Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

44.§. Emisszió és abszorpció

44.§. Emisszió és abszorpció

A V perturbáló potenciál hatására végbemenő átmenet valószínűségét első közelítésben a perturbációszámítás ismert képletei adják (III. 42. §). Tartozzék a sugárzó rendszer kezdeti és végállapota a diszkrét spektrumhoz.[137] Ekkor a fotonemisszióval járó i→f átmenet (egy másodpercre eső) valószínűsége

5.14. egyenlet - (44,1)

dw=2π|Vfi|2δ(EiEfω)dν,


ahol dν-vel jelöltük a foton állapotára jellemző mennyiségek összességét, ezek értékkészlete folytonos (feltevésszerűen a foton hullámfüggvénye a „ν skálában”δ-függvényre normált).

Ha a kisugárzott foton impulzusmomentuma meghatározott értéket vesz fel, akkor az egyetlen folytonosan változó mennyiség az ω frekvencia. (44,1)-et dν≡dω szerint integrálva, a δ-függvény eltűnik (ω helyébe Ei–Ef értéket kell írni), és az átmeneti valószínűség

5.15. egyenlet - (44,2)

w=2π|Vfi|2.


Ha a kisugárzott foton impulzusa adott k érték, akkor dν≡d3k=ω2dωdΩ. Emellett az előzőek szerint feltételeztük, hogy a foton hullámfüggvénye δ(k)-ra normált. E könyvben azonban minden síkhullámot „egységnyi térfogatban egy részecske” szerint normáltunk. A kétfajta normálás egymástól (2π)–3∕2 szorzótényezőben különbözik. Ezért a mi normálásunk szerint adott impulzusú foton emissziójának valószínűsége[138]

5.16. egyenlet - (44,3)

dw=2π|Vfi|2δ(EiEfω)d3k(2π)3,


vagy dω szerinti integrálás után:

5.17. egyenlet - (44,4)

dw=14π2|Vfi|2ω2dΩ.


A Vfi mátrixelemet (43,10) adja meg.

E képletek segítségével a következő szakaszban kiszámítjuk az emisszió valószínűségét különböző konkrét esetekben. Most a különböző sugárzási folyamatok néhány általános összefüggését vizsgáljuk meg.

Ha a tér kezdeti állapotában már zérustól különböző, adott Nn számú foton volt, akkor az átmeneti mátrixelemet még meg kell szorozni az

5.18. egyenlet - (44,5)

Nn+1cn+Nn=Nn+1


tényezővel, az átmeneti valószínűséget tehát (Nn+1)-gyel. A második tag, az 1, a spontán emissziónak felel meg, amely Nn=0 esetén is végbemegy. Az első tag, Nn a kényszerített (vagy indukált) emisszióval kapcsolatos: látjuk, hogy fotonok jelenléte a kezdeti állapotban ugyanilyen fotonok további emisszióját segíti elő.

A rendszer fordított irányú átmenetének (f→i) mátrixeleme, Vif a Vfi mátrixelemtől abban különbözik, hogy benne (44,5) helyett az

⟨Nn–1∣cn∣Nn⟩=√(Nn)

szorzótényező szerepel (és a többi mennyiség helyett azok komplex konjugáltját kell venni). Ez a fordított átmenet abban áll, hogy a rendszer elnyel egy fotont, miközben az Ef energiájú szintről az Ei energiájú szintre megy át. Így a fotonemisszió és a fotonabszorpció valószínűségei között (adott i, f kezdeti és végállapot mellett) a

5.19. egyenlet - (44,6)

wemwabszorp=Nn+1Nn


összefüggés áll fenn[139] (ezt először A. Einstein mutatta meg 1916-ban).

A fotonok számát a rendszerre kívülről eső sugárzási intenzitással kapcsoljuk össze. Legyen

5.20. egyenlet - (44,7)

IkedwdΩ


annak az 1 cm2 felületre 1s alatt beeső sugárnyalábnak az energiája, amelynek polarizációs vektora e, frekvenciája a dω intervallumba, hullámszámvektorának iránya a dΩ térszögbe esik. A megadott intervallumnak a tér k2dkdΩ∕(2π)3 számú oszcillátora felel meg, mindegyikre Nke adott polarizációjú foton jut. Így a (44,7) energiát a következő szorzat adja meg:

c(k2dkdΩ/(2π)3)Nke⋅ℏω=(ℏω3/8π3c2)NkedωdΩ.

Innen a keresett összefüggés:

5.21. egyenlet - (44,8)

Nke=8π3c2ω3Ike.


Legyen dwke(spont) az e polarizációjú foton dΩ térszögbe való spontán emissziójának valószínűsége; ugyanezt jelölje dwke(ind), ill. dwke(abszorp) indukált emisszióra, ill. abszorpcióra. (44,6) és (44,8) szerint fennáll a következő összefüggés:

5.22. egyenlet - (44,9)

dwke(abszorp)=dwke(ind)=dwke(spont)8π3c2ω3Ike.


Ha a beeső sugárzás izotrop és polarizálatlan (Ike nem függ k és e irányától), akkor a (44,9) összefüggést dΩ szerint integrálva és e-re összegezve, a (rendszer adott i és f állapotai közötti) sugárzási átmenetek teljes valószínűségei között hasonló összefüggéseket kapunk:

5.23. egyenlet - (44,10)

w(abszorp)=w(ind)=w(spont)π2c2ω3I,


ahol I=2⋅4πIke a beeső sugárzás teljes spektrális intenzitása .

Ha a sugárzó (vagy elnyelő) rendszer i és f állapotai elfajultak, akkor adott fotonok kisugárzásának (vagy elnyelésének) teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy az elfajult végállapotokra összegzünk, a lehetséges kezdeti állapotokra átlagolunk. Az i és f állapotok elfajultságának fokát (statisztikus súlyát) jelölje gi és gf. A spontán és indukált emisszió kezdeti állapotai az i, az abszorpcióé az f állapotok. Feltéve, hogy a g vagy gf kezdeti állapotok mind egyformán valószínűek, (44,10) helyett a következő összefüggést kapjuk:[140]

5.24. egyenlet - (44,11)

gfw(abszorp)=giw(ind)=giw(spont)π2c2ω3I.




[137] Ezzel feltételeztük, hogy a rendszer mozdulatlan és a visszalökődést elhanyagoljuk.

[138] Ez annak felel meg, hogy a „V=1 térfogatban egy foton” normáláskor (44,1)-ben dν=d3k helyett a Vd3k fázistérfogatban levő állapotok számát, d3k=(2π)3-t kell használni.

[139] Ebben a szakaszban a továbbiakban a szokásos egységeket használjuk.

[140] Az irodalomban gyakran használják az úgynevezett Einstein-együtthatókat , ezek Aif, Bif=w(ind)c∕I, Bfi=w(abszorp)c∕I (I∕c a sugárzás térbeli spektrális energiasűrűsége). Ezek között a gfBfi=giBif=giAif(π2c3/ℏω3) (44,11a)összefüggés áll fenn.