45,6)-ból is megkaphattuk volna, abba egyszer (m=0 esetben):dx=dy=0, dz=dértékeket, másszor (m=±1 esetben): dy=∓idx=d∕√2,dz=0értékeket helyettesítve.

Ha a rendszer (atom vagy atommag) méretének nagyságrendje a, akkor az elektromos multipólusmomentum nagyságrendje általában Qjm(e)∼aj. A multipólussugárzás valószínűsége

5.49. egyenlet - (46,14)

wjm(e)αk(ka)2j.


Látható, hogy ha j 1-gyel nő, akkor a sugárzás valószínűsége ∼(ka)2 szorzótényezővel csökken.

Az impulzusmomentum és a paritás megmaradása kiválasztási szabályokhoz vezet, ezek korlátozzák a sugárzó rendszer állapotának lehetséges változásait. Ha a rendszer impulzusmomentuma kezdetben Ji, akkor j impulzusmomentumú foton kisugárzása után csak olyan Jf impulzusmomentuma lehet, amit az összeadási szabály (Ji–Jf=j) megenged:

5.50. egyenlet - (46,15)

|JiJf|jJi+Jf.


Ha Ji és Jf adottak, akkor a fenti szabály meghatározza a foton lehetséges j impulzusmomentumát. Mivel azonban a sugárzás valószínűsége j növekedésével gyorsan csökken, általában a lehetséges legkisebb rendű multipólus-sugárzás megy végbe.

A Ji és Jf impulzusmomentumok Mi és Mf vetülete, valamint a foton impulzusmomentumának m vetületei nyilvánvalóan kielégítik az (impulzusrnoinentum összeadási szabályából következő)

5.51. egyenlet - (46,16)

MiMf=m


összefüggést.

A sugárzó rendszer kezdeti és végállapota Pi és Pf paritásainak teljesíteniük kell a PfPΦ=Pi feltételt, ahol PΦ a kisugárzott foton paritása; mivel a paritás csupán a ±1 értéket veheti fel, ezért a feltételt a

5.52. egyenlet - (46,17)

PiPf=PΦ


alakban is felírhatjuk. Elektromos típusú fotonra PΦ=(–1)j, ezért a kiválasztási szabály elektromos multipólus-sugárzásra:

5.53. egyenlet - (46,18)

PiPf=(1)j.


A teljes impulzusmomentum és a paritás megmaradásából adódó kiválasztási szabályok teljesen általánosak, tetszőleges rendszer sugárzására teljesülnek. Ezek mellett más, erősebb megszorításokat követelő, a konkrét sugárzó rendszer tulajdonságaival összefüggő szabályok lehetnek érvényesek. Ezek elkerülhetetlenül többé vagy kevésbé közelítő jellegűek: a fejezet további szakaszaiban foglalkozunk velük.

Hogy az emisszió valószínűsége hogyan függ az m, Mi, Mf kvantumszámoktól, azt a multipólus-momentum tenzorjellege teljesen meghatározza. Adott j mellett a Qjm mennyiségek j-edrendű tenzort alkotnak. Mátrixelemeiknek az említett kvantumszámoktól való függését a következő összefüggés adja meg:

5.54. egyenlet - (46,19)

|nfJfMfQj,mniJiMi|2JfjJiMfmMi2|nfJfQjniJi|2


[l. III. (107,6)], ahol n jelenti a rendszer állapotának többi kvantumszámait együttesen. A (46,19) egyenlőség jobb oldalán álló redukált mátrixelem nem függ az m, Mi, Mf számoktól. (46,9)-be helyettesítve látható, hogy az átmeneti valószínűség a

(JfjJi / Mfm –Mi)2

tényezőn keresztül függ az említett kvantumszámoktól (természetesen hallgatólagosan feltettük, hogy nincs külső tér; ekkor az, ω átmeneti frekvencia nem függ Mi-től és Mf-től).

Adott frekvenciájú foton emissziójának teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy (adott Mi mellett) Mf összes értékére összegezünk. A tér izotropiája miatt eleve nyilvánvaló, hogy ez a mennyiség az Mi kezdeti értékétől sem függ. Az összegezés a

5.55. egyenlet - (46,20)

Mf|nfJfMfQj,mniJiMi|2=12Ji+1|nfJfQjniJi|2


összefüggés segítségével végezhető el [l. III. (107,11)].



[142] A gl(kr) függvény csak a kr szorzattól függ, így azonnal látható, hogy (46,3) a k és r vektorokban szimmetrikus. Ezért mindegy, hogy a két gömbfüggvény közül melyiknek vesszük a konjugáltját. A gl függvényt ügy normálják, hogy kr→∞ esetben aszimptotikus alakja a következő: gl(kr)≈(sin(kr–(πl/2))/kr). (46,4a)

[143] kr kitevője éppen az Yjm gömbfüggvény rendje. Jogos volt tehát A térkomponenseinek elhagyása, mivel ezek magasabb rendű gömbfüggvényeket tartalmaznak.

[144] A multipólus-momentumot az e szorzótényező nélkül definiáltuk ugyanúgy, ahogyan az áramokat.

[145] A feltevésnek, mely szerint a részecskék sebessége kicsi, nincs elvi jelentősége; haszna abban áll, hogy a rendszer hullámfüggvénnyel leírható. Előfordulhat, hogy az átmeneti valószínűség csak közelítő kiválasztási szabály szerint tűnik el, ami csak akkor érvényes, ha az elektronok spin–pálya kölcsönhatását elhanyagoljuk. Ilyen esetben akkor kapunk nullától különböző eredményt, ha figyelembe vesszük a hullámfüggvények relativisztikus korrekcióit, melyek éppen erről a kölcsönhatásról adnak számot.

[146] Első pillantásra úgy tűnik, hogy a tér izotropiája következtében a fotonkibocsátás teljes valószínűsége nem függhet m értékétől. Hogy ez nincs így, megérthetjük, ha észrevesszük, hogy különböző m impulzusmomentum-vetületű fotonok kisugárzása után a rendszer különböző végállapotokban marad vissza (adott kezdeti állapot mellett); lásd a (46,16) szabályt.