Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

45.§. A dipólussugárzás

45.§. A dipólussugárzás

A kapott képleteket alkalmazzuk arra az esetre, amikor a fotont adott külső térben (általában relativisztikusan) mozgó elektron sugározza ki. Az átmeneti áram ez esetben a

j=Ψ̄γΨ

operátor mátrixeleme, amelyben a ψ-operátorokat az adott térben mozgó elektron stacionárius állapotainak hullámfüggvényei szerint fejtettük ki  32(32. §). Az elektron i állapotból f állapotba való átmenetét a ⟨0i1f∣j∣1i0f⟩ mátrixelem írja le. A betöltési szám ilyen változását az af+ai operátor valósítja meg, az átmeneti áramra a

5.25. egyenlet - (45,1)

jfiμ=ψ̄fγμψi=(ψfψi,ψfαψi)


kifejezést kapjuk, ahol ψiés ψf az elektron kezdeti és végállapotának hullámfüggvényei.

A foton hullámfüggvényét (háromdimenziós transzverzális mértékben) Coulomb-mértékben adjuk meg [a polarizációs négyesvektor e=(0,e)]. Ekkor (43,10)-ben jfie∗=–jfie∗. Vfi-t (44,4)-be helyettesítve kapjuk az e polarizációjú foton dΩ, térszögbe való kisugárzásának (1s alatti) valószínűségére, hogy

5.26. egyenlet - (45,2)

dwen=e2ω2π|ejfi(k)|2dΩ,


ahol

5.27. egyenlet - (45,3)

jfi(k)=ψfαψieikrd3x.


A foton polarizációjára úgy összegzünk, hogy először e irányaira (az adott n=k∕ω vektorra merőleges síkban) átlagolunk, majd az eredményt 2-vel szorozzuk, a foton két lehetséges transzverzális polarizációjának megfelelően.[141] Így kapjuk, hogy

5.28. egyenlet - (45,4)

dwn=e2ω2π|n×jfi(k)|2dΩ.


Fontos az az eset, amikor a foton λ hullámhossza nagy a sugárzó rendszer a méretéhez képest. Ez általában azzal függ össze, hogy a részecske sebessége kicsi a fénysebességhez képest. a∕λ-ban első rendig számolva (a dipólussugárzásnak megfelelően – vö. II. 67. §), a (45,3) átmeneti áramban az e–ikr tényező, mely csak keveset változik abban a tartományban, ahol ψi vagy ψf lényegesen különbözik nullától, 1-nek vehető. Más szavakkal kifejezve ez azt jelenti, hogy a foton impulzusát a rendszerbeli részecskék impulzusához képest elhanyagoljuk.

Ebben a közelítésben jfi(0) nemrelativisztikus alakjával helyettesíthető, ami azt jelenti, hogy az elektron sebességének vfi mátrixelemét kell kiszámítani Schrödinger-képbeli hullámfüggvények között. Ez a mátrixelem, vfi=–iωrfi, és erfi=dfi, ahol d az elektron (pályamozgásból származó) dipólusmomentuma. Így kapjuk a dipólussugárzás valószínűségére a következő képletet:

5.29. egyenlet - (45,5)

dwen=ω32π|edfi|2dΩ


(az n irány implicit módon fordul elő: az e vektornak merőlegesnek kell lennien-re). A polarizációra összegezve kapjuk, hogy

5.30. egyenlet - (45,6)

dwn=ω32π|n×dfi|2dΩ.


Tekintve, hogy a fenti összefüggés nemrelativisztikus (az elektronra nézve), könnyű általánosítani tetszőleges, elektronokból álló rendszerre: dfi-n a rendszer teljes dipólusmomentumának mátrixelemét kell érteni.

Ha (45,6)-ot az irány szerint kiintegráljuk, megkapjuk a sugárzás teljes valószínűségét:

5.31. egyenlet - (45,7)

w=4ω33|dfi|2,


vagy a szokásos egységekben:

5.32. egyenlet - (45,7a)

w=4ω33c3|dfi|2.


A sugárzás I intenzitásátúgy kapjuk, hogy a valószínűséget ℏω-val szorozzuk:

5.33. egyenlet - (45,8)

I=4ω43c3|dfi|2.


Ez a képlet közvetlen analógiát mutat a periodikusan mozgó részecskékből álló rendszer dipólussugárzásának intenzitását megadó klasszikus képlettel [lásd II. (67,11)]: az ωs=sω (ω a mozgó részecskék frekvenciája, s egész szám) frekvenciájú sugárzás intenzitása

5.34. egyenlet - (45,9)

Is=4ωs43c3|ds|2,


ahol ds a dipólusmomentum megfelelő Fourier-komponense , azaz

5.35. egyenlet - (45,10)

d(t)=s=dseisωt.


(45,8) kvantumelméleti összefüggést (45,9)-ből úgy kapjuk, hogy a Fourier-komponenst a megfelelőátmeneti mátrixelemmel helyettesítjük. E szabály (amely a Bohr-féle korrespondencia-elv megnyilvánulása) speciális esete a klasszikus mennyiségek Fourier-komponensei és a kvantumelméleti mátrixelemek között kváziklasszikus közelítésben fennállóáltalános megfeleltetésnek (lásd III. 48. §). Magas kvantumszámúállapotok közötti átmenet esetén a sugárzás kváziklasszikus. Ekkor az átmeneti frekvencia, ℏω=Ei–Ef kicsi a sugárzóEiés Ef energiaszintjeihez képest. Ez a körülmény azonban nem okoz semmiféle változást a (45,8) összefüggésben, amely tetszőleges átmenetre érvényes. Ezzel magyarázható az a (bizonyos értelemben véletlen) tény, hogy a korrespondencia-elv a sugárzás intenzitására vonatkozóan nem csak a kváziklasszikus esetben, hanemáltalánosan is érvényes.



[141] Az átlagoláshoz az eiek∗¯=(1/2)(δik–nink) (45,4a)(ae)(be∗)¯=(1/2){ab–(an)(bn)}=(1/2)(a×n)(b×n)(45,4b)összefüggés használható, ahol a, b állandó vektorok [l. II. (78,6)].